If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 2

Ders 1: Kısmi Türev ve Gradyan (Makaleler)
Matematik
Çok Değişkenli Kalkülüs
Çok Değişkenli Fonksiyonların Türevleri
Kısmi Türev ve Gradyan (Makaleler)
© 2023 Khan AcademyKullanım ŞartlarıGizlilik PolitikasıÇerez Politikası

Gradyan

Google Classroom
Gradyan, çok değişkenli bir fonksiyonun kısmi türev bilgisinin hepsini saklar. Ancak bu bir saklama aracından çok daha fazlasıdır, çok hoş yorumlamaları ve pek çok kullanım alanı vardır

Bu derse başlamadan önce hakkında bilgi sahibi olmanız gerekenler:

Neye ulaşacağımız

  • Skaler değerli çok değişkenli bir f(x,y,…) fonksiyonunun gradyanı ∇f olarak gösterilir ve kısmi türev bilgisinin tümünü bir vektörde verir:
    ∇f=[∂f∂x∂f∂y⋮]
    Özellikle, bu ∇f'nin bir vektör değerli fonksiyon olduğu anlamını taşır.
  • Eğer f'nin girdi uzayındaki bir (x0,y0,…) noktasında durduğunuzu düşünürseniz, ∇f(x0,y0,…) vektörü size f değerini en hızlı şekilde yükseltmek için hangi yönde gitmeniz gerektiğini söyler.
  • Bu gradyan vektörleri —∇f(x0,y0,…)— aynı zamanda f'nin eş yükselti eğrilerine diktir.

Tanım

Birden çok boyutlu girdili fonksiyonların kısmi türevleri olduğunu öğrendikten sonra, böyle bir fonksiyonun "tam" türevinin ne olduğunu merak ediyor olabilirsiniz. Skaler değerli çok değişkenli fonksiyonlarda yani çok boyutlu girdisi ancak tek boyutlu çıktısı olan fonksiyonlarda, cevap gradyandır.
Bir f fonksiyonunun ∇f ile gösterilen gradyanı, tüm kısmi türevlerin bir vektörde toplanmasıdır.
Bu bir örnekle en kolay anlaşılır.

Örnek 1: İki boyut

Eğer f(x,y)=x2−xy ise, aşağıdakilerden hangisi ∇f'yi temsil eder?
1 cevap seçin:

Dikkat ederseniz, ∇f'nin iki boyutlu girdili ve iki boyutlu çıktılı vektör değerli fonksiyondur. Bu fonksiyon bir vektör alanı](vector field ile güzel bir şekilde görselleştirilir. Bu vektör alanı f'nin girdi uzayında, yani xy düzleminde durur.
Bu vektör alanına, genelde, f'nin gradyan alanı denir.
f(x,y)=x2−xy'nin vektör alanı olarak gradyanı.
Düşünme sorusu: Bu vektör alanındaki vektörler neden xy-düzleminin ortasında üst köşegen çizgi yönünde bu kadar küçüktür?
Boş bölgeyi işaretleyin.

Örnek 2: Üç boyut

f(x,y,z)=x−xy+z2'nin gradyanı nedir?
1 cevap seçin:

∇f üç boyutlu girdili ve üç boyutlu çıktılı bir vektördür. Böylece, üç boyutlu uzayda bir vektör alanı olarak güzelce görselleştirilebilir.
Khan Akademi video wrapper
Video metni

