If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 2

Ders 1: Kısmi Türev ve Gradyan (Makaleler)
Matematik
Çok Değişkenli Kalkülüs
Çok Değişkenli Fonksiyonların Türevleri
Kısmi Türev ve Gradyan (Makaleler)
© 2023 Khan AcademyKullanım ŞartlarıGizlilik PolitikasıÇerez Politikası

Kısmi türevlere giriş

Google Classroom
Kısmi türev nedir, bunu nasıl hesaplarsınız ve ne anlama gelir.

Arka plan

Neye ulaşıyoruz

  • Çok değişkenli bir fonksiyon için (f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, y gibi) kısmi türevlerin hesaplanması böyle gözükür:
∂f∂x= ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣∂∂xx2y⏟y’ye sabit gibi davranın;tu¨rev alın. ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣=2xy∂f∂y= ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣∂∂yx2y⏟x’e sabit gibi davranın;tu¨rev alın. ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣=x2⋅1\begin{aligned} \dfrac{\partial f}{\blueE{\partial x}} &= \!\!\!\!\! \underbrace{ \dfrac{\partial}{\blueE{\partial x}} \blueE{x^2}y }_{\substack{ \text{$y$'ye sabit gibi davranın;}\\ \text{türev alın.} }}\!\!\!\!\! = 2\blueE{x}y \\\\ \dfrac{\partial f}{\redE{\partial y}} &= \!\!\!\!\! \underbrace{ \dfrac{\partial}{\redE{\partial y}} x^2\redE{y} }_{\substack{ \text{$x$'e sabit gibi davranın;}\\ \text{türev alın.} }}\!\!\!\!\! = x^2\cdot \redE{1} \\\\ \end{aligned}
  • Bu kıvrımlı \partial sembolü "del" olarak adlandırılır ve kısmi türevleri normal tek değişkenli türevlerden ayırmak için kullanılır. Yoksa farklılaştırmak mı demeliydim?
  • Bir fonksiyonun girdisi birden çok değişkenden oluştuğunda, yeni bir tür türevin nedeni, diğerlerini sabit tutarken birini değiştirdiğimizde fonksiyonun nasıl değiştirdiğini görmek istememizdir.
  • Üç boyutlu grafikler için, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction kısmi türevini f grafiğini sabit bir y değerini temsil eden bir düzlemle keserek ve elde ettiğiniz eğrinin eğimini ölçerek görselleştirebilirsiniz.
y, equals, 0 düzlemini grafikle kesiştirme

Kısmi türev nedir?

Tek değişkenli analizden start fraction, d, f, divided by, d, x, end fraction sıradan türevine aşina olduğunuzu varsayacağız. Aslında türevin bu gösterimini çok severim, çünkü bunu aşağıdaki gibi yorumlayabilirsiniz:
  • d, x'i "x'te küçük bir değişim" olarak yorumlayın.
  • d, f'yi "f'nin çıktısında küçük bir değişim" olarak yorumlayın, burada anlaşılan şey, bu değişimin girdideki küçük d, x değişiminin sonucu olduğudur.
Aslında, start fraction, d, f, divided by, d, x, end fraction simgesiyle ilgili bu sezgi, tek değişkenli analizin en önemli ana fikirlerinden biridir, ve kemiklerinizde hissetmeye başladığınızda, türevle ilgili kavramların çoğunun mantığını anlarsınız.
Örneğin, bunu f grafiğine uyguladığınızda, bu start fraction, d, f, divided by, d, x, end fraction ''oran''ını f grafiğinin yükselmesi veya alçalması bölü sola veya sağa gitmesi olarak yorumlayabilirsiniz, bu durduğunuz noktaya bağlıdır.
Tek değişkenli fonksiyonda dfracdfdx\\dfrac{df}{dx} yorumu.

Bu çok değişkenli fonksiyonlarda nasıl çalışır?

