Ana içerik

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 2

Ders 1: Kısmi Türev ve Gradyan (Makaleler)

Yönlü türevler (giriş)

Google Classroom

Girdiyi belirli bir yönde dürttüğünüzde, çok değişkenli bir fonksiyonun değeri nasıl değişir?

Arka plan

Neye ulaşıyoruz

Eğer bir çok değişkenli fonksiyonunuz (f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis) ve fonksiyonun girdi uzayında bir vektör (start bold text, v, end bold text, with, vector, on top) varsa, f'nin start bold text, v, end bold text, with, vector, on top boyunca yönlü türevi, girdi start bold text, v, end bold text, with, vector, on top sürat vektörüyle hareket ettiğinde f'nin hangi hızla değişeceğini söyler.

Buradaki gösterim del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f'di ve bu f'nin gradyanıyla start bold text, v, end bold text, with, vector, on top vektörünün iç çarpımı alınarak hesaplanır, yani del, f, dot, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top
Yönlü türevi eğim hesaplamak için kullandığınızda, ilk olarak start bold text, v, end bold text, with, vector, on top'yi normalize ettiğinizden emin olun.

Kısmi türevleri genelleme

Çok değişkenli bir fonksiyon düşünün:

f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, minus, x, y

x ve y'ye göre kısmi türevlerin, girdiyi x veya y yönünde ittiğimizde f'nin değişim hızını belirttiğini biliyoruz.

[Bana bunun bir örneğini gösterin.]

Şimdi soru, f'nin girdisini x veya y eksenine paralel olmayan bir yönde ittiğimizde neler olacağıdır.

Örneğin aşağıdaki görüntü, f'nin görüntüsünü, girdi uzayında (bu durumda x, y düzlemi) start bold text, v, end bold text, with, vector, on top vektörü boyunca küçük bir adımla birlikte göstermektedir. start bold text, v, end bold text, with, vector, on top'nin başlangıç noktasının üstündeki grafiğin yüksekliğinin, bitim noktasındaki yüksekliğiyle karşılaştıran bir işlem var mıdır?

Muhtemelen tahmin ettiğiniz gibi, bu soruyu cevaplayan, "yönlü türev" adında yeni bir tür türev vardır.

Kısmi türev nasıl belirli bir girdi değişkenine göre (örneğin x veya y) alınıyorsa, yönlü türev girdi uzayında belirli bir start bold text, v, end bold text, with, vector, on top vektörü boyunca alınır.

Bunu düşünmenin faydalı bir yolu, girdi uzayında start bold text, v, end bold text, with, vector, on top hızıyla hareket eden bir noktayı gözümüzde canlandırmaktır. f'nin start bold text, v, end bold text, with, vector, on top yönündeki yönlü türevi, fonksiyonun çıktısında ortaya çıkan değişimdir. Örneğin, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top vektörünü ikiyle çarpmak, yönlü türevin değerini iki katına çıkarır, çünkü tüm değişimler iki katı hızla ortaya çıkar.

Gösterim

Bu kavram için oldukça çok sayıda farklı gösterim bulunur:

$\nabla_{\vec{v}} f$ ‍
start fraction, \partial, f, divided by, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end fraction
$f_{\vec{v}}^{'}$ ‍
$D_{\vec{v}} f$ ‍
$\partial_{\vec{v}} f$ ‍

Bunların hepsi aynı şeyi temsil eder: girdiyi start bold text, v, end bold text, with, vector, on top yönünde ittiğinizde f'nin değişim hızı.

\nabla_{\vec{v}} f

gösterimini kullanacağım, çünkü yönlü türevi gradyanı kullanarak nasıl hesapladığınıza yönelik ipucu verir (bunu yakında göreceksiniz).

Örnek 1: start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, equals, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top

del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f hesaplamanın genel kuralına atlamadan önce, kısmi türevin daha tanıdık kavramını yönlü bir türev olarak nasıl yazabileceğimize bakalım.

Örneğin, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, y, end fraction kısmi türevi, girdiyi y yönünde ittiğimizde f'nin değişme hızını verir. Başka bir deyişle, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top vektörü yönünde itersek. Böylece, y'ye göre kısmi türevi start fraction, \partial, f, divided by, \partial, y, end fraction, equals, del, start subscript, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, end subscript, f şeklinde yazabiliriz.