Gradyanı yorumlama

Yukarıdaki her örnekte ∇f'yi bir vektör alanı olarak gösterdik, ancak bu vektör alanlarını nasıl yorumlarız?
Daha somut olarak, f'nin girdisinin iki-boyutlu olduğu durumu düşünelim. Gradyan her (x0,y0) girdi noktasını şu vektöre dönüştürür
∇f(x0,y0)=[∂f∂x(x0,y0)∂f∂y(x0,y0)].
Bu vektör fonksiyonun (x0,y0) noktası etrafındaki davranışı hakkında neler söyler?
En dik çıkış kavramı.
f'nin grafiğini engebeli bir arazi olarak düşünün. Grafikte (x0,y0) noktasının tam üstünde (veya altında) bir bölümde duruyorsanız, tepenin eğimi yürüdüğünüz yöne bağlıdır. Örneğin, eğer pozitif x yönünde düz adım atarsanız eğim ∂f∂x'tir, eğer pozitif y yönünde düz adım atarsanız, eğim ∂f∂y'dir. Ancak, çoğu yön bu ikisinin bir bileşimidir.
Gradyanla ilgili hatırlamanız gereken en önemli şey: f'nin (x0,y0) girdisi için değeri bulunan gradyanı, en dik yükselişi gösterir.
Bu yüzden, eğer gradyan yönünde yürürseniz, tepeye doğru tırmanırsınız. Benzer şekilde, ∇f(x0,y0) vektörünün büyüklüğü, o yönde tepenin eğiminin ne olduğunu verir.
Kısmi türevleri bir vektöre koymanın neden en dik tırmanış eğimini verdiği hemen açık değildir, ama yönlü türevlere girdiğimizde bu açıklanacaktır.
f fonksiyonunun girdileri iki boyuttan fazlasında olduğunda, artık bunun grafiğini engebeli bir arazi olarak hayal edemeyiz. Yani, aynı temel fikir geçerlidir. f'nin girdi uzayı iki boyutlu, üç boyutlu, veya 1.000.000 boyutlu da olsa, f'nin gradyanı bu girdi uzayında f fonksiyonunu en hızlı arttıran yönde bir vektör verir.

Örnek 3: Yerel maksimumlar neye benzer

f(x,y)=−x4+4(x2−y2)−3 fonksiyonunu düşünün. Gradyanı nedir?
1 cevap seçin:

f grafiği şöyle gözükür:
f(x,y)=−x4+4(x2−y2)−3'ün grafiği
İki zirvesi olduğuna dikkat edin. ∇f'nin vektör alanı şuna benzer (daha kırmızı boyanan vektörlerin daha uzun ve daha mavi boyanan vektörlerin daha kısa olarak anlaşılması gerekir):
f'nin grafiğindeki zirvelerle eşleşen iki girdi noktası, bu noktalara doğru oklarla çevrilidir. Neden?
Bunun nedeni, bir tepenin zirvesi yakınında, en dik tırmanış yönünün hep zirveye doğru olmasıdır.
Düşünme sorusu: Bir fonksiyonun yerel minimumları yakınında o fonksiyonu gradyan alanı neye benzer?

Gradyan eşyükselti çizgilerine diktir

Vektör alanları gibi, eşyükselti eğrileri de fonksiyonun girdi uzayında çizilir, onun için ∇f'nin vektör alanı f'nin eşyükselti eğrilerinde bulunduğunda neler olduğunu sorabiliriz.
Örneğin, f(x,y)=xy fonksiyonunu alın:
xy'nin eş yükselti eğrileri
xy'nin gradyan alanı
xy'nin eş yükselti eğrileri ve gradyan alanı
Yukarıdaki görüntüye baktığınızda, ilginç bir şeyin farkına varabilirsiniz: Her vektör değdiği eş yükselti çizgisine diktir.
Bunun neden doğru olduğunu görmek için, belirli bir eş yükselti çizgisini ( mesela iki çıktısını temsil edeni) alın ve bu doğruda bir noktaya yakınlaşın. ∇f gradyanının f değerini en hızlı arttıran yönde işaret ettiğini biliyoruz. Bu yönü düşünmenin iki yolu vardır:
  1. Sabit bir adım boyutu seçin, ve bu boyuttaki bir adımın f'yi en çok arttırdığı yönü bulun.
    Belirli bir noktadan sabit bir boyuttauzakta adımlar verildiğinde, gradyan bunların arasında f'yi en fazla artırandır.
    Şekil 1
  2. f için sabit bir artış seçin, f'nin bu miktarda artması için en kısa adımın gerektiği yönü bulun.
    f'yi belirli bir miktarda arttıran adımlar verildiğince, gradyan yönü bunların arasında en kısa olanıdır.
    Şekil 2
Her iki durumda da, "yükseliş bölü artış"ı maksimize etmeye çalışıyorsunuz, ya yükselişi maksimize, ya da artışı minimize ederek.
Eş yükselti eğrileri, bu ikinci bakış açısının neye benzeyeceği konusunda iyi bir örnek sağlar. Yukarıdaki Şekil 2'de, ilk çizginin temsil ettiği 2 değerinden biraz büyük olan 2,1'i temsil eden ikinci bir eş yükselti çizgisi bulunmaktadır. f'nin gradyanı bizi bu ikinci çizgiye mümkün olan en kısa adımla götürecek yönde olmalıdır.
Yakınlaştıkça, bu çizgiler düz, paralel çizgiler olarak görünecektir. Bir doğrudan, bu doğruya paralel olan bir başka doğruya en kısa yol, her zaman iki doğruya da dik olacaktır, dolayısıyla gradyan eş yükselti çizgisine dik gözükecektir.