İki boyutlu girdiye ve bir boyutlu çıktıya sahip bir fonksiyonu düşünün.
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, minus, 2, x, y
Bizi aynı ifadeyi yazmaktan, start fraction, d, f, divided by, d, x, end fraction, ve aynı şekilde yorumlamaktan alıkoyan herhangi bir şey yoktur:
  • d, x hala x değişkenindeki minik bir değişimi temsil edebilir, bu şimdi girdinizin bir bileşenidir.
  • d, f hala f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis fonksiyonunun çıktısında ortaya çıkan değişimi temsil edebilir.
Bununla birlikte, bu başka bir y girdi değişkeni olduğu gerçeğini göz ardı eder. Artık girdi uzayının birden fazla boyutu vardır, dolayısıyla girdiyi x yönü dışında birçok yönde değiştirebiliriz. Örneğin, y'yi küçük bir d, y değeriyle değiştirsek? Şimdi d, f'yi bu d, y kaydırmasının yarattığı küçük değişim olarak yorumlarsak, farklı bir start fraction, d, f, divided by, d, y, end fraction türevi elde ederiz.
Çok değişkenli bir fonksiyonun girdisinin birçok yönde değişebileceğinin göstergesi.
Bu türevlerin ikisi de, girdi biraz değiştiğinde f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis fonksiyonumuzun nasıl değiştiğinin tam hikayesini anlatmaz; onun için bunlara kısmi türevler deriz. Bu farkı vurgulamak için, *küçük değişimleri göstermek için artık d harfini kullanmayız, bunun yerine yeni bulduğumuz \partial simgesini kullanırız**, her bir kısmi türevi start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, y, end fraction, vb. olarak yazarız.
start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction sembolünü sesli olarak "f'nin x'e göre kısmi türevi" şeklinde okursunuz.

Örnek: Kısmi türevi hesaplama

Şu fonksiyonu düşünün:
f, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, y, end color #bc2612, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, squared, start color #bc2612, y, end color #bc2612, cubed
Sizden left parenthesis, start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, 2, end color #bc2612, right parenthesis girdisi için x'e göre start fraction, \partial, f, divided by, start color #0c7f99, \partial, x, end color #0c7f99, end fraction'i hesaplamanızı istediğimi varsayın.
"Ne? Ancak henüz nasıl yapılacağını öğrenmedim!"
Endişelenmeyin, bu normal türevle aynı şekilde yapılıyor.
Yukarıdaki açıklamalardan bunun, girdinin x bileşenini biraz değiştirdiğimizde, örneğin belki left parenthesis, start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, 2, end color #bc2612, right parenthesis'den left parenthesis, start color #0c7f99, 3, comma, 01, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, 2, end color #bc2612, right parenthesis'ye hareket ettirdiğimizde f'nin çıktısının değiştiği hızı sormakta olduğunu biliyor olmalısınız.
Sadece start color #0c7f99, x, end color #0c7f99 yönündeki hareketle ilgilendiğimiz için, start color #bc2612, y, end color #bc2612 değerini sabit gibi kabul edebiliriz. Aslında, herhangi bir türevi hesaplamadan önce start color #bc2612, y, equals, 2, end color #bc2612 koyabiliriz:
f, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, 2, end color #bc2612, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, squared, left parenthesis, start color #bc2612, 2, end color #bc2612, right parenthesis, cubed, equals, 8, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, squared
Şimdi f'nin start color #0c7f99, x, end color #0c7f99'te küçük bir kaymaya göre nasıl değiştiğini sormak, sıradan, tek değişkenli bir türevdir.
Kavram kontrolü: f, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, 2, end color #bc2612, right parenthesis, equals, 8, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, squared fonksiyonunun start color #0c7f99, x, equals, 3, end color #0c7f99'te türevi nedir?

