İkinci kısmi türev, karmaşık kısmi türevlerin simetrisi ve yüksek mertebeden kısmi türevler konularının kısa bir gözden geçirmesi.

İkinci türevi genelleştirme

İki boyutlu girdili bir fonksiyonu düşünün, şöyle ki
f(x,y)=x2y3f(x, y) = x^2 y^3.
Bunun kısmi türevleri fx\dfrac{\partial f}{\partial x} ve fy\dfrac{\partial f}{\partial y} aynı iki boyutlu (x,y)(x, y) girdisini alır:
fx=x(x2y3)=2xy3\begin{aligned} \dfrac{\partial f}{\partial \blueE{x}} = \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}}(\blueE{x}^2 y^3) = 2\blueE{x} y^3 \end{aligned}
fy=y(x2y3)=3x2y2\begin{aligned} \dfrac{\partial f}{\partial \redE{y}} = \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}}(x^2 \redE{y}^3) = 3x^2 \redE{y}^2 \end{aligned}
Dolayısıyla, kısmi türevlerin kısmi türevlerini de alabiliriz.
Bunlara ikinci kısmi türevler denir, ve notasyon tek-değişkenli analizdeki d2fdx2\dfrac{d^2 f}{dx^2} notasyonuyla benzerlik gösterir:
x(fx)=2fx2x(fy)=2fxyy(fx)=2fyxy(fy)=2fy2\begin{aligned} \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}} \left(\dfrac{\partial f}{\partial \blueE{x}} \right) &= \dfrac{\partial^2 f}{\partial \blueE{x}^2} \\ \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}} \left(\dfrac{\partial f}{\partial \redE{y}} \right) &= \dfrac{\partial^2 f}{\partial \blueE{x} \partial \redE{y}} \\ \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}} \left(\dfrac{\partial f}{\partial \blueE{x}} \right) &= \dfrac{\partial^2 f}{\partial \redE{y} \partial \blueE{x}} \\ \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}} \left(\dfrac{\partial f}{\partial \redE{y}} \right) &= \dfrac{\partial^2 f}{\partial \redE{y}^2} \\ \end{aligned}
Kısmi türev için fxf_x notasyonunu kullandığınızda (bu durumda xx'e göre), ikinci kısmi türevleri şöyle de yazabilirsiniz:
(fx)x=fxx(fy)x=fyx(fx)y=fxy(fy)y=fyy\begin{aligned} (f_\blueE{x})_\blueE{x} &= f_{\blueE{x}\blueE{x}} \\ (f_\redE{y})_\blueE{x} &= f_{\redE{y}\blueE{x}} \\ (f_\blueE{x})_\redE{y} &= f_{\blueE{x}\redE{y}} \\ (f_\redE{y})_\redE{y} &= f_{\redE{y}\redE{y}} \\ \end{aligned}
fyxf_{\redE{y}\blueE{x}} ve fxy f_{\blueE{x}\redE{y}} gibi, birden çok farklı girdi değişkenleri içeren ikinci mertebeden kısmi türevlere "karışık kısmi türevler" denir.

Örnek 1: Bütün ağaç

Problem: f(x,y)=sin(x)y2f(x, y) = \sin(x)y^2'nin tüm kısmi türevlerini bulun.
Çözüm: Önce, kısmi türevlerin ikisini de bulun:
x(sin(x)y2)=cos(x)y2y(sin(x)y2)=2sin(x)y\begin{aligned} \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}} (\sin(\blueE{x})y^2) &= \cos(\blueE{x})y^2 \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}} (\sin(x)\redE{y}^2) &= 2\sin(x)\redE{y} \end{aligned}
Daha sonra, her birisi için kısmi türevleri yazın:
x(x(sin(x)y2))=x(cos(x)y2)=sin(x)y2x(y(sin(x)y2))=x(2sin(x)y)=2cos(x)yy(x(sin(x)y2))=y(cos(x)y2)=2cos(x)yy(y(sin(x)y2))=y(2sin(x)y)=2sin(x)\begin{aligned} \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}}\left( \dfrac{\partial}{\partial x}(\sin(x)y^2) \right) &= \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}}(\cos(\blueE{x})y^2) = -\sin(\blueE{x})y^2 \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial x}\left( \dfrac{\partial}{\partial y}(\sin(x)y^2) \right) &= \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}}(2\sin(\blueE{x})y) = 2\cos(\blueE{x})y \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}}\left( \dfrac{\partial}{\partial x}(\sin(x)y^2) \right) &= \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}}(\cos(x)\redE{y}^2) = 2\cos(x)\redE{y} \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}}\left( \dfrac{\partial}{\partial y}(\sin(x)y^2) \right) &= \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}}(2\sin(x)\redE{y}) = 2\sin(x) \\ \end{aligned}

