Gradyan, çok değişkenli bir fonksiyonun kısmi türev bilgisinin hepsini saklar. Ancak bu bir saklama aracından çok daha fazlasıdır, çok hoş yorumlamaları ve pek çok kullanım alanı vardır.

Bu derse başlamadan önce hakkında bilgi sahibi olmanız gerekenler:

Neye ulaşacağımız

  • Skaler değerli çok değişkenli bir f(x,y,)f(x, y, \dots) fonksiyonunun gradyanı f\nabla f olarak gösterilir ve kısmi türev bilgisinin tümünü bir vektörde verir:
    f=[fxfy] \nabla f = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial f}{\blueE{\partial x}} \\\\ \dfrac{\partial f}{\redE{\partial y}} \\\\ \vdots \end{array} \right]
    Özellikle, bu f\nabla f'nin bir vektör değerli fonksiyon olduğu anlamını taşır.
  • Eğer ff'nin girdi uzayındaki bir (x0,y0,x_0, y_0, \dots) noktasında durduğunuzu düşünürseniz, f(x0,y0,)\nabla f(x_0, y_0, \dots) vektörü size ff değerini en hızlı şekilde yükseltmek için hangi yönde gitmeniz gerektiğini söyler.
  • Bu gradyan vektörleri —f(x0,y0,)\nabla f(x_0, y_0, \dots)— aynı zamanda ff'nin eş yükselti eğrilerine diktir.

Tanım

Birden çok boyutlu girdili fonksiyonların kısmi türevleri olduğunu öğrendikten sonra, böyle bir fonksiyonun "tam" türevinin ne olduğunu merak ediyor olabilirsiniz. Skaler değerli çok değişkenli fonksiyonlarda yani çok boyutlu girdisi ancak tek boyutlu çıktısı olan fonksiyonlarda, cevap gradyandır.
Bir ff fonksiyonunun f\nabla f ile gösterilen gradyanı, tüm kısmi türevlerin bir vektörde toplanmasıdır.
Bu bir örnekle en kolay anlaşılır.

Örnek 1: İki boyut

Eğer f(x,y)=x2xyf(x, y) = x^2 - xy ise, aşağıdakilerden hangisi f\nabla f'yi temsil eder?
Dikkat ederseniz, f\nabla f'nin iki boyutlu girdili ve iki boyutlu çıktılı vektör değerli fonksiyondur. Bu fonksiyon bir vektör alanı](vector field ile güzel bir şekilde görselleştirilir. Bu vektör alanı ff'nin girdi uzayında, yani xyxy düzleminde durur.
Bu vektör alanına, genelde, ff'nin gradyan alanı denir.
Düşünme sorusu: Bu vektör alanındaki vektörler neden xyxy-düzleminin ortasında üst köşegen çizgi yönünde bu kadar küçüktür?

Örnek 2: Üç boyut

f(x,y,z)=xxy+z2f(x, y, z) = x - xy + z^2'nin gradyanı nedir?
f\nabla f üç boyutlu girdili ve üç boyutlu çıktılı bir vektördür. Böylece, üç boyutlu uzayda bir vektör alanı olarak güzelce görselleştirilebilir.