Önceden y değerini bulmadan

Şimdi sizden start fraction, \partial, f, divided by, start color #0c7f99, \partial, x, end color #0c7f99, end fraction'i bulmanızı istediğimi varsayın, ancak bunu herhangi bir noktada hesaplamanızı istemedim. Başka şekilde söylersek, bana girdi olarak herhangi bir left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, y, end color #bc2612, right parenthesis noktasını alan ve sadece start color #0c7f99, x, end color #0c7f99 yönünde ilerlediğimizde f'nin bu noktanın yakınındaki değişim oranını söyleyen yeni bir fonksiyon vermelisiniz.
start color #bc2612, y, end color #bc2612 değerine bir sabit gibi davranarak, aynı şekilde başlayabilirsiniz. Bununla birlikte, bu kez örneğin start color #bc2612, y, equals, 2, end color #bc2612 gibi gerçek bir sabit değer koyamazsınız. Bunun yerine, start color #bc2612, y, end color #bc2612'nin bir sabit olduğunu düşünün ve türevini alın:
start fraction, d, divided by, start color #0c7f99, d, x, end color #0c7f99, end fraction, f, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, comma, y, right parenthesis, equals, start underbrace, start fraction, d, divided by, start color #0c7f99, d, x, end color #0c7f99, end fraction, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, squared, y, cubed, right parenthesis, end underbrace, start subscript, start text, y, apostrophe, n, i, n, space, s, a, b, i, t, space, o, l, d, u, g, with, \u, on top, u, n, u, space, v, a, r, s, a, y, ı, n, end text, end subscript, equals, 2, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, y, cubed
Ya da, bunun çok değişkenli bir fonksiyon olduğunu vurgulamak için, d yerine \partial sembolünü kullanırız:
start fraction, \partial, divided by, start color #0c7f99, \partial, x, end color #0c7f99, end fraction, f, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, comma, y, right parenthesis, equals, start fraction, \partial, divided by, start color #0c7f99, \partial, x, end color #0c7f99, end fraction, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, squared, y, cubed, right parenthesis, equals, 2, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, y, cubed
Kontrol etmek için, left parenthesis, start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, 2, end color #bc2612, right parenthesis koyabilir ve yukarıdakiye aynı sonucu elde edip etmediğimize bakabilirsiniz.
"Buna göre start fraction, d, divided by, d, x, end fraction ve start fraction, \partial, divided by, \partial, x, end fraction arasındaki fark nedir? İkisi de aynı şekilde kullanılıyor gibi gözüküyor."
Dürüst olmak gerekirse, bu işlemler arasında aslında bir fark yoktur. Bilgiçlik taslayıp bunlardan birinin sadece tek değişkenli fonksiyonlar için tanımlı olduğunu söyleyebilirsiniz. Ama sezgi ve hesaplama açısından, bunlar aynıdır, ve aradaki fark sadece hangi tür fonksiyonun türevinin alındığını açıklığa kavuşturur.

Kısmi türevleri grafiklerle yorumlama.

Şu fonksiyonu düşünün:
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, left parenthesis, x, squared, minus, 2, x, y, right parenthesis, plus, 3,
Bu fonksiyonu dönerken gösteren bir videoyu burada bulabilirsiniz, böylece üç boyutlu doğasını daha iyi anlarsınız.
Khan Akademi video wrapper
Video metni
f'nin start color #0c7f99, x, end color #0c7f99'e göre, örneğin left parenthesis, 2, comma, 0, right parenthesis noktasında hesaplanmış kısmi türevini düşünün.
start fraction, \partial, f, divided by, start color #0c7f99, \partial, x, end color #0c7f99, end fraction, left parenthesis, 2, comma, 0, right parenthesis
Grafiğe göre, bu ifadenin değeri bize f fonksiyonunun left parenthesis, 2, comma, 0, right parenthesis noktasındaki davranışına ilişkin olarak ne söyler?

