Ana içerik

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 2

Ders 1: Kısmi Türev ve Gradyan (Makaleler)

Yönlü türevler (derine inilerek)

Yönlü türev için olan formüle daha kapsamlı bir bakışın yanı sıra, gradyanın neden en dik çıkışın eğimini verdiğiyle ilgili bir açıklama.

Arka plan:

Yönlü türevlere giriş
- Kısmi türevler
  - Gradyan

Bu makale yönlü türev ve formülüyle ilgili daha derin anlayış geliştirmek isteyenler içindir.

Yönlü türevin tanımı

Biçimsel bir tanıma önem vermenizin birkaç nedeni olabilir. Her zaman olduğu gibi, yeni bir kavramın biçimsel tanımını gerçekten anlamak, neler olduğunun netleşmesini sağlayabilir. Ancak sanırım bundan daha önemli olan, böyle bir kavramın ne zaman uygulanabildiğini ve uygulanamadığını anlamanız için size güven vermesidir.

İlk olarak, kısmi türevin -örneğin

x

'e göre- biçimsel tanımını hatırlayalım:

$\frac{\partial f}{\partial x} (x_{0}, y_{0}) = lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h, y_{0}) - f (x_{0}, y_{0})}{h}$ ‍

\frac{\partial f}{\partial x}

okumanın biçimsel olmayan yoluyla sağ tarafı okumanın biçimsel yolu arasındaki ilişki aşağıdaki gibidir:

Simge	Biçimsel olmayan anlayış	Biçimsel anlayış
$\partial x$ ‍	$x$ ‍ yönünde minik bir itme.	$0$ ‍'a giden sınırlandıran bir $h$ ‍ değişkeni ve fonksiyonun girdisinin ilk bileşenine eklenecek.
$\partial f$ ‍	İtmeden sonra $f$ ‍'nin çıktısındaki sonuç değişim.	$f (x_{0} + h, y_{0})$ ‍ ile $f (x_{0}, y_{0})$ ‍ arasındaki fark, $h \to 0$ ‍ alınmış.

Bunun yerine bunu vektör notasyonuyla yazabilir,

(x_{0}, y_{0})

girdi noktasını iki boyutlu bir vektör olarak görebilirdik

\begin{array}{r} x_{0} = [\begin{array}{c} x_{0} \\ y_{0} \end{array}] \end{array}

Burada

x_{0}

vektörlüğünü vurgulamak için kalın yazılmıştır. Tüm girdi için başka bir harf yerine kalın

x

kullanmak,

x

harfi girdinin birinci bileşenini kalın olmayan şekilde gösterdiği için biraz akıl karıştırıcı gelebilir. Ancak kural budur, biz de bunu uygulayacağız.

"İtilmiş girdiyi

(x_{0} + h, y_{0})

olarak yazmak yerine,

x_{0} + h \hat{i}

olarak yazıyoruz, burada

\hat{i}

x

-yönündeki birim vektördür:

\begin{array}{r} \frac{\partial f}{\partial x} (x_{0}) = lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h \hat{i}) - f (x_{0})}{h} \end{array}

Bu notasyonda,

x

'e göre kısmi türevi herhangi bir

\vec{v}

vektörü boyunca yönlü türevle genelleştirmek çok daha kolaydır:

$\nabla_{\vec{v}} f (x_{0}) = lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h \vec{v}) - f (x_{0})}{h}$ ‍

Bu durumda,

h \vec{v}

'yi girdiye sınırlandıran bir değişken

h \to 0

için toplayarak

\vec{v}

yönünde minik bir itme fikrini biçimselleştiririz.

Tanımla hesaplama arasında bağlantı arama

Yönlü türevin hesaplanması,

\nabla f

'nin gradyanıyla

\vec{v}

vektörü arasında bir iç çarpımı içerir. Örneğin, iki boyutta bu şöyle görünecektir:

$\begin{aligned} \nabla_{\vec{v}} f (x, y) & = \nabla f \cdot \vec{v} \\ = [\begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} v_{1} \\ v_{2} \end{array}] \\ = v_{1} \frac{\partial f}{\partial x} (x, y) + v_{2} \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) \end{aligned}$ ‍

Burada

v_{1}

v_{2}

\vec{v}

'nün bileşenleridir.

$\begin{array}{r} \vec{v} = [\begin{array}{c} v_{1} \\ v_{2} \end{array}] \end{array}$ ‍

Merkezdeki soru şudur, bu formülün üstteki tanımla ilgisi nedir?

İtmeyi ayrıştırma

\nabla_{v} f

hesaplaması,

v

yönünde minik bir adımı

x

y

bileşenlerine ayırmak için bir yol gibi görülebilir.

