Ana içerik
Çok Değişkenli Kalkülüs
Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 2
Ders 1: Kısmi Türev ve Gradyan (Makaleler)Gradyan
Gradyan, çok değişkenli bir fonksiyonun kısmi türev bilgisinin hepsini saklar. Ancak bu bir saklama aracından çok daha fazlasıdır, çok hoş yorumlamaları ve pek çok kullanım alanı vardır
Bu derse başlamadan önce hakkında bilgi sahibi olmanız gerekenler:
- Kısmi türevler
- Vektör alanları
- Eş yükselti haritaları—bu dersin sadece bir böümü için gerekli.
Neye ulaşacağımız
- Skaler değerli çok değişkenli bir f, left parenthesis, x, comma, y, comma, dots, right parenthesis fonksiyonunun gradyanı del, f olarak gösterilir ve kısmi türev bilgisinin tümünü bir vektörde verir:Özellikle, bu del, f'nin bir vektör değerli fonksiyon olduğu anlamını taşır.
- Eğer f'nin girdi uzayındaki bir (x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, dots) noktasında durduğunuzu düşünürseniz, del, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, dots, right parenthesis vektörü size f değerini en hızlı şekilde yükseltmek için hangi yönde gitmeniz gerektiğini söyler.
- Bu gradyan vektörleri —del, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, dots, right parenthesis— aynı zamanda f'nin eş yükselti eğrilerine diktir.
Tanım
Birden çok boyutlu girdili fonksiyonların kısmi türevleri olduğunu öğrendikten sonra, böyle bir fonksiyonun "tam" türevinin ne olduğunu merak ediyor olabilirsiniz. Skaler değerli çok değişkenli fonksiyonlarda yani çok boyutlu girdisi ancak tek boyutlu çıktısı olan fonksiyonlarda, cevap gradyandır.
Bir f fonksiyonunun del, f ile gösterilen gradyanı, tüm kısmi türevlerin bir vektörde toplanmasıdır.
Bu bir örnekle en kolay anlaşılır.
Örnek 1: İki boyut
Eğer f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, minus, x, y ise, aşağıdakilerden hangisi del, f'yi temsil eder?
Dikkat ederseniz, del, f'nin iki boyutlu girdili ve iki boyutlu çıktılı vektör değerli fonksiyondur. Bu fonksiyon bir vektör alanı](vector field ile güzel bir şekilde görselleştirilir. Bu vektör alanı f'nin girdi uzayında, yani x, y düzleminde durur.
Bu vektör alanına, genelde, f'nin gradyan alanı denir.
Düşünme sorusu: Bu vektör alanındaki vektörler neden x, y-düzleminin ortasında üst köşegen çizgi yönünde bu kadar küçüktür?
Örnek 2: Üç boyut
f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, x, minus, x, y, plus, z, squared'nin gradyanı nedir?
del, f üç boyutlu girdili ve üç boyutlu çıktılı bir vektördür. Böylece, üç boyutlu uzayda bir vektör alanı olarak güzelce görselleştirilebilir.
Gradyanı yorumlama
Yukarıdaki her örnekte del, f'yi bir vektör alanı olarak gösterdik, ancak bu vektör alanlarını nasıl yorumlarız?
Daha somut olarak, f'nin girdisinin iki-boyutlu olduğu durumu düşünelim. Gradyan her left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis girdi noktasını şu vektöre dönüştürür
Bu vektör fonksiyonun left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis noktası etrafındaki davranışı hakkında neler söyler?
f'nin grafiğini engebeli bir arazi olarak düşünün. Grafikte left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis noktasının tam üstünde (veya altında) bir bölümde duruyorsanız, tepenin eğimi yürüdüğünüz yöne bağlıdır. Örneğin, eğer pozitif x yönünde düz adım atarsanız eğim start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction'tir, eğer pozitif y yönünde düz adım atarsanız, eğim start fraction, \partial, f, divided by, \partial, y, end fraction'dir. Ancak, çoğu yön bu ikisinin bir bileşimidir.
Gradyanla ilgili hatırlamanız gereken en önemli şey: f'nin left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis girdisi için değeri bulunan gradyanı, en dik yükselişi gösterir.
Bu yüzden, eğer gradyan yönünde yürürseniz, tepeye doğru tırmanırsınız. Benzer şekilde, del, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis vektörünün büyüklüğü, o yönde tepenin eğiminin ne olduğunu verir.
Kısmi türevleri bir vektöre koymanın neden en dik tırmanış eğimini verdiği hemen açık değildir, ama yönlü türevlere girdiğimizde bu açıklanacaktır.
f fonksiyonunun girdileri iki boyuttan fazlasında olduğunda, artık bunun grafiğini engebeli bir arazi olarak hayal edemeyiz. Yani, aynı temel fikir geçerlidir. f'nin girdi uzayı iki boyutlu, üç boyutlu, veya 1, point, 000, point, 000 boyutlu da olsa, f'nin gradyanı bu girdi uzayında f fonksiyonunu en hızlı arttıran yönde bir vektör verir.
Örnek 3: Yerel maksimumlar neye benzer
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, minus, x, start superscript, 4, end superscript, plus, 4, left parenthesis, x, squared, minus, y, squared, right parenthesis, minus, 3 fonksiyonunu düşünün. Gradyanı nedir?
f grafiği şöyle gözükür:
İki zirvesi olduğuna dikkat edin. del, f'nin vektör alanı şuna benzer (daha kırmızı boyanan vektörlerin daha uzun ve daha mavi boyanan vektörlerin daha kısa olarak anlaşılması gerekir):
f'nin grafiğindeki zirvelerle eşleşen iki girdi noktası, bu noktalara doğru oklarla çevrilidir. Neden?