y'yi sabit gib düşünün right arrow grafiği düzlemle kesin

Bu değeri hesaplarken ilk adım y'yi sabit olarak görmektir. Özellikle, eğer bakış açımızı left parenthesis, 2, comma, 0, right parenthesis noktasında ne olduğuyla sınırlandırıyorsak, sadece y, equals, 0 olan noktaların kümesine bakmalıyız. Üç boyutlu uzayda, bu küme başlangıç noktasından geçen ve y eksenine dik olan düzlemdir.
y, equals, 0 düzlemini grafikle kesiştirme
Beyazla gösterilen bu y, equals, 0 düzlemi, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis grafiğinde hafifçe kırmızıyla gösterilen parabolik bir eğriyle kesit yapar. start fraction, \partial, f, divided by, start color #0c7f99, \partial, x, end color #0c7f99, end fraction'i bu eğrinin teğet doğrusunun eğimini verdiği şeklinde yorumlayabiliriz. Neden? Çünkü, \partial, x x yönünde hafif bir itmedir ve \partial, f z yönündeki sonuç değişikliktir.
Peki ya aynı left parenthesis, 2, comma, 0, right parenthesis noktasında start fraction, \partial, f, divided by, start color #bc2612, \partial, y, end color #bc2612, end fraction? start color #0c7f99, x, equals, 2, end color #0c7f99 olan noktalar da bir düzlem oluşturur, ancak bu düzlem x eksenine diktir ve x eksenini x, equals, 2 noktasında keser. Bu, grafiği yeni eğri boyunca keser ve start fraction, \partial, f, divided by, start color #bc2612, \partial, y, end color #bc2612, end fraction bu yeni eğrinin eğimini verir.
x=2 düzlemini grafikle kesiştirme.
Düşünme Sorusu: Sağdaki resimde, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, left parenthesis, x, squared, minus, 2, x, y, right parenthesis, plus, 3 grafiğinin x, equals, 2 ile tanımlanan düzlemle kesiştiği "eğri", düz bir doğru gibi görünüyor. Bu gerçekten bir doğru mu?
1 cevap seçin:

İfade ve gösterim

Bu start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction işlemiyle ilgili duyabileceğiniz bazı ifadeler şunlardır:
  • "f'nin x'e göre kısmi türevi"
  • "Del f, del x"
  • "Kısmil f, kısmi x"
  • "(f)'nin x yönünde kısmi türevi"

Alternatif gösterim

İnsanların start fraction, d, f, divided by, d, x, end fraction yerine f, prime'nü yazmayı tercih etmesi gibi, aşağıdaki notasyonu da kullanabiliriz:
fx↔∂f∂xfy↔∂f∂yf⟨Bir deg˘işken ⟩↔∂f∂⟨Aynı deg˘işken⟩\begin{aligned} f_\blueE{x} &\leftrightarrow \dfrac{\partial f}{\blueE{\partial x}} \\ f_\redE{y} &\leftrightarrow \dfrac{\partial f}{\redE{\partial y}} \\ f_{\greenE{\langle\text{Bir değişken }\rangle}} &\leftrightarrow \dfrac{\partial f}{\greenE{\partial \langle\text{Aynı değişken} \rangle}} \end{aligned}