Bu sadece farklı notasyonla oynamaktır. Daha önemli olan, bu notasyonun neyi temsil ettiğini zihnimizde açık bir şekilde görüntülemektir.

Düşünme sorusu: start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, equals, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top olduğunu varsayın, del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f için en iyi tahmininiz nedir?

[Cevabı göster.]

Yönlü türevi hesaplama

Diyelim ki, elinizde bir f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis çok değişkenli fonksiyonu var, bu üç değişken x, y ve z alıyor ve şu vektör boyunca yönlü türevini hesaplamak istiyorsunuz:

$\vec{\textbf{v}} = \left[ \begin{array}{c} \blueE{2} \\ \redE{3} \\ \greenE{-1} \end{array} \right]$

Görüldüğü üzere, cevap

$\nabla_{\vec{v}} f = 2 \frac{\partial f}{\partial x} + 3 \frac{\partial f}{\partial y} + (- 1) \frac{\partial f}{\partial z}$ ‍

Bu mantıklı olmalı, çünkü start bold text, v, end bold text, with, vector, on top boyunca minik bir itme x yönünde start color #0c7f99, i, k, i, end color #0c7f99, y yönünde start color #bc2612, u, with, \ddot, on top, ç, end color #bc2612 ve geri yönde küçük bir itmeye, z yönünde start color #0d923f, minus, 1, end color #0d923f itmeye ayrıştırılabilir. Bunun arkasındaki mantığa sonraki makalede çok daha ayrıntılı gireceğiz.

Daha genel olarak, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top vektörünü aşağıdaki gibi yazarız:

$\vec{\textbf{v}} = \left[ \begin{array}{c} \blueE{v_1} \\ \redE{v_2} \\ \greenE{v_3} \end{array} \right]$

Yönlü türev böyle gözükür:

$\nabla_{\vec{v}} f = v_{1} \frac{\partial f}{\partial x} + v_{2} \frac{\partial f}{\partial y} + v_{3} \frac{\partial f}{\partial z}$ ‍

start bold text, v, end bold text, with, vector, on top yönündeki ufak bir dürtme, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99 çarpı x-yönünde ufak bir dürtme, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612 çarpı y-yönünde ufak bir dürtme, ve start color #0d923f, v, start subscript, 3, end subscript, end color #0d923f çarpı z-yönünde ufak bir dürtmeden oluşur.

Bu iç çarpım ve gradyan kullanılarak hoş kompakt bir şekilde yazılabilir:

$\begin{aligned} \nabla_{\vec{v}} f (x, y, z) & = v_{1} \frac{\partial f}{\partial x} (x, y, z) + v_{2} \frac{\partial f}{\partial y} (x, y, z) + v_{3} \frac{\partial f}{\partial z} (x, y, z) \\ = [\begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x} (x, y, z) \\ \frac{\partial f}{\partial y} (x, y, z) \\ \frac{\partial f}{\partial z} (x, y, z) \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{array}] \\ = \nabla f (x, y, z) \cdot \vec{v} \end{aligned}$ ‍

İşte bu yüzden,

\nabla_{\vec{v}}

notasyonu yönlü türevi hesaplamamız konusunda bizi yönlendirir:

$\begin{aligned} \nabla_\maroonD{\vec{\textbf{v}}} f = \nabla f \cdot \maroonD{\vec{\textbf{v}}} \\ \end{aligned}$

Tek bir işlemcinin, gradyanın, fonksiyonun olası her yönde değişim hızını hesaplayacak bilgi içerdiği bilgisiyle mutlu olmak için bir an durun! Ne kadar çok yön! Sol, sağ, yukarı, aşağı, kuzey-kuzey-doğu, x ekseninden saat yönünde 34, comma, 8, degrees... Delilik!

Örnek 2:

Problem: Aşağıdaki fonksiyonu inceleyin.

f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, minus, x, y,

f'nin left parenthesis, 2, comma, minus, 3, right parenthesis noktasında

\begin{aligned} \vec{\textbf{v}} = \blueE{0,6} \hat{\textbf{i}} + \redE{0,8} \hat{\textbf{j}} \end{aligned}

vektörü boyunca yönlü türevi nedir?

