Girdiyi belirli bir yönde dürttüğünüzde, çok değişkenli bir fonksiyonun değeri nasıl değişir?

Neye ulaşıyoruz

  • Eğer bir çok değişkenli fonksiyonunuz (f(x,y)f(x, y)) ve fonksiyonun girdi uzayında bir vektör (v\vec{\textbf{v}}) varsa, ff'nin v\vec{\textbf{v}} boyunca yönlü türevi, girdi v\vec{\textbf{v}} sürat vektörüyle hareket ettiğinde ff'nin hangi hızla değişeceğini söyler.
  • Buradaki gösterim vf\nabla_{\vec{\textbf{v}}} f'di ve bu ff'nin gradyanıyla v\vec{\textbf{v}} vektörünün iç çarpımı alınarak hesaplanır, yani fv\nabla f \cdot \vec{\textbf{v}}
  • Yönlü türevi eğim hesaplamak için kullandığınızda, ilk olarak v\vec{\textbf{v}}'yi normalize ettiğinizden emin olun.

Kısmi türevleri genelleme

Çok değişkenli bir fonksiyon düşünün:
f(x,y)=x2xyf(x, y) = x^2 - xy
xx ve yy'ye göre kısmi türevlerin, girdiyi xx veya yy yönünde ittiğimizde ff'nin değişim hızını belirttiğini biliyoruz.
Şimdi soru, ff'nin girdisini xx veya yy eksenine paralel olmayan bir yönde ittiğimizde neler olacağıdır.
Örneğin aşağıdaki görüntü, ff'nin görüntüsünü, girdi uzayında (bu durumda xyxy düzlemi) v\vec{\textbf{v}} vektörü boyunca küçük bir adımla birlikte göstermektedir. v\vec{\textbf{v}}'nin başlangıç noktasının üstündeki grafiğin yüksekliğinin, bitim noktasındaki yüksekliğiyle karşılaştıran bir işlem var mıdır?
Muhtemelen tahmin ettiğiniz gibi, bu soruyu cevaplayan, "yönlü türev" adında yeni bir tür türev vardır.
Kısmi türev nasıl belirli bir girdi değişkenine göre (örneğin xx veya yy) alınıyorsa, yönlü türev girdi uzayında belirli bir v\vec{\textbf{v}} vektörü boyunca alınır.
Bunu düşünmenin faydalı bir yolu, girdi uzayında v\vec{\textbf{v}} hızıyla hareket eden bir noktayı gözümüzde canlandırmaktır. ff'nin v\vec{\textbf{v}} yönündeki yönlü türevi, fonksiyonun çıktısında ortaya çıkan değişimdir. Örneğin, v\vec{\textbf{v}} vektörünü ikiyle çarpmak, yönlü türevin değerini iki katına çıkarır, çünkü tüm değişimler iki katı hızla ortaya çıkar.

Gösterim

Bu kavram için oldukça çok sayıda farklı gösterim bulunur:
  • fv\dfrac{\partial f}{\partial \vec{\textbf{v}}}
Bunların hepsi aynı şeyi temsil eder: girdiyi v\vec{\textbf{v}} yönünde ittiğinizde ff'nin değişim hızı. gösterimini kullanacağım, çünkü yönlü türevi gradyanı kullanarak nasıl hesapladığınıza yönelik ipucu verir (bunu yakında göreceksiniz).

Örnek 1: v=j^\vec{\textbf{v}} = \hat{\textbf{j}}

vf\nabla_{\vec{\textbf{v}}} f hesaplamanın genel kuralına atlamadan önce, kısmi türevin daha tanıdık kavramını yönlü bir türev olarak nasıl yazabileceğimize bakalım.
Örneğin, fy\dfrac{\partial f}{\partial y} kısmi türevi, girdiyi yy yönünde ittiğimizde ff'nin değişme hızını verir. Başka bir deyişle, j^\hat{\textbf{j}} vektörü yönünde itersek. Böylece, yy'ye göre kısmi türevi fy=j^f\dfrac{\partial f}{\partial y} = \nabla_{\hat{\textbf{j}}} f şeklinde yazabiliriz.
Bu sadece farklı notasyonla oynamaktır. Daha önemli olan, bu notasyonun neyi temsil ettiğini zihnimizde açık bir şekilde görüntülemektir.
Düşünme sorusu: v=i^+j^\vec{\textbf{v}} = \hat{\textbf{i}} + \hat{\textbf{j}} olduğunu varsayın, vf\nabla_{\vec{\textbf{v}}} f\, için en iyi tahmininiz nedir?

