If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 2

Ders 1: Kısmi Türev ve Gradyan (Makaleler)
Matematik
Çok Değişkenli Kalkülüs
Çok Değişkenli Fonksiyonların Türevleri
Kısmi Türev ve Gradyan (Makaleler)
© 2023 Khan AcademyKullanım ŞartlarıGizlilik PolitikasıÇerez Politikası

Yönlü türevler (derine inilerek)

Google Classroom
Yönlü türev için olan formüle daha kapsamlı bir bakışın yanı sıra, gradyanın neden en dik çıkışın eğimini verdiğiyle ilgili bir açıklama.

Arka plan:

Bu makale yönlü türev ve formülüyle ilgili daha derin anlayış geliştirmek isteyenler içindir.

Yönlü türevin tanımı

Biçimsel bir tanıma önem vermenizin birkaç nedeni olabilir. Her zaman olduğu gibi, yeni bir kavramın biçimsel tanımını gerçekten anlamak, neler olduğunun netleşmesini sağlayabilir. Ancak sanırım bundan daha önemli olan, böyle bir kavramın ne zaman uygulanabildiğini ve uygulanamadığını anlamanız için size güven vermesidir.
İlk olarak, kısmi türevin -örneğin x'e göre- biçimsel tanımını hatırlayalım:
start fraction, \partial, f, divided by, start color #0c7f99, \partial, x, end color #0c7f99, end fraction, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, limit, start subscript, h, \to, 0, end subscript, start fraction, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, start color #0c7f99, plus, h, end color #0c7f99, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, divided by, start color #0c7f99, h, end color #0c7f99, end fraction
start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction okumanın biçimsel olmayan yoluyla sağ tarafı okumanın biçimsel yolu arasındaki ilişki aşağıdaki gibidir:
SimgeBiçimsel olmayan anlayışBiçimsel anlayış
\partial, xx yönünde minik bir itme.0'a giden sınırlandıran bir h değişkeni ve fonksiyonun girdisinin ilk bileşenine eklenecek.
\partial, fİtmeden sonra f'nin çıktısındaki sonuç değişim.f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, plus, h, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis ile f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis arasındaki fark, h, \to, 0 alınmış.
Bunun yerine bunu vektör notasyonuyla yazabilir, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis girdi noktasını iki boyutlu bir vektör olarak görebilirdik
x0=[x0y0]\begin{aligned} \quad \textbf{x}_0 = \left[ \begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \\ \end{array} \right] \end{aligned}
Burada start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript vektörlüğünü vurgulamak için kalın yazılmıştır. Tüm girdi için başka bir harf yerine kalın start bold text, x, end bold text kullanmak, x harfi girdinin birinci bileşenini kalın olmayan şekilde gösterdiği için biraz akıl karıştırıcı gelebilir. Ancak kural budur, biz de bunu uygulayacağız.
"İtilmiş girdiyi left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, plus, h, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis olarak yazmak yerine, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, plus, h, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top olarak yazıyoruz, burada start bold text, i, end bold text, with, hat, on top x-yönündeki birim vektördür:
∂f∂x(x0)=lim⁡h→0f(x0+hi^)−f(x0)h\begin{aligned} \quad \dfrac{\partial f}{\partial x}(\textbf{x}_0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(\textbf{x}_0 + h \hat{\textbf{i}}) - f(\textbf{x}_0)}{h} \end{aligned}
Bu notasyonda, x'e göre kısmi türevi herhangi bir start bold text, v, end bold text, with, vector, on top vektörü boyunca yönlü türevle genelleştirmek çok daha kolaydır:
start color #0c7f99, del, start subscript, start color #e84d39, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end color #e84d39, end subscript, f, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, limit, start subscript, h, \to, 0, end subscript, start fraction, f, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, plus, h, start color #e84d39, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end color #e84d39, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, divided by, h, end fraction, end color #0c7f99
Bu durumda, h, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top'yi girdiye sınırlandıran bir değişken h, \to, 0 için toplayarak start bold text, v, end bold text, with, vector, on top yönünde minik bir itme fikrini biçimselleştiririz.
Yönlü türevi gösterme dürtmesi

Tanımla hesaplama arasında bağlantı arama

Yönlü türevin hesaplanması, del, f'nin gradyanıyla start bold text, v, end bold text, with, vector, on top vektörü arasında bir iç çarpımı içerir. Örneğin, iki boyutta bu şöyle görünecektir:
∇v→f(x,y)=∇f⋅v→=[∂f∂x∂f∂y]⋅[v1v2]=v1∂f∂x(x,y)+v2∂f∂y(x,y)
Burada start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99 ve start color #0d923f, v, start subscript, 2, end subscript, end color #0d923f, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top'nün bileşenleridir.
v⃗=[v1v2]\begin{aligned} \vec{\textbf{v}} = \left[ \begin{array}{c} \blueE{v_1} \\ \greenE{v_2} \\ \end{array} \right] \end{aligned}
Merkezdeki soru şudur, bu formülün üstteki tanımla ilgisi nedir?