İkinci türevlerin simetrisi

Dikkat ederseniz, yukarıdaki örnekte, iki karışık kısmi türev 2fxy\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} ve 2fyx\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} aynıdır. Bu bir rastlantı değildir; neredeyse karşılaştığınız her fonksiyon için olur. Örneğin bir genel polinom terim olan xnykx^n y^k'ye ne olduğuna bakın:
x(y(xnyk))=x(kxnyk1)=nkxn1yk1y(x(xnyk))=y(nxn1yk)=nkxn1yk1\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial \blueE{x}}\left( \frac{\partial}{\partial \redD{y}}(\blueE{x}^n \redD{y}^k) \right) &= \frac{\partial}{\partial \blueE{x}}(k \blueE{x}^n \redD{y}^{k-1}) = nk \blueE{x}^{n-1} \redD{y}^{k-1} \\ \frac{\partial}{\partial \redD{y}}\left( \frac{\partial}{\partial \blueE{x}}(\blueE{x}^n \redD{y}^k) \right) &= \frac{\partial}{\partial \redD{y}}(n \blueE{x}^{n-1} \redD{y}^k) = nk \blueE{x}^{n-1} \redD{y}^{k-1} \\ \end{aligned}
Teknik olarak, ikinci türevlerin simetrisi her zaman doğru değildir. Schwarz teoremi veya Clairaut teoremi olarak adlandırılan bir teorem, eğer ikinci kısmi türevler bir nokta etrafında sürekli ise, bu noktada ikinci türevlerin simetrisinin olacağını belirtir. Bunu gerçekten anlamak için, biraz analiz yapmalıyız.
İstisnaların mevcut olduğunu aklınızda tutmalısınız, ama ikinci türevlerin simetrisi, karşınıza çıkacak "normal" görüntülü fonksiyonların neredeyse hepsi için işe yarayacaktır.