Özellikle, aşağıdaki prosedürü gözünüzde canlandırabilirsiniz:

Bir $(x_{0}, y_{0})$ ‍ noktasından başlayın.
$h$ ‍ olarak minicik bir değer seçin.
$x_{0}$ ‍'a $h v_{1}$ ‍ ekleyin, bu $(x_{0} + h v_{1}, y_{0})$ ‍ noktasına atlamak anlamına gelir. Kısmi türevlerle ilgili bilgimize göre, bu fonksiyonun çıktısını yaklaşık şu kadar değiştirecektir:
$\begin{array}{r} h v_{1} (\frac{\partial f}{\partial x} (x_{0}, y_{0})) \end{array}$ ‍
Şimdi bizi $(x_{0} + h v_{1}, y_{0} + h v_{2})$ ‍ noktasına getirmek için $h v_{2}$ ‍'yi $y_{0}$ ‍'la toplayın. $f$ ‍'de ortaya çıkan değişim yaklaşık olarak,
$\begin{array}{r} h v_{2} (\frac{\partial f}{\partial y} (x_{0} + h v_{1}, y_{0})) \end{array}$ ‍

3

4

. adımların sonuçlarını topladığımızda,

(x_{0}, y_{0})

girdisinden

(x_{0} + h v_{1}, y_{0} + h v_{2})

girdisine hareket ettiğimizde fonksiyonun toplam değişimi yaklaşık şöyle olur:

\begin{array}{r} h v_{1} (\frac{\partial f}{\partial x} (x_{0}, y_{0})) + h v_{2} (\frac{\partial f}{\partial y} (x_{0} + h v_{1}, y_{0})) \end{array}

Bu yönlü türevin ifadesine çok yakındır, burada

f

'deki

h \vec{v}

adıma göre değişimin yaklaşık şöyle olması beklenir

\begin{aligned} h \nabla_{\vec{v}} f (x_{0}, y_{0}) & = h \vec{v} \cdot \nabla f (x_{0}, y_{0}) \\ = h v_{1} \frac{\partial f}{\partial x} (x_{0}, y_{0}) + h v_{2} \frac{\partial f}{\partial y} (x_{0}, y_{0}) \end{aligned}

Bununla birlikte, bu adım-adım savımızdan biraz farklıdır, burada

y

'ye göre kısmi türev

(x_{0}, y_{0})

noktasında değil,

(x_{0} + h v_{1}, y_{0})

noktasında alınır.

Şanslıyız ki,

h

'nin çok çok küçük değerlerini ele alıyoruz. Aslında, daha teknik olmak gerekirse,

h \to 0

iken limitten bahsediyor olmalıyız. Bu nedenle,

(x_{0} + h v_{1}, y_{0})

'da

\frac{\partial f}{\partial y}

'yi hesaplamak; bunu

(x_{0}, y_{0})

'da hesaplamakla neredeyse aynı olacaktır. Ayrıca,

h

0

'a yaklaşırken, bunlar arasındaki fark da sıfıra yaklaşır, ancak

f

'nin sürekli olduğunu varsaymalıyız.

Gradyan neden en dik çıkış yönünde bulunur?

Yönlü türevleri öğrendiğimize göre, artık gradyanın yönünün neden en dik tırmanış yönü olduğunu anlayabiliriz.

Özellikle, söz konusu soru şudur.

Kurulum:

$f$ ‍ $f (x, y) = x^{2} + y^{2}$ ‍ gibi skaler değerli çok değişkenli bir fonksiyon olsun.
$(x_{0}, y_{0})$ ‍ belirli bir girdi noktası olsun
Tüm olası yönleri ele alın, örneğin $f$ ‍'nin girdi uzayındaki tüm $\hat{u}$ ‍ birim vektörlerini.

Soru (biçimsel olmayan):

(x_{0}, y_{0})

'dan başlarsak,

f

'nin çıktısının en hızlı artması için hangi yönde yürümeliyiz?

Soru (biçimse): Hangi

\hat{u}

birim vektörü

\hat{u}

boyunca yönlü türevi maksimize eder:

$\begin{array}{r} \nabla_{\hat{u}} f (x_{0}, y_{0}) = \underset{Bu miktarı maksimum yapın}{\underset{⏟}{\hat{u} \cdot \nabla f (x_{0}, y_{0})}} \end{array}$ ‍

Ünlü üçgen eşitsizliği, bunun

\nabla f (x_{0}, y_{0})

yönünde birim vektörle maksimize edileceğini belirtir.

Dikkat ederseniz, gradyanın en dik çıkış yönünü işaret etmesi, tüm yönlü türevlerin

\nabla f

ile iç çarpım almayı gerektirmesi şeklindeki temel olgunun sonucudur.

[Sezgiye yardımcı olması için görünüşte alakasız bir bulmaca]

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.