Ana içerik
Çok Değişkenli Kalkülüs
Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 2
Ders 1: Kısmi Türev ve Gradyan (Makaleler)Kısmi türevlere giriş
Kısmi türev nedir, bunu nasıl hesaplarsınız ve ne anlama gelir.
Neye ulaşıyoruz
- Çok değişkenli bir fonksiyon için (
gibi) kısmi türevlerin hesaplanması böyle gözükür:
- Bu kıvrımlı
sembolü "del" olarak adlandırılır ve kısmi türevleri normal tek değişkenli türevlerden ayırmak için kullanılır. Yoksa farklılaştırmak mı demeliydim? - Bir fonksiyonun girdisi birden çok değişkenden oluştuğunda, yeni bir tür türevin nedeni, diğerlerini sabit tutarken birini değiştirdiğimizde fonksiyonun nasıl değiştirdiğini görmek istememizdir.
- Üç boyutlu grafikler için,
kısmi türevini grafiğini sabit bir değerini temsil eden bir düzlemle keserek ve elde ettiğiniz eğrinin eğimini ölçerek görselleştirebilirsiniz.
Kısmi türev nedir?
Tek değişkenli analizden sıradan türevine aşina olduğunuzu varsayacağız. Aslında türevin bu gösterimini çok severim, çünkü bunu aşağıdaki gibi yorumlayabilirsiniz:
'i " 'te küçük bir değişim" olarak yorumlayın. 'yi " 'nin çıktısında küçük bir değişim" olarak yorumlayın, burada anlaşılan şey, bu değişimin girdideki küçük değişiminin sonucu olduğudur.
Aslında, simgesiyle ilgili bu sezgi, tek değişkenli analizin en önemli ana fikirlerinden biridir, ve kemiklerinizde hissetmeye başladığınızda, türevle ilgili kavramların çoğunun mantığını anlarsınız.
Örneğin, bunu grafiğine uyguladığınızda, bu ''oran''ını grafiğinin yükselmesi veya alçalması bölü sola veya sağa gitmesi olarak yorumlayabilirsiniz, bu durduğunuz noktaya bağlıdır.
Bu çok değişkenli fonksiyonlarda nasıl çalışır?
İki boyutlu girdiye ve bir boyutlu çıktıya sahip bir fonksiyonu düşünün.
Bizi aynı ifadeyi yazmaktan, , ve aynı şekilde yorumlamaktan alıkoyan herhangi bir şey yoktur:
hala değişkenindeki minik bir değişimi temsil edebilir, bu şimdi girdinizin bir bileşenidir. hala fonksiyonunun çıktısında ortaya çıkan değişimi temsil edebilir.
Bununla birlikte, bu başka bir girdi değişkeni olduğu gerçeğini göz ardı eder. Artık girdi uzayının birden fazla boyutu vardır, dolayısıyla girdiyi yönü dışında birçok yönde değiştirebiliriz. Örneğin, 'yi küçük bir değeriyle değiştirsek? Şimdi 'yi bu kaydırmasının yarattığı küçük değişim olarak yorumlarsak, farklı bir türevi elde ederiz.
Bu türevlerin ikisi de, girdi biraz değiştiğinde fonksiyonumuzun nasıl değiştiğinin tam hikayesini anlatmaz; onun için bunlara kısmi türevler deriz. Bu farkı vurgulamak için, *küçük değişimleri göstermek için artık harfini kullanmayız, bunun yerine yeni bulduğumuz simgesini kullanırız**, her bir kısmi türevi , , vb. olarak yazarız.
Örnek: Kısmi türevi hesaplama
Şu fonksiyonu düşünün:
Sizden girdisi için 'e göre 'i hesaplamanızı istediğimi varsayın.
"Ne? Ancak henüz nasıl yapılacağını öğrenmedim!"
Endişelenmeyin, bu normal türevle aynı şekilde yapılıyor.
Yukarıdaki açıklamalardan bunun, girdinin bileşenini biraz değiştirdiğimizde, örneğin belki 'den 'ye hareket ettirdiğimizde 'nin çıktısının değiştiği hızı sormakta olduğunu biliyor olmalısınız.
Sadece yönündeki hareketle ilgilendiğimiz için, değerini sabit gibi kabul edebiliriz. Aslında, herhangi bir türevi hesaplamadan önce koyabiliriz:
Şimdi 'nin 'te küçük bir kaymaya göre nasıl değiştiğini sormak, sıradan, tek değişkenli bir türevdir.
Kavram kontrolü: fonksiyonunun 'te türevi nedir?
Önceden değerini bulmadan
Şimdi sizden 'i bulmanızı istediğimi varsayın, ancak bunu herhangi bir noktada hesaplamanızı istemedim. Başka şekilde söylersek, bana girdi olarak herhangi bir noktasını alan ve sadece yönünde ilerlediğimizde 'nin bu noktanın yakınındaki değişim oranını söyleyen yeni bir fonksiyon vermelisiniz.