Gradyanı yorumlama

Yukarıdaki her örnekte f\nabla f'yi bir vektör alanı olarak gösterdik, ancak bu vektör alanlarını nasıl yorumlarız?
Daha somut olarak, ff'nin girdisinin iki-boyutlu olduğu durumu düşünelim. Gradyan her (x0,y0)(x_0, y_0) girdi noktasını şu vektöre dönüştürür
f(x0,y0)=[fx(x0,y0)fy(x0,y0)].\begin{aligned} \quad \nabla f(x_0, y_0) = \left[ \begin{array}{c} \\ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) \\ \\ \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) \end{array} \right]. \end{aligned}
Bu vektör fonksiyonun (x0,y0)(x_0, y_0) noktası etrafındaki davranışı hakkında neler söyler?
ff'nin grafiğini engebeli bir arazi olarak düşünün. Grafikte (x0,y0)(x_0, y_0) noktasının tam üstünde (veya altında) bir bölümde duruyorsanız, tepenin eğimi yürüdüğünüz yöne bağlıdır. Örneğin, eğer pozitif xx yönünde düz adım atarsanız eğim fx\frac{\partial f}{\partial x}'tir, eğer pozitif yy yönünde düz adım atarsanız, eğim fy\frac{\partial f}{\partial y}'dir. Ancak, çoğu yön bu ikisinin bir bileşimidir.
Gradyanla ilgili hatırlamanız gereken en önemli şey: ff'nin (x0,y0)(x_0, y_0) girdisi için değeri bulunan gradyanı, en dik yükselişi gösterir.
Bu yüzden, eğer gradyan yönünde yürürseniz, tepeye doğru tırmanırsınız. Benzer şekilde, f(x0,y0)\nabla f(x_0, y_0) vektörünün büyüklüğü, o yönde tepenin eğiminin ne olduğunu verir.
Kısmi türevleri bir vektöre koymanın neden en dik tırmanış eğimini verdiği hemen açık değildir, ama yönlü türevlere girdiğimizde bu açıklanacaktır.
ff fonksiyonunun girdileri iki boyuttan fazlasında olduğunda, artık bunun grafiğini engebeli bir arazi olarak hayal edemeyiz. Yani, aynı temel fikir geçerlidir. ff'nin girdi uzayı iki boyutlu, üç boyutlu, veya 1.000.0001{.}000{.}000 boyutlu da olsa, ff'nin gradyanı bu girdi uzayında ff fonksiyonunu en hızlı arttıran yönde bir vektör verir.

Örnek 3: Yerel maksimumlar neye benzer

f(x,y)=x4+4(x2y2)3f(x, y) = -x^4 + 4(x^2 - y^2)-3 fonksiyonunu düşünün. Gradyanı nedir?
ff grafiği şöyle gözükür:
İki zirvesi olduğuna dikkat edin. f\nabla f'nin vektör alanı şuna benzer (daha kırmızı boyanan vektörlerin daha uzun ve daha mavi boyanan vektörlerin daha kısa olarak anlaşılması gerekir):
ff'nin grafiğindeki zirvelerle eşleşen iki girdi noktası, bu noktalara doğru oklarla çevrilidir. Neden?
Bunun nedeni, bir tepenin zirvesi yakınında, en dik tırmanış yönünün hep zirveye doğru olmasıdır.
Düşünme sorusu: Bir fonksiyonun yerel minimumları yakınında o fonksiyonu gradyan alanı neye benzer?

Gradyan eşyükselti çizgilerine diktir

Vektör alanları gibi, eşyükselti eğrileri de fonksiyonun girdi uzayında çizilir, onun için f\nabla f'nin vektör alanı ff'nin eşyükselti eğrilerinde bulunduğunda neler olduğunu sorabiliriz.
Örneğin, f(x,y)=xyf(x, y) = xy fonksiyonunu alın:
Yukarıdaki görüntüye baktığınızda, ilginç bir şeyin farkına varabilirsiniz: Her vektör değdiği eş yükselti çizgisine diktir.
Bunun neden doğru olduğunu görmek için, belirli bir eş yükselti çizgisini ( mesela iki çıktısını temsil edeni) alın ve bu doğruda bir noktaya yakınlaşın. f\nabla f gradyanının ff değerini en hızlı arttıran yönde işaret ettiğini biliyoruz. Bu yönü düşünmenin iki yolu vardır:
  1. Sabit bir adım boyutu seçin, ve bu boyuttaki bir adımın ff'yi en çok arttırdığı yönü bulun.
  2. ff için sabit bir artış seçin, ff'nin bu miktarda artması için en kısa adımın gerektiği yönü bulun.
Her iki durumda da, "yükseliş bölü artış"ı maksimize etmeye çalışıyorsunuz, ya yükselişi maksimize, ya da artışı minimize ederek.
Eş yükselti eğrileri, bu ikinci bakış açısının neye benzeyeceği konusunda iyi bir örnek sağlar. Yukarıdaki Şekil 2'de, ilk çizginin temsil ettiği 2 değerinden biraz büyük olan 2,1'i temsil eden ikinci bir eş yükselti çizgisi bulunmaktadır. ff'nin gradyanı bizi bu ikinci çizgiye mümkün olan en kısa adımla götürecek yönde olmalıdır.
Yakınlaştıkça, bu çizgiler düz, paralel çizgiler olarak görünecektir. Bir doğrudan, bu doğruya paralel olan bir başka doğruya en kısa yol, her zaman iki doğruya da dik olacaktır, dolayısıyla gradyan eş yükselti çizgisine dik gözükecektir.

