If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 2

Ders 1: Kısmi Türev ve Gradyan (Makaleler)
Matematik
Çok Değişkenli Kalkülüs
Çok Değişkenli Fonksiyonların Türevleri
Kısmi Türev ve Gradyan (Makaleler)
© 2023 Khan AcademyKullanım ŞartlarıGizlilik PolitikasıÇerez Politikası

İkinci kısmi türevler

Google Classroom
İkinci kısmi türev, karmaşık kısmi türevlerin simetrisi ve yüksek mertebeden kısmi türevler konularının kısa bir gözden geçirmesi.

Arka plan:

İkinci türevi genelleştirme

İki boyutlu girdili bir fonksiyonu düşünün, şöyle ki
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, y, cubed.
Bunun kısmi türevleri start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction ve start fraction, \partial, f, divided by, \partial, y, end fraction aynı iki boyutlu left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis girdisini alır:
∂f∂x=∂∂x(x2y3)=2xy3\begin{aligned} \dfrac{\partial f}{\partial \blueE{x}} = \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}}(\blueE{x}^2 y^3) = 2\blueE{x} y^3 \end{aligned}
∂f∂y=∂∂y(x2y3)=3x2y2\begin{aligned} \dfrac{\partial f}{\partial \redE{y}} = \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}}(x^2 \redE{y}^3) = 3x^2 \redE{y}^2 \end{aligned}
Dolayısıyla, kısmi türevlerin kısmi türevlerini de alabiliriz.
Bunlara ikinci kısmi türevler denir, ve notasyon tek-değişkenli analizdeki start fraction, d, squared, f, divided by, d, x, squared, end fraction notasyonuyla benzerlik gösterir:
∂∂x(∂f∂x)=∂2f∂x2∂∂x(∂f∂y)=∂2f∂x∂y∂∂y(∂f∂x)=∂2f∂y∂x∂∂y(∂f∂y)=∂2f∂y2\begin{aligned} \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}} \left(\dfrac{\partial f}{\partial \blueE{x}} \right) &= \dfrac{\partial^2 f}{\partial \blueE{x}^2} \\ \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}} \left(\dfrac{\partial f}{\partial \redE{y}} \right) &= \dfrac{\partial^2 f}{\partial \blueE{x} \partial \redE{y}} \\ \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}} \left(\dfrac{\partial f}{\partial \blueE{x}} \right) &= \dfrac{\partial^2 f}{\partial \redE{y} \partial \blueE{x}} \\ \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}} \left(\dfrac{\partial f}{\partial \redE{y}} \right) &= \dfrac{\partial^2 f}{\partial \redE{y}^2} \\ \end{aligned}
Kısmi türev için f, start subscript, x, end subscript notasyonunu kullandığınızda (bu durumda x'e göre), ikinci kısmi türevleri şöyle de yazabilirsiniz:
(fx)x=fxx(fy)x=fyx(fx)y=fxy(fy)y=fyy\begin{aligned} (f_\blueE{x})_\blueE{x} &= f_{\blueE{x}\blueE{x}} \\ (f_\redE{y})_\blueE{x} &= f_{\redE{y}\blueE{x}} \\ (f_\blueE{x})_\redE{y} &= f_{\blueE{x}\redE{y}} \\ (f_\redE{y})_\redE{y} &= f_{\redE{y}\redE{y}} \\ \end{aligned}
f, start subscript, start color #bc2612, y, end color #bc2612, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, end subscript ve f, start subscript, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, start color #bc2612, y, end color #bc2612, end subscript gibi, birden çok farklı girdi değişkenleri içeren ikinci mertebeden kısmi türevlere "karışık kısmi türevler" denir.

Örnek 1: Bütün ağaç

Problem: f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, y, squared'nin tüm kısmi türevlerini bulun.
Çözüm: Önce, kısmi türevlerin ikisini de bulun:
∂∂x(sin⁡(x)y2)=cos⁡(x)y2∂∂y(sin⁡(x)y2)=2sin⁡(x)y\begin{aligned} \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}} (\sin(\blueE{x})y^2) &= \cos(\blueE{x})y^2 \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}} (\sin(x)\redE{y}^2) &= 2\sin(x)\redE{y} \end{aligned}
Daha sonra, her birisi için kısmi türevleri yazın:
∂∂x(∂∂x(sin⁡(x)y2))=∂∂x(cos⁡(x)y2)=−sin⁡(x)y2∂∂x(∂∂y(sin⁡(x)y2))=∂∂x(2sin⁡(x)y)=2cos⁡(x)y∂∂y(∂∂x(sin⁡(x)y2))=∂∂y(cos⁡(x)y2)=2cos⁡(x)y∂∂y(∂∂y(sin⁡(x)y2))=∂∂y(2sin⁡(x)y)=2sin⁡(x)\begin{aligned} \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}}\left( \dfrac{\partial}{\partial x}(\sin(x)y^2) \right) &= \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}}(\cos(\blueE{x})y^2) = -\sin(\blueE{x})y^2 \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial x}\left( \dfrac{\partial}{\partial y}(\sin(x)y^2) \right) &= \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}}(2\sin(\blueE{x})y) = 2\cos(\blueE{x})y \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}}\left( \dfrac{\partial}{\partial x}(\sin(x)y^2) \right) &= \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}}(\cos(x)\redE{y}^2) = 2\cos(x)\redE{y} \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}}\left( \dfrac{\partial}{\partial y}(\sin(x)y^2) \right) &= \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}}(2\sin(x)\redE{y}) = 2\sin(x) \\ \end{aligned}
İkinci kısmi türev ağacı