del işlemcisi

Çok değişkenli analizde (ve ötesinde) işlemci sözcüğü çok sık ortaya çıkar. Bu kulağa fiyakalı gelebilir, ancak çoğunlukla, "işlemci"yi "bir fonksiyonu başka bir fonksiyona dönüştüren şey" olarak düşünebilirsiniz.
Bir f fonksiyonunu yeni bir f′ fonksiyonuna dönüştürdüğü için, türev bir tür işlemcidir. Diferansiyel işlemciler türev fikrini farklı bir bağlama genişleten tüm işlemcilerdir.
Örnek diferansiyel işlemciler
İsimSembolÖrnek
Türevddxddx(x2)=2x
Kısmi türev∂∂x∂∂x(x2−xy)=2x−y
Gradyan∇∇(x2−xy)=[2x−y−x]
Bu ∇ simgesine genelde "nabla" veya "del" denir, burada genelde "nabla" simgeyi ve "del" temsil ettiği işlemciyi belirtir. Bu kafa karıştırıcı olabilir, çünkü "del" aynı zamanda ∂ simgesini de gösterebilir, ama matematiksel terminoloji ne zaman mantıklı olmuş ki?
Bunu nasıl adlandırırsanız adlandırın, ∇ işlemcisi kısmi türev işlemcilerinin bir vektörü olarak düşünülebilir:
∇=[∂∂x∂∂y⋮]
Bu gerçek bir tanım değildir. Bir kere, bu vektörün boyutu tanımlı değildir, çünkü ∇ fonksiyonunun uygulandığı girdi sayısına bağlıdır. Ayrıca, işlemcilerden bir vektör oluşturmak için oldukça hızlı ve gevşek oynuyor. Ancak uygulamada anlam genelde açık olduğundan, insanlar bunu konuda endişelenmez.
Bu vektörü skaler değerli fonksiyonla "çarptığınızı" düşünün:
∇f=[∂∂x∂∂y⋮]f=[∂f∂x∂f∂y⋮]
Bu tabii ki çarpma değildir, aslında fonksiyonda her bir kısmi türev işlemcisinin değerini buluyorsunuz. Yine de, bu ∇'yı düşünmeye süper yardımcı bir yoldur, çünkü sonrasında birçok başka işlemci için de ortaya çıkacaktır: diverjans, rotasyonel ve Laplasyen.

Özet

  • Skaler değerli çok değişkenli bir f(x,y,…) fonksiyonunun gradyanı ∇f olarak gösterilir ve kısmi türev bilgisinin tümünü bir vektörde verir:
    ∇f=[∂f∂x∂f∂y⋮]
    Özellikle, bu ∇f'nin bir vektör değerli fonksiyon olduğu anlamını taşır.
  • Eğer f'nin girdi uzayındaki bir (x0,y0,…) noktasında durduğunuzu düşünürseniz, ∇f(x0,y0,…) vektörü size f değerini en hızlı şekilde yükseltmek için hangi yönde gitmeniz gerektiğini söyler.
  • Bu gradyan vektörleri ∇f(x0,y0,…) f'nin eş yükselti eğrilerine diktir.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.