Yönlü türevi hesaplama

Diyelim ki, elinizde bir f(x,y,z)f(x, y, z) çok değişkenli fonksiyonu var, bu üç değişken xx, yy ve zz alıyor ve şu vektör boyunca yönlü türevini hesaplamak istiyorsunuz:
v=[231] \vec{\textbf{v}} = \left[ \begin{array}{c} \blueE{2} \\ \redE{3} \\ \greenE{-1} \end{array} \right]
Görüldüğü üzere, cevap
Bu mantıklı olmalı, çünkü v\vec{\textbf{v}} boyunca minik bir itme xx yönünde iki\blueE{iki}, yy yönünde u¨ç\redE{üç} ve geri yönde küçük bir itmeye, zz yönünde 1\greenE{-1} itmeye ayrıştırılabilir. Bunun arkasındaki mantığa sonraki makalede çok daha ayrıntılı gireceğiz.
Daha genel olarak, v\vec{\textbf{v}} vektörünü aşağıdaki gibi yazarız:
v=[v1v2v3] \vec{\textbf{v}} = \left[ \begin{array}{c} \blueE{v_1} \\ \redE{v_2} \\ \greenE{v_3} \end{array} \right]
Yönlü türev böyle gözükür:
v\vec{\textbf{v}} yönündeki ufak bir dürtme, v1\blueE{v_1} çarpı xx-yönünde ufak bir dürtme, v2\redE{v_2} çarpı yy-yönünde ufak bir dürtme, ve v3\greenE{v_3} çarpı zz-yönünde ufak bir dürtmeden oluşur.
Bu iç çarpım ve gradyan kullanılarak hoş kompakt bir şekilde yazılabilir:
İşte bu yüzden, notasyonu yönlü türevi hesaplamamız konusunda bizi yönlendirir:
vf=fv\begin{aligned} \nabla_\maroonD{\vec{\textbf{v}}} f = \nabla f \cdot \maroonD{\vec{\textbf{v}}} \\ \end{aligned}
Tek bir işlemcinin, gradyanın, fonksiyonun olası her yönde değişim hızını hesaplayacak bilgi içerdiği bilgisiyle mutlu olmak için bir an durun! Ne kadar çok yön! Sol, sağ, yukarı, aşağı, kuzey-kuzey-doğu, xx ekseninden saat yönünde 34,834,8^\circ... Delilik!

Örnek 2:

Problem: Aşağıdaki fonksiyonu inceleyin.
f(x,y)=x2xyf(x, y) = x^2 - xy,
ff'nin (2,3)(2, -3) noktasında v=0,6i^+0,8j^\begin{aligned} \vec{\textbf{v}} = \blueE{0,6} \hat{\textbf{i}} + \redE{0,8} \hat{\textbf{j}} \end{aligned} vektörü boyunca yönlü türevi nedir?
Çözüm: Yönlü türevi, kısmi türevlerin ağırlıklı toplamı olarak düşünebiliriz, bunun gibi:
Bunu gradyanla iç çarpım olarak da düşünebiliriz, bunun gibi:
Birincisi daha hızlıdır, ama alıştırma için, gradyan yorumunun nasıl ortaya çıktığına bakalım. Gradyanı hesaplayarak başlıyoruz:
Sonra (x,y)=(2,3)(x, y) = (2, -3) noktasını koyun, çünkü soruda bize sorulan nokta budur.
f(2,3)=[2(2)(3)(2)]=[72]\begin{aligned} \nabla f(2, -3) = \left[\begin{array}{c} 2(2) - (-3) \\ -(2) \end{array} \right] = \left[\begin{array}{c} 7 \\ -2 \end{array} \right] \end{aligned}
İstenen yönlü türevi elde etmek için, bu gradyanla v\textbf{v}'nin iç çarpımını alırız:

Eğimi bulma

xx veya yy eksenlerine paralel olmayan bir düzlemle kesişen bir grafiğin eğimini nasıl bulursunuz?
Yönlü türevi kullanabilirsiniz, ancak hatırlanması gereken önemli bir şey daha var:
Eğer eğimi hesaplamak için yönlü türev kullanılmışsa, ya v\vec{\textbf{v}} bir birim vektör olmalıdır, ya da sonda v||\vec{\textbf{v}}|| ile bölmeyi hatırlamalısınız.
Üstteki tanım ve hesaplamada, v\vec{\textbf{v}}'nün uzunluğunu iki katına çıkarmak, yönlü türevin değerini iki katına çıkaracaktır. Hesaplamaya göre, neden f(2v)=2(fv)\nabla f \cdot (2\vec{\textbf{v}}) = 2(\nabla f \cdot v) olmasıdır.
Ancak, bu her zaman istediğiniz şey olmayabilir. Bir grafiğin v\vec{\textbf{v}} yönünde eğimi, örneğin v|\vec{\textbf{v}}| büyüklüğüne değil, sadece v\vec{\textbf{v}}'nün yönüne bağlıdır. Neden böyle olduğunu görelim.
Bu eğimi nasıl hayal edebiliriz? ff'nin grafiğini xyxy düzlemini v\vec{\textbf{v}} yönünde kesen düşey bir düzlemle kesin. Söz konusu eğim, ortaya çıkan eğriye teğet bir doğrunun eğimidir. Her eğimde olduğu gibi, yükseliş bölü artışa bakarız.
Bu durumda, "artış" v\vec{\textbf{v}} yönünde küçük bir itme uzaklığı olur. Böyle bir "itme"yi bir x0\textbf{x}_0 girdi noktasına hvh\vec{\textbf{v}} eklemek olarak ifade edebiliriz, burada hh küçük bir sayı olarak düşünülmelidir. Böyle bir itmenin büyüklüğü hvh ||\vec{\textbf{v}}||'dür.
ff'nin çıktısındaki sonuç değişiklik, bu küçük hh değerini yönlü türevle çarparak kestirilebilir:
Aslında, artış boyutu hvh ||\vec{\textbf{v}}||'ye göre (fonksiyonun grafiği yerine) teğet doğrunun yükselişi kesin olarak 'dır. Bunun neden doğru olduğuna ilişkin tüm detaylar için, bir sonraki makalede yönlü türevin biçimsel tanımına bakın.
Buna göre, grafiğimizin ''yükselme/alçalma bölü sola/sağa gitme''si
Dikkat ederseniz, v\vec{\textbf{v}} birim vektörse, yani v=1||\vec{\textbf{v}}|| = 1 ise, yönlü türev bu yönde grafiğin eğimini verir. Aksi takdirde, v\vec{\textbf{v}} büyüklüğüne bölmek önemlidir.
Bazı yazarlar tanımında normalizasyon bulmaya kadar giderler.
Yönlü türevin alternatif tanımı:
vf(x)=limh0f(x+hv)f(x)hv\begin{aligned} \quad \nabla_{\vec{\textbf{v}}} f(\textbf{x}) = \lim_{h \to 0}\dfrac{f(\textbf{x} + h\vec{\textbf{v}}) - f(\textbf{x})}{h\blueE{||\vec{\textbf{v}}||}} \end{aligned}
Bence bu tanım eğim bulma durumuna fazla vurgu yapmaktadır, dolayısıyla orijinal tanımı kullanmayı ve gerektiğinde v\vec{\textbf{v}}'yi normalleştirmeyi tercih ederim.

Örnek : Eğim

Problem: Bu problem için, sahnede üç oyuncu bulunur.
Oyuncu 1, fonksiyon:
f(x,y)=sin(xy)f(x, y) = \sin(xy)
Oyuncu 2, nokta:
(x0,y0)=(π3,12)(x_0, y_0) = \left(\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{1}{2}\right)
Oyuncu 3, vektör:
v=2i^+3j^\vec{\textbf{v}} = 2 \hat{\textbf{i}} + 3 \hat{\textbf{j}}
ff grafiğinin v\vec{\textbf{v}} boyunca (x0,y0)(x_0, y_0) noktasındaki eğimi nedir?
Cevap: Eğimi bulduğumuz için, önce sorudaki vektörü normalleştirmeliyiz. v||\textbf{v}|| büyüklüğü 22+32=13\sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}'tür, dolayısıyla v\textbf{v}'nin yönündeki u^\hat{\textbf{u}} sonuç birim vektörünü elde etmek için her terimi 13\sqrt{13} ile bölüyoruz:
Şimdi ff'nin gradyanını buluruz:
(x0,y0)=(π3,12)(x_0, y_0) = \left(\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{1}{2}\right) noktasını bu gradyana koyun.
Son olarak, u^\hat{\textbf{u}} ve f(π/3,1/2)\nabla f(\pi/3, 1/2) arasında iç çarpım alırız:

Özet

  • Eğer bir çok değişkenli fonksiyonunuz (f(x,y)f(x, y)) ve fonksiyonun girdi uzayında bir vektör (v\vec{\textbf{v}}) varsa, ff'nin v\vec{\textbf{v}} boyunca yönlü türevi, girdi v\vec{\textbf{v}} sürat vektörüyle hareket ettiğinde ff'nin hangi hızla değişeceğini söyler.
  • Buradaki gösterim vf\nabla_{\vec{\textbf{v}}} f'dir ve bu ff'nin gradyanıyla v\vec{\textbf{v}} vektörünün iç çarpımı alınarak hesaplanır, yani fv\nabla f \cdot \vec{\textbf{v}}.
  • Yönlü türevi eğim hesaplamak için kullandığınızda, ilk olarak v\vec{\textbf{v}}'yi normalize ettiğinizden emin olun.
Yükleniyor