Çözüm: Yönlü türevi, kısmi türevlerin ağırlıklı toplamı olarak düşünebiliriz, bunun gibi:

$\begin{array}{r} \nabla_{\vec{v}} f = 0, 6 \frac{\partial f}{\partial x} + 0, 8 \frac{\partial f}{\partial y} \end{array}$ ‍

Bunu gradyanla iç çarpım olarak da düşünebiliriz, bunun gibi:

$\begin{array}{r} \nabla_{\vec{v}} f = \nabla f \cdot \vec{v} \end{array}$ ‍

Birincisi daha hızlıdır, ama alıştırma için, gradyan yorumunun nasıl ortaya çıktığına bakalım. Gradyanı hesaplayarak başlıyoruz:

$\nabla f = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial f}{\blueE{\partial x}} \\ \\ \dfrac{\partial f}{\redE{\partial y}} \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial }{\blueE{\partial x}} (\blueE{x}^2 - \blueE{x}y) \\ \\ \dfrac{\partial}{\redE{\partial y}} (x^2 - x\redE{y}) \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 2\blueE{x} - y \\ -x \end{array} \right]$

Sonra left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, 2, comma, minus, 3, right parenthesis noktasını koyun, çünkü soruda bize sorulan nokta budur.

$\begin{aligned} \nabla f(2, -3) = \left[\begin{array}{c} 2(2) - (-3) \\ -(2) \end{array} \right] = \left[\begin{array}{c} 7 \\ -2 \end{array} \right] \end{aligned}$

İstenen yönlü türevi elde etmek için, bu gradyanla start bold text, v, end bold text'nin iç çarpımını alırız:

$\begin{aligned} \nabla_{\vec{\textbf{v}}} f(2, -3) &= \nabla f(2, -3) \cdot \left( \blueE{0,6} \hat{\textbf{i}} + \redE{0,8} \hat{\textbf{j}} \right) \\\\ &= \left[ \begin{array}{c} 7 \\ -2 \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{c} \blueE{0,6} \\ \redE{0,8} \end{array} \right] \\\\ &= 7(\blueE{0,6}) + (-2)(\redE{0,8}) \\\\ &= 2,6 \end{aligned}$

Eğimi bulma

x veya y eksenlerine paralel olmayan bir düzlemle kesişen bir grafiğin eğimini nasıl bulursunuz?

Yönlü türevi kullanabilirsiniz, ancak hatırlanması gereken önemli bir şey daha var:

Eğer eğimi hesaplamak için yönlü türev kullanılmışsa, ya start bold text, v, end bold text, with, vector, on top bir birim vektör olmalıdır, ya da sonda vertical bar, vertical bar, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar ile bölmeyi hatırlamalısınız.

Üstteki tanım ve hesaplamada, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top'nün uzunluğunu iki katına çıkarmak, yönlü türevin değerini iki katına çıkaracaktır. Hesaplamaya göre, neden del, f, dot, left parenthesis, 2, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, right parenthesis, equals, 2, left parenthesis, del, f, dot, v, right parenthesis olmasıdır.

Ancak, bu her zaman istediğiniz şey olmayabilir. Bir grafiğin start bold text, v, end bold text, with, vector, on top yönünde eğimi, örneğin vertical bar, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, vertical bar büyüklüğüne değil, sadece start bold text, v, end bold text, with, vector, on top'nün yönüne bağlıdır. Neden böyle olduğunu görelim.

Bu eğimi nasıl hayal edebiliriz? f'nin grafiğini x, y düzlemini start bold text, v, end bold text, with, vector, on top yönünde kesen düşey bir düzlemle kesin. Söz konusu eğim, ortaya çıkan eğriye teğet bir doğrunun eğimidir. Her eğimde olduğu gibi, yükseliş bölü artışa bakarız.

Bu durumda, "artış" start bold text, v, end bold text, with, vector, on top yönünde küçük bir itme uzaklığı olur. Böyle bir "itme"yi bir start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript girdi noktasına h, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top eklemek olarak ifade edebiliriz, burada h küçük bir sayı olarak düşünülmelidir. Böyle bir itmenin büyüklüğü h, vertical bar, vertical bar, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar'dür.

f'nin çıktısındaki sonuç değişiklik, bu küçük h değerini yönlü türevle çarparak kestirilebilir:

$h \nabla_{\vec{v}} f (x_{0}, y_{0})$ ‍

Aslında, artış boyutu h, vertical bar, vertical bar, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar'ye göre (fonksiyonun grafiği yerine) teğet doğrunun yükselişi kesin olarak

h \nabla_{\vec{v}} f (x_{0}, y_{0})

'dır. Bunun neden doğru olduğuna ilişkin tüm detaylar için, bir sonraki makalede yönlü türevin biçimsel tanımına bakın.