Bunun nedeni, bir tepenin zirvesi yakınında, en dik tırmanış yönünün hep zirveye doğru olmasıdır.
Düşünme sorusu: Bir fonksiyonun yerel minimumları yakınında o fonksiyonu gradyan alanı neye benzer?
Gradyan eşyükselti çizgilerine diktir
Vektör alanları gibi, eşyükselti eğrileri de fonksiyonun girdi uzayında çizilir, onun için del, f'nin vektör alanı f'nin eşyükselti eğrilerinde bulunduğunda neler olduğunu sorabiliriz.
Örneğin,
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, y fonksiyonunu alın:
Yukarıdaki görüntüye baktığınızda, ilginç bir şeyin farkına varabilirsiniz: Her vektör değdiği eş yükselti çizgisine diktir.
Bunun neden doğru olduğunu görmek için, belirli bir eş yükselti çizgisini ( mesela iki çıktısını temsil edeni) alın ve bu doğruda bir noktaya yakınlaşın. del, f gradyanının f değerini en hızlı arttıran yönde işaret ettiğini biliyoruz. Bu yönü düşünmenin iki yolu vardır:
- Sabit bir adım boyutu seçin, ve bu boyuttaki bir adımın f'yi en çok arttırdığı yönü bulun.
- f için sabit bir artış seçin, f'nin bu miktarda artması için en kısa adımın gerektiği yönü bulun.
Her iki durumda da, "yükseliş bölü artış"ı maksimize etmeye çalışıyorsunuz, ya yükselişi maksimize, ya da artışı minimize ederek.
Eş yükselti eğrileri, bu ikinci bakış açısının neye benzeyeceği konusunda iyi bir örnek sağlar. Yukarıdaki Şekil 2'de, ilk çizginin temsil ettiği 2 değerinden biraz büyük olan 2,1'i temsil eden ikinci bir eş yükselti çizgisi bulunmaktadır. f'nin gradyanı bizi bu ikinci çizgiye mümkün olan en kısa adımla götürecek yönde olmalıdır.
Yakınlaştıkça, bu çizgiler düz, paralel çizgiler olarak görünecektir. Bir doğrudan, bu doğruya paralel olan bir başka doğruya en kısa yol, her zaman iki doğruya da dik olacaktır, dolayısıyla gradyan eş yükselti çizgisine dik gözükecektir.
del işlemcisi
Çok değişkenli analizde (ve ötesinde) işlemci sözcüğü çok sık ortaya çıkar. Bu kulağa fiyakalı gelebilir, ancak çoğunlukla, "işlemci"yi "bir fonksiyonu başka bir fonksiyona dönüştüren şey" olarak düşünebilirsiniz.
Bir f fonksiyonunu yeni bir f, prime fonksiyonuna dönüştürdüğü için, türev bir tür işlemcidir. Diferansiyel işlemciler türev fikrini farklı bir bağlama genişleten tüm işlemcilerdir.
Örnek diferansiyel işlemciler
İsim | Sembol | Örnek | ||||
Türev | start fraction, d, divided by, d, x, end fraction | start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, left parenthesis, x, squared, right parenthesis, equals, 2, x | ||||
Kısmi türev | start fraction, \partial, divided by, \partial, x, end fraction | start fraction, \partial, divided by, \partial, x, end fraction, left parenthesis, x, squared, minus, x, y, right parenthesis, equals, 2, x, minus, y | ||||
Gradyan | del |
Bu del simgesine genelde "nabla" veya "del" denir, burada genelde "nabla" simgeyi ve "del" temsil ettiği işlemciyi belirtir. Bu kafa karıştırıcı olabilir, çünkü "del" aynı zamanda \partial simgesini de gösterebilir, ama matematiksel terminoloji ne zaman mantıklı olmuş ki?
Bunu nasıl adlandırırsanız adlandırın, del işlemcisi kısmi türev işlemcilerinin bir vektörü olarak düşünülebilir:
Bu gerçek bir tanım değildir. Bir kere, bu vektörün boyutu tanımlı değildir, çünkü del fonksiyonunun uygulandığı girdi sayısına bağlıdır. Ayrıca, işlemcilerden bir vektör oluşturmak için oldukça hızlı ve gevşek oynuyor. Ancak uygulamada anlam genelde açık olduğundan, insanlar bunu konuda endişelenmez.
Bu vektörü skaler değerli fonksiyonla "çarptığınızı" düşünün:
Bu tabii ki çarpma değildir, aslında fonksiyonda her bir kısmi türev işlemcisinin değerini buluyorsunuz. Yine de, bu del'yı düşünmeye süper yardımcı bir yoldur, çünkü sonrasında birçok başka işlemci için de ortaya çıkacaktır: diverjans, rotasyonel ve Laplasyen.
Özet
- Skaler değerli çok değişkenli bir f, left parenthesis, x, comma, y, comma, dots, right parenthesis fonksiyonunun gradyanı del, f olarak gösterilir ve kısmi türev bilgisinin tümünü bir vektörde verir:Özellikle, bu del, f'nin bir vektör değerli fonksiyon olduğu anlamını taşır.
- Eğer f'nin girdi uzayındaki bir left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, dots, right parenthesis noktasında durduğunuzu düşünürseniz, del, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, dots, right parenthesis vektörü size f değerini en hızlı şekilde yükseltmek için hangi yönde gitmeniz gerektiğini söyler.
- Bu gradyan vektörleri del, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, dots, right parenthesis f'nin eş yükselti eğrilerine diktir.
Tartışmaya katılmak ister misiniz?
- Merhaba buradaki grafikleri hangi yazılımla çizdiğinizi öğrenebilir miyim?(6 oy)
- Üniversite hocaları bile bu kadar iyi anlatamıyor, elinize sağlık(4 oy)