İkinci türevlerin simetrisi

Dikkat ederseniz, yukarıdaki örnekte, iki karışık kısmi türev start fraction, \partial, squared, f, divided by, \partial, x, \partial, y, end fraction ve start fraction, \partial, squared, f, divided by, \partial, y, \partial, x, end fraction aynıdır. Bu bir rastlantı değildir; neredeyse karşılaştığınız her fonksiyon için olur. Örneğin bir genel polinom terim olan x, start superscript, n, end superscript, y, start superscript, k, end superscript'ye ne olduğuna bakın:
∂∂x(∂∂y(xnyk))=∂∂x(kxnyk−1)=nkxn−1yk−1∂∂y(∂∂x(xnyk))=∂∂y(nxn−1yk)=nkxn−1yk−1\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial \blueE{x}}\left( \frac{\partial}{\partial \redD{y}}(\blueE{x}^n \redD{y}^k) \right) &= \frac{\partial}{\partial \blueE{x}}(k \blueE{x}^n \redD{y}^{k-1}) = nk \blueE{x}^{n-1} \redD{y}^{k-1} \\ \frac{\partial}{\partial \redD{y}}\left( \frac{\partial}{\partial \blueE{x}}(\blueE{x}^n \redD{y}^k) \right) &= \frac{\partial}{\partial \redD{y}}(n \blueE{x}^{n-1} \redD{y}^k) = nk \blueE{x}^{n-1} \redD{y}^{k-1} \\ \end{aligned}
Teknik olarak, ikinci türevlerin simetrisi her zaman doğru değildir. Schwarz teoremi veya Clairaut teoremi olarak adlandırılan bir teorem, eğer ikinci kısmi türevler bir nokta etrafında sürekli ise, bu noktada ikinci türevlerin simetrisinin olacağını belirtir. Bunu gerçekten anlamak için, biraz analiz yapmalıyız.
İstisnaların mevcut olduğunu aklınızda tutmalısınız, ama ikinci türevlerin simetrisi, karşınıza çıkacak "normal" görüntülü fonksiyonların neredeyse hepsi için işe yarayacaktır.