Buna göre, grafiğimizin ''yükselme/alçalma bölü sola/sağa gitme''si

\begin{array}{r} \frac{h \nabla_{\vec{v}} f (x_{0}, y_{0})}{h | | v | |} = \frac{\nabla_{\vec{v}} f (x_{0}, y_{0})}{| | v | |} \end{array}

Dikkat ederseniz, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top birim vektörse, yani vertical bar, vertical bar, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar, equals, 1 ise, yönlü türev bu yönde grafiğin eğimini verir. Aksi takdirde, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top büyüklüğüne bölmek önemlidir.

Bazı yazarlar

\nabla_{\vec{v}} f

tanımında normalizasyon bulmaya kadar giderler.

Yönlü türevin alternatif tanımı:

\begin{aligned} \quad \nabla_{\vec{\textbf{v}}} f(\textbf{x}) = \lim_{h \to 0}\dfrac{f(\textbf{x} + h\vec{\textbf{v}}) - f(\textbf{x})}{h\blueE{||\vec{\textbf{v}}||}} \end{aligned}

Bence bu tanım eğim bulma durumuna fazla vurgu yapmaktadır, dolayısıyla orijinal tanımı kullanmayı ve gerektiğinde start bold text, v, end bold text, with, vector, on top'yi normalleştirmeyi tercih ederim.

Örnek : Eğim

Problem: Bu problem için, sahnede üç oyuncu bulunur.

Oyuncu 1, fonksiyon:

f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, x, y, right parenthesis

Oyuncu 2, nokta:

left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, left parenthesis, start fraction, pi, divided by, 3, end fraction, comma, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, right parenthesis

Oyuncu 3, vektör:

start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, equals, 2, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, 3, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top

f grafiğinin start bold text, v, end bold text, with, vector, on top boyunca left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis noktasındaki eğimi nedir?

Cevap: Eğimi bulduğumuz için, önce sorudaki vektörü normalleştirmeliyiz. vertical bar, vertical bar, start bold text, v, end bold text, vertical bar, vertical bar büyüklüğü square root of, 2, squared, plus, 3, squared, end square root, equals, square root of, 13, end square root'tür, dolayısıyla start bold text, v, end bold text'nin yönündeki start bold text, u, end bold text, with, hat, on top sonuç birim vektörünü elde etmek için her terimi square root of, 13, end square root ile bölüyoruz:

[Cevabı göster.]

Şimdi f'nin gradyanını buluruz:

[Cevabı göster.]

left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, left parenthesis, start fraction, pi, divided by, 3, end fraction, comma, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, right parenthesis noktasını bu gradyana koyun.

[Cevabı göster.]

Son olarak, start bold text, u, end bold text, with, hat, on top ve del, f, left parenthesis, pi, slash, 3, comma, 1, slash, 2, right parenthesis arasında iç çarpım alırız:

[Cevabı göster.]

Özet

Eğer bir çok değişkenli fonksiyonunuz (f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis) ve fonksiyonun girdi uzayında bir vektör (start bold text, v, end bold text, with, vector, on top) varsa, f'nin start bold text, v, end bold text, with, vector, on top boyunca yönlü türevi, girdi start bold text, v, end bold text, with, vector, on top sürat vektörüyle hareket ettiğinde f'nin hangi hızla değişeceğini söyler.
Buradaki gösterim del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f'dir ve bu f'nin gradyanıyla start bold text, v, end bold text, with, vector, on top vektörünün iç çarpımı alınarak hesaplanır, yani del, f, dot, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top.
Yönlü türevi eğim hesaplamak için kullandığınızda, ilk olarak start bold text, v, end bold text, with, vector, on top'yi normalize ettiğinizden emin olun.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 2

Arka plan

Neye ulaşıyoruz

Kısmi türevleri genelleme

Gösterim

Örnek 1: v⃗=j^\vec{\textbf{v}} = \hat{\textbf{j}}v=j^​start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, equals, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top

Yönlü türevi hesaplama

Örnek 2:

Eğimi bulma

Örnek : Eğim

Özet

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Örnek 1: start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, equals, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top