Daha biçimsel bir tanım

d, x'i veya \partial, x'i x'teki çok küçük değişiklikler olarak düşünmek faydalı bir anımsatıcı olsa da, bazen bir an durup düşünmek ve bir şeyleri kesin olarak tanımlamanın limit gerektirdiğini hatırlamak sağlıklıdır. Sonuçta \partial, x hangi küçük sayı olarak belirlenebilir ki? Yüzde bir? Milyonda bir? 10, start superscript, minus, 10, start superscript, 10, end superscript, end superscript?
Analizin temelinde sadece herhangi bir küçük değer kullanmak yerine tüm olası değerleri düşünmek ve bunlar sınırlayıcı bir değere yaklaşırken neler olduğunu analiz etmek yatar. Örneğin, tek değişkenli türev böyle tanımlanır:
dfdx(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)h\begin{aligned} \dfrac{{df}}{\blueE{dx}}(x_0) = \lim_{\blueE{h}\to 0} \frac{{f(x_0\blueE{+h}) - f(x_0)}}{\blueE{h}} \end{aligned}
  • h d, x olarak düşündüğümüz "minik değeri" temsil eder.
  • Limitin altındaki "h, \to, 0", 0'a yaklaşan çok küçük h değerleriyle ilgilendiğimizi gösterir.
  • f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, plus, h, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, girdiye h eklemenin sonucunda çıktıdaki değişim, d, f olarak düşündüğümüz şeydir.
Kısmi türevin biçimsel tanımı neredeyse aynı görünür. Eğer f, left parenthesis, x, comma, y, comma, dots, right parenthesis birden çok girdili bir fonksiyonsa, böyle gözükür:
∂f∂x(x0,y0,… )=lim⁡h→0f(x0+h,y0,… )−f(x0,y0,… )h\begin{aligned} \dfrac{\partial f}{\blueE{\partial x}}(x_0, y_0, \dots) &= \lim_{\blueE{h} \to 0} \dfrac{f(\blueE{x_0\blueE{+h}}, y_0, \dots) - f(x_0, y_0, \dots)} {\blueE{h}} \end{aligned}
Benzer şekilde, y'ye göre kısmi türev böyle gözükür:
∂f∂y(x0,y0,… )=lim⁡h→0f(x0,y0+h,… )−f(x0,y0,… )h\begin{aligned} \dfrac{\partial f}{\redD{\partial y}}(x_0, y_0, \dots) &= \lim_{\redD{h} \to 0} \frac{f(x_0, \redD{y_0+h}, \dots) - f(x_0, y_0, \dots)}{\redD{h}} \\ \end{aligned}
Burada önemli olan, girdi için küçük bir farkı temsil eden h, hangi kısmi türevi aldığımıza göre, farklı girdi değişkenlerine eklenir.
İnsanlar buna genelde kısmi türevin limit tanımı derler.
Düşünme Sorusu: Üstteki grafik yorumlama bağlamında bu limit tanımını nasıl düşünebiliriz? h nedir? h, \to, 0 olması neye benzer?

Özet

  • Çok değişkenli bir fonksiyon için (f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, y gibi) kısmi türevlerin hesaplanması böyle gözükür:
    ∂f∂x= ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣∂∂xx2y⏟y’ye bir sabit gibi davranın;tu¨rev alın. ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣=2xy∂f∂y= ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣∂∂yx2y⏟x’e bir sabit gibi davranın;tu¨rev alın. ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣=x2⋅1\begin{aligned} \dfrac{\partial f}{\blueE{\partial x}} &= \!\!\!\!\! \underbrace{ \dfrac{\partial}{\blueE{\partial x}} \blueE{x^2}y }_{\substack{ \text{$y$'ye bir sabit gibi davranın;}\\ \text{türev alın.} }}\!\!\!\!\! = 2\blueE{x}y \\\\ \dfrac{\partial f}{\redE{\partial y}} &= \!\!\!\!\! \underbrace{ \dfrac{\partial}{\redE{\partial y}} x^2\redE{y} }_{\substack{ \text{$x$'e bir sabit gibi davranın;}\\ \text{türev alın.} }}\!\!\!\!\! = x^2\cdot \redE{1} \\\\ \end{aligned}
  • Bu kıvrımlı \partial sembolü "del" olarak adlandırılır ve kısmi türevleri normal tek değişkenli türevlerden ayırmak için kullanılır.
  • Bir fonksiyonun girdisi birden çok değişkenden oluştuğunda, yeni bir tür türevin nedeni, diğerlerini sabit tutarken birini değiştirdiğimizde fonksiyonun nasıl değiştirdiğini görmek istememizdir.
  • Üç boyutlu grafikler için, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction kısmi türevini f grafiğini sabit bir y değerini temsil eden bir düzlemle keserek ve elde ettiğiniz kesiğin eğimini ölçerek görselleştirebilirsiniz.
y, equals, 0 düzlemini grafikle kesiştirme

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap
Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.