Örnek 2: Yüksek dereceden türevler

Neden ikinci kısmi türevde duralım? Çeşitli girdi değişkenlerine, mesela beş kısmi türev de alabiliriz.
Problem: Eğer f(x,y,z)=sin(xy)ex+zf(x, y, z) = \sin(xy)e^{x + z} ise, fzyzyxf_{zyzyx} nedir?
Çözüm: fzyzyxf_{zyzyx}, ((((fz)y)z)y)x((((f_z)_y)_z)_y)_x için kısa bir gösterimdir; buna göre önce zz'ye, sonra yy'ye, sonra zz'ye, sonra yy'ye ve daha sonra xx'e göre türev alıyoruz. Yani, soldan sağa okuyoruz.
Diğer notasyonda sıranın farklı olduğunu belirtmek önemlidir:
xyzyfz=5fx5thy4thz3rdy2ndz1st\begin{aligned} \quad \dfrac{\partial}{\partial x} \dfrac{\partial}{\partial y} \dfrac{\partial}{\partial z} \dfrac{\partial}{\partial y} \dfrac{\partial f}{\partial z} = \dfrac{\partial^5 f}{ \underbrace{\partial x}_{5^{th}} \underbrace{\partial y}_{4^{th}} \underbrace{\partial z}_{3^{rd}} \underbrace{\partial y}_{2^{nd}} \underbrace{\partial z}_{1^{st}} } \end{aligned}
Türev alma sırası paydadaki terimlerin sağdan sola sırasıyla belirtilir.
Her neyse, elimizdeki probleme geri dönelim. Bu, kolları sıvayıp işe girişmeniz gereken görevlerden birisi; şimdi her birisinin nerede olduğunu kolayca görebilmek için x,y,z\blueD{x}, \redD{y}, \greenE{z} değişkenlerini renklendirelim:
f(x,y,z)=sin(xy)ex+zfz(x,y,z)=fz(sin(xy)ex+z)=sin(xy)ex+zfzy(x,y,z)=fy(sin(xy)ex+z)=cos(xy)xex+zfzyz(x,y,z)=fz(cos(xy)xex+z)=cos(xy)xex+zfzyzy(x,y,z)=fy(cos(xy)xex+z)=sin(xy)x2ex+zfzyzyx(x,y,z)=fx(sin(xy)x2ex+z)=cos(xy)yx(sin(xy))x2ex+z=sin(xy)2xxx2ex+z=sin(xy)x2ex+zxex+z\begin{aligned} \quad f(\blueD{x}, \redD{y}, \greenE{z}) &= \sin(\blueD{x}\redD{y})e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \\\\\\ f_{\greenE{z}}(\blueD{x}, \redD{y}, \greenE{z}) &= \dfrac{\partial f}{\partial \greenE{z}} \left( \sin(\blueD{x}\redD{y})e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \right) \\\\ &= \sin(\blueD{x}\redD{y})e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \\\\\\ f_{\greenE{z}\redD{y}}(\blueD{x}, \redD{y}, \greenE{z}) &= \dfrac{\partial f}{\partial \redD{y}} \left( \sin(\blueD{x}\redD{y})e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \right) \\\\ &= \cos(\blueD{x}\redD{y})\blueD{x}e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \\\\\\ f_{\greenE{z}\redD{y}\greenE{z}}(\blueD{x}, \redD{y}, \greenE{z}) &= \dfrac{\partial f}{\partial \greenE{z}} \left( \cos(\blueD{x}\redD{y})\blueD{x}e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \right) \\\\ &= \cos(\blueD{x}\redD{y})\blueD{x}e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \\\\\\ f_{\greenE{z}\redD{y}\greenE{z}\redD{y}}(\blueD{x}, \redD{y}, \greenE{z}) &= \dfrac{\partial f}{\partial \redD{y}} \left( \cos(\blueD{x}\redD{y})\blueD{x}e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \right) \\\\ &= -\sin(\blueD{x}\redD{y})\blueD{x}^2 e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \\\\\\ f_{\greenE{z}\redD{y}\greenE{z}\redD{y}\blueD{x}}(\blueD{x}, \redD{y}, \greenE{z}) &= \dfrac{\partial f}{\partial \blueD{x}} \left( -\sin(\blueD{x}\redD{y})\blueD{x}^2 e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \right) \\\\ &= \underbrace{-\cos(\blueD{x}\redD{y})\redD{y}}_{ \frac{\partial}{\partial x} (-\sin(\blueD{x}\redD{y})) }\blueD{x}^2 e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \\ &\phantom{=}-\sin(\blueD{x}\redD{y}) \underbrace{2\blueD{x}}_{ \frac{\partial}{\partial x}\blueD{x}^2 }e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \\ &\phantom{=}-\sin(\blueD{x}\redD{y})\blueD{x}^2 \underbrace{e^{\blueD{x} + \greenE{z}}}_{ \frac{\partial}{\partial x} e^{\blueD{x} + \greenE{z}} } \end{aligned}
Bu son adım genişletilmiş çarpım kuralını kullanır,
=f(x)g(x)h(x)=f(x)g(x)h(x)+f(x)g(x)h(x)+f(x)g(x)h(x)\begin{aligned} &\phantom{=} f(x)g(x)h(x) \\\\ &= f'(x)g(x)h(x) + f(x)g'(x)h(x) + f(x)g(x)h'(x) \end{aligned}
Aman! Bu ne kadar sıkıcı bir örnekti. Anacak, sonuna kadar izlerseniz, çoklu kısmi türevleri hesaplamak sizin için bir sorun olmamalıdır. Her şeyden fazla dikkatli defter tutmayı gerektirir.
Yükleniyor