del işlemcisi

Çok değişkenli analizde (ve ötesinde) işlemci sözcüğü çok sık ortaya çıkar. Bu kulağa fiyakalı gelebilir, ancak çoğunlukla, "işlemci"yi "bir fonksiyonu başka bir fonksiyona dönüştüren şey" olarak düşünebilirsiniz.
Bir ff fonksiyonunu yeni bir ff' fonksiyonuna dönüştürdüğü için, türev bir tür işlemcidir. Diferansiyel işlemciler türev fikrini farklı bir bağlama genişleten tüm işlemcilerdir.
Örnek diferansiyel işlemciler
İsimSembolÖrnek
Türevddx\frac{d}{dx}ddx(x2)=2x\frac{d}{dx}(x^2) = 2x
Kısmi türevx\frac{\partial}{\partial x}x(x2xy)=2xy\frac{\partial}{\partial x}(x^2-xy) = 2x-y
Gradyan\nabla(x2xy)=[2xyx]\nabla(x^2 - xy) = \left[\begin{array}{c} 2x - y \\ -x \end{array}\right]
Bu \nabla simgesine genelde "nabla" veya "del" denir, burada genelde "nabla" simgeyi ve "del" temsil ettiği işlemciyi belirtir. Bu kafa karıştırıcı olabilir, çünkü "del" aynı zamanda \partial simgesini de gösterebilir, ama matematiksel terminoloji ne zaman mantıklı olmuş ki?
Bunu nasıl adlandırırsanız adlandırın, \nabla işlemcisi kısmi türev işlemcilerinin bir vektörü olarak düşünülebilir:
=[xy] \nabla = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial}{\partial x} \\ \quad \\ \dfrac{\partial}{\partial y} \\ \quad \\ \vdots \end{array}\right]
Bu gerçek bir tanım değildir. Bir kere, bu vektörün boyutu tanımlı değildir, çünkü \nabla fonksiyonunun uygulandığı girdi sayısına bağlıdır. Ayrıca, işlemcilerden bir vektör oluşturmak için oldukça hızlı ve gevşek oynuyor. Ancak uygulamada anlam genelde açık olduğundan, insanlar bunu konuda endişelenmez.
Bu vektörü skaler değerli fonksiyonla "çarptığınızı" düşünün:
f=[xy]f=[fxfy]\begin{aligned} \nabla f = \left[ \begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \quad \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \quad \\ \vdots \end{array} \right]f = \left[ \begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \quad \\ \frac{\partial f}{\partial y} \\ \quad \\ \vdots \end{array} \right] \end{aligned}
Bu tabii ki çarpma değildir, aslında fonksiyonda her bir kısmi türev işlemcisinin değerini buluyorsunuz. Yine de, bu \nabla'yı düşünmeye süper yardımcı bir yoldur, çünkü sonrasında birçok başka işlemci için de ortaya çıkacaktır: diverjans, rotasyonel ve Laplasyen.

Özet

  • Skaler değerli çok değişkenli bir f(x,y,)f(x, y, \dots) fonksiyonunun gradyanı f\nabla f olarak gösterilir ve kısmi türev bilgisinin tümünü bir vektörde verir:
    f=[fxfy] \nabla f = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial f}{\blueE{\partial x}} \\\\ \dfrac{\partial f}{\redE{\partial y}} \\\\ \vdots \end{array} \right]
    Özellikle, bu f\nabla f'nin bir vektör değerli fonksiyon olduğu anlamını taşır.
  • Eğer ff'nin girdi uzayındaki bir (x0,y0,)(x_0, y_0, \dots) noktasında durduğunuzu düşünürseniz, f(x0,y0,)\nabla f(x_0, y_0, \dots) vektörü size ff değerini en hızlı şekilde yükseltmek için hangi yönde gitmeniz gerektiğini söyler.
  • Bu gradyan vektörleri f(x0,y0,)\nabla f(x_0, y_0, \dots) ff'nin eş yükselti eğrilerine diktir.
Yükleniyor