İtmeyi ayrıştırma

del, start subscript, start bold text, v, end bold text, end subscript, f hesaplaması, start bold text, v, end bold text yönünde minik bir adımı x ve y bileşenlerine ayırmak için bir yol gibi görülebilir.
h, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top vektörü boyunca bir adımı ayırın
Özellikle, aşağıdaki prosedürü gözünüzde canlandırabilirsiniz:
  1. Bir left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis noktasından başlayın.
  2. h olarak minicik bir değer seçin.
  3. x, start subscript, 0, end subscript'a h, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99 ekleyin, bu left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, plus, h, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis noktasına atlamak anlamına gelir. Kısmi türevlerle ilgili bilgimize göre, bu fonksiyonun çıktısını yaklaşık şu kadar değiştirecektir:
    hv1(∂f∂x(x0,y0))\begin{aligned} h\blueE{v_1} \left(\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) \right) \end{aligned}
  4. Şimdi bizi left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, plus, h, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, comma, y, start subscript, 0, end subscript, plus, h, start color #0d923f, v, start subscript, 2, end subscript, end color #0d923f, right parenthesis noktasına getirmek için h, start color #0d923f, v, start subscript, 2, end subscript, end color #0d923f'yi y, start subscript, 0, end subscript'la toplayın. f'de ortaya çıkan değişim yaklaşık olarak,
    hv2(∂f∂y(x0+hv1,y0))\begin{aligned} h\greenE{v_2}\left( \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0 + h\blueE{v_1}, y_0) \right) \end{aligned}
3 ve 4. adımların sonuçlarını topladığımızda, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis girdisinden left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, plus, h, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, comma, y, start subscript, 0, end subscript, plus, h, start color #0d923f, v, start subscript, 2, end subscript, end color #0d923f, right parenthesis girdisine hareket ettiğimizde fonksiyonun toplam değişimi yaklaşık şöyle olur:
hv1(∂f∂x(x0,y0))+hv2(∂f∂y(x0+hv1,y0))\begin{aligned} \quad h\blueE{v_1} \left(\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) \right) + h\greenE{v_2}\left( \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0 \redD{+ h\blueE{v_1}}, y_0) \right) \end{aligned}
Bu yönlü türevin ifadesine çok yakındır, burada f'deki h, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top adıma göre değişimin yaklaşık şöyle olması beklenir
h∇v→f(x0,y0)=hv→⋅∇f(x0,y0)=hv1∂f∂x(x0,y0)+hv2∂f∂y(x0,y0)
Bununla birlikte, bu adım-adım savımızdan biraz farklıdır, burada y'ye göre kısmi türev left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis noktasında değil, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, plus, h, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis noktasında alınır.
Şanslıyız ki, h'nin çok çok küçük değerlerini ele alıyoruz. Aslında, daha teknik olmak gerekirse, h, \to, 0 iken limitten bahsediyor olmalıyız. Bu nedenle, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, plus, h, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis'da start fraction, \partial, f, divided by, \partial, y, end fraction'yi hesaplamak; bunu left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis'da hesaplamakla neredeyse aynı olacaktır. Ayrıca, h 0'a yaklaşırken, bunlar arasındaki fark da sıfıra yaklaşır, ancak f'nin sürekli olduğunu varsaymalıyız.

Gradyan neden en dik çıkış yönünde bulunur?

Yönlü türevleri öğrendiğimize göre, artık gradyanın yönünün neden en dik tırmanış yönü olduğunu anlayabiliriz.
En dik çıkış kavramı.
Özellikle, söz konusu soru şudur.
Kurulum:
  • f f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, plus, y, squared gibi skaler değerli çok değişkenli bir fonksiyon olsun.
  • left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis belirli bir girdi noktası olsun
  • Tüm olası yönleri ele alın, örneğin f'nin girdi uzayındaki tüm start bold text, u, end bold text, with, hat, on top birim vektörlerini.
Soru (biçimsel olmayan): left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis'dan başlarsak, f'nin çıktısının en hızlı artması için hangi yönde yürümeliyiz?
Soru (biçimse): Hangi start bold text, u, end bold text, with, hat, on top birim vektörü start bold text, u, end bold text, with, hat, on top boyunca yönlü türevi maksimize eder:
∇u^f(x0,y0)=u^⋅∇f(x0,y0)⏟Bu miktarı maksimum yapın\begin{aligned} \nabla_{\hat{\textbf{u}}} f(x_0, y_0) = \underbrace{\hat{\textbf{u}} \cdot \nabla f(x_0, y_0)}_{ \text{Bu miktarı maksimum yapın} } \end{aligned}
Ünlü üçgen eşitsizliği, bunun del, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis yönünde birim vektörle maksimize edileceğini belirtir.
İç çarpımın maksimize etme
Dikkat ederseniz, gradyanın en dik çıkış yönünü işaret etmesi, tüm yönlü türevlerin del, f ile iç çarpım almayı gerektirmesi şeklindeki temel olgunun sonucudur.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap
Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.