Örnek 2: Yüksek dereceden türevler

Neden ikinci kısmi türevde duralım? Çeşitli girdi değişkenlerine, mesela beş kısmi türev de alabiliriz.
Problem: Eğer f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, x, y, right parenthesis, e, start superscript, x, plus, z, end superscript ise, f, start subscript, z, y, z, y, x, end subscript nedir?
Çözüm: f, start subscript, z, y, z, y, x, end subscript, left parenthesis, left parenthesis, left parenthesis, left parenthesis, f, start subscript, z, end subscript, right parenthesis, start subscript, y, end subscript, right parenthesis, start subscript, z, end subscript, right parenthesis, start subscript, y, end subscript, right parenthesis, start subscript, x, end subscript için kısa bir gösterimdir; buna göre önce z'ye, sonra y'ye, sonra z'ye, sonra y'ye ve daha sonra x'e göre türev alıyoruz. Yani, soldan sağa okuyoruz.
Diğer notasyonda sıranın farklı olduğunu belirtmek önemlidir:
∂∂x∂∂y∂∂z∂∂y∂f∂z=∂5f∂x⏟5th∂y⏟4th∂z⏟3rd∂y⏟2nd∂z⏟1st\begin{aligned} \quad \dfrac{\partial}{\partial x} \dfrac{\partial}{\partial y} \dfrac{\partial}{\partial z} \dfrac{\partial}{\partial y} \dfrac{\partial f}{\partial z} = \dfrac{\partial^5 f}{ \underbrace{\partial x}_{5^{th}} \underbrace{\partial y}_{4^{th}} \underbrace{\partial z}_{3^{rd}} \underbrace{\partial y}_{2^{nd}} \underbrace{\partial z}_{1^{st}} } \end{aligned}
Türev alma sırası paydadaki terimlerin sağdan sola sırasıyla belirtilir.
Her neyse, elimizdeki probleme geri dönelim. Bu, kolları sıvayıp işe girişmeniz gereken görevlerden birisi; şimdi her birisinin nerede olduğunu kolayca görebilmek için start color #11accd, x, end color #11accd, comma, start color #e84d39, y, end color #e84d39, comma, start color #0d923f, z, end color #0d923f değişkenlerini renklendirelim:
f(x,y,z)=sin⁡(xy)ex+zfz(x,y,z)=∂f∂z(sin⁡(xy)ex+z)=sin⁡(xy)ex+zfzy(x,y,z)=∂f∂y(sin⁡(xy)ex+z)=cos⁡(xy)xex+zfzyz(x,y,z)=∂f∂z(cos⁡(xy)xex+z)=cos⁡(xy)xex+zfzyzy(x,y,z)=∂f∂y(cos⁡(xy)xex+z)=−sin⁡(xy)x2ex+zfzyzyx(x,y,z)=∂f∂x(−sin⁡(xy)x2ex+z)=−cos⁡(xy)y⏟∂∂x(−sin⁡(xy))x2ex+z=−sin⁡(xy)2x⏟∂∂xx2ex+z=−sin⁡(xy)x2ex+z⏟∂∂xex+z\begin{aligned} \quad f(\blueD{x}, \redD{y}, \greenE{z}) &= \sin(\blueD{x}\redD{y})e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \\\\\\ f_{\greenE{z}}(\blueD{x}, \redD{y}, \greenE{z}) &= \dfrac{\partial f}{\partial \greenE{z}} \left( \sin(\blueD{x}\redD{y})e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \right) \\\\ &= \sin(\blueD{x}\redD{y})e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \\\\\\ f_{\greenE{z}\redD{y}}(\blueD{x}, \redD{y}, \greenE{z}) &= \dfrac{\partial f}{\partial \redD{y}} \left( \sin(\blueD{x}\redD{y})e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \right) \\\\ &= \cos(\blueD{x}\redD{y})\blueD{x}e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \\\\\\ f_{\greenE{z}\redD{y}\greenE{z}}(\blueD{x}, \redD{y}, \greenE{z}) &= \dfrac{\partial f}{\partial \greenE{z}} \left( \cos(\blueD{x}\redD{y})\blueD{x}e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \right) \\\\ &= \cos(\blueD{x}\redD{y})\blueD{x}e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \\\\\\ f_{\greenE{z}\redD{y}\greenE{z}\redD{y}}(\blueD{x}, \redD{y}, \greenE{z}) &= \dfrac{\partial f}{\partial \redD{y}} \left( \cos(\blueD{x}\redD{y})\blueD{x}e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \right) \\\\ &= -\sin(\blueD{x}\redD{y})\blueD{x}^2 e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \\\\\\ f_{\greenE{z}\redD{y}\greenE{z}\redD{y}\blueD{x}}(\blueD{x}, \redD{y}, \greenE{z}) &= \dfrac{\partial f}{\partial \blueD{x}} \left( -\sin(\blueD{x}\redD{y})\blueD{x}^2 e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \right) \\\\ &= \underbrace{-\cos(\blueD{x}\redD{y})\redD{y}}_{ \frac{\partial}{\partial x} (-\sin(\blueD{x}\redD{y})) }\blueD{x}^2 e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \\ &\phantom{=}-\sin(\blueD{x}\redD{y}) \underbrace{2\blueD{x}}_{ \frac{\partial}{\partial x}\blueD{x}^2 }e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \\ &\phantom{=}-\sin(\blueD{x}\redD{y})\blueD{x}^2 \underbrace{e^{\blueD{x} + \greenE{z}}}_{ \frac{\partial}{\partial x} e^{\blueD{x} + \greenE{z}} } \end{aligned}
Bu son adım genişletilmiş çarpım kuralını kullanır,
=f(x)g(x)h(x)=f′(x)g(x)h(x)+f(x)g′(x)h(x)+f(x)g(x)h′(x)\begin{aligned} &\phantom{=} f(x)g(x)h(x) \\\\ &= f'(x)g(x)h(x) + f(x)g'(x)h(x) + f(x)g(x)h'(x) \end{aligned}
Aman! Bu ne kadar sıkıcı bir örnekti. Anacak, sonuna kadar izlerseniz, çoklu kısmi türevleri hesaplamak sizin için bir sorun olmamalıdır. Her şeyden fazla dikkatli defter tutmayı gerektirir.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap
Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.