Ya da, bunun çok değişkenli bir fonksiyon olduğunu vurgulamak için, yerine sembolünü kullanırız:
Kontrol etmek için, koyabilir ve yukarıdakiye aynı sonucu elde edip etmediğimize bakabilirsiniz.
"Buna göreve arasındaki fark nedir? İkisi de aynı şekilde kullanılıyor gibi gözüküyor."
Dürüst olmak gerekirse, bu işlemler arasında aslında bir fark yoktur. Bilgiçlik taslayıp bunlardan birinin sadece tek değişkenli fonksiyonlar için tanımlı olduğunu söyleyebilirsiniz. Ama sezgi ve hesaplama açısından, bunlar aynıdır, ve aradaki fark sadece hangi tür fonksiyonun türevinin alındığını açıklığa kavuşturur.
Kısmi türevleri grafiklerle yorumlama.
Şu fonksiyonu düşünün:
,
Bu fonksiyonu dönerken gösteren bir videoyu burada bulabilirsiniz, böylece üç boyutlu doğasını daha iyi anlarsınız.
Grafiğe göre, bu ifadenin değeri bize fonksiyonunun noktasındaki davranışına ilişkin olarak ne söyler?
'yi sabit gib düşünün grafiği düzlemle kesin
Bu değeri hesaplarken ilk adım 'yi sabit olarak görmektir. Özellikle, eğer bakış açımızı noktasında ne olduğuyla sınırlandırıyorsak, sadece olan noktaların kümesine bakmalıyız. Üç boyutlu uzayda, bu küme başlangıç noktasından geçen ve eksenine dik olan düzlemdir.
Beyazla gösterilen bu düzlemi, grafiğinde hafifçe kırmızıyla gösterilen parabolik bir eğriyle kesit yapar. 'i bu eğrinin teğet doğrusunun eğimini verdiği şeklinde yorumlayabiliriz. Neden? Çünkü, yönünde hafif bir itmedir ve yönündeki sonuç değişikliktir.
Peki ya aynı noktasında ? olan noktalar da bir düzlem oluşturur, ancak bu düzlem eksenine diktir ve eksenini noktasında keser. Bu, grafiği yeni eğri boyunca keser ve bu yeni eğrinin eğimini verir.
Düşünme Sorusu: Sağdaki resimde, grafiğinin ile tanımlanan düzlemle kesiştiği "eğri", düz bir doğru gibi görünüyor. Bu gerçekten bir doğru mu?
İfade ve gösterim
Bu işlemiyle ilgili duyabileceğiniz bazı ifadeler şunlardır:
- "
'nin 'e göre kısmi türevi" - "Del f, del x"
- "Kısmil f, kısmi x"
- "(
)'nin yönünde kısmi türevi"
Alternatif gösterim
İnsanların yerine 'nü yazmayı tercih etmesi gibi, aşağıdaki notasyonu da kullanabiliriz:
Daha biçimsel bir tanım
Analizin temelinde sadece herhangi bir küçük değer kullanmak yerine tüm olası değerleri düşünmek ve bunlar sınırlayıcı bir değere yaklaşırken neler olduğunu analiz etmek yatar. Örneğin, tek değişkenli türev böyle tanımlanır:
olarak düşündüğümüz "minik değeri" temsil eder.- Limitin altındaki "
", 'a yaklaşan çok küçük değerleriyle ilgilendiğimizi gösterir. , girdiye eklemenin sonucunda çıktıdaki değişim, olarak düşündüğümüz şeydir.
Kısmi türevin biçimsel tanımı neredeyse aynı görünür. Eğer birden çok girdili bir fonksiyonsa, böyle gözükür:
Benzer şekilde, 'ye göre kısmi türev böyle gözükür:
Burada önemli olan, girdi için küçük bir farkı temsil eden , hangi kısmi türevi aldığımıza göre, farklı girdi değişkenlerine eklenir.
İnsanlar buna genelde kısmi türevin limit tanımı derler.
Düşünme Sorusu: Üstteki grafik yorumlama bağlamında bu limit tanımını nasıl düşünebiliriz? nedir? olması neye benzer?
Özet
- Çok değişkenli bir fonksiyon için (
gibi) kısmi türevlerin hesaplanması böyle gözükür: - Bu kıvrımlı
sembolü "del" olarak adlandırılır ve kısmi türevleri normal tek değişkenli türevlerden ayırmak için kullanılır. - Bir fonksiyonun girdisi birden çok değişkenden oluştuğunda, yeni bir tür türevin nedeni, diğerlerini sabit tutarken birini değiştirdiğimizde fonksiyonun nasıl değiştirdiğini görmek istememizdir.
- Üç boyutlu grafikler için,
kısmi türevini grafiğini sabit bir değerini temsil eden bir düzlemle keserek ve elde ettiğiniz kesiğin eğimini ölçerek görselleştirebilirsiniz.
Tartışmaya katılmak ister misiniz?
Henüz gönderi yok.