Konum Vektör Değerli Fonksiyonun Türevi

Bir önceki videoda vektör değerli fonksiyonun esasını veya daha da önemlisi, bir konum vektör değerli fonksiyonun nasıl parametrik denklemlerin yerini aldığını gördük ve umarım anladınız. Bu videoda ise, vektör değerli fonksiyonun türevinin anlamını size anlatmak, sezdirmek, kavratmak istiyorum. t parametresine göre türev alacağız. Buraya şimdi yeni bir şeyler çizelim. r t vektör değerli fonksiyonu, x t çarpı i birim vektörü artı y t çarpı j birim vektörü olsun. Bu fonksiyon birinci videodakiyle aynı. Üç boyutlu uzayda olsaydık, bir de z t çarpı k eklerdik, ama şimdilik bunu basit tutalım. Diyelim ki, bu fonksiyon bir eğri tanımlıyor. a ve b arasındaki t değerleri için, eğriyi şöyle çizelim. Burada t eşittir a ve eğri şu şekilde devam ediyor. Burada t b'ye eşit. Burada t a'ya eşit. Şu x a olur, bu da y a. Aynı şekilde, burası x b, Burası da y b. Bir önceki videoda bu eğriyi konum vektörlerinin bitim noktalarının tanımladığını görmüştük. Bir önceki videoda gördüğümüz gibi, r a şu noktayı tanımlıyor. Şimdi çok fazla tekrara girmek istemiyorum. Düşünmenizi istediğim şey, iki noktanın arasındaki farkın ne olduğu. Şurada herhangi bir nokta alalım.Gelişigüzel bir t değeri. Buna r t diyoruz. Şimdi farklı bir nokta seçeceğim, çünkü daha açık görmenizi istiyorum.Şu noktanın r t olduğunu düşünelim. Belli bir t değeri için, r t. Belli bir t değeri için, rt..Bu t değeri a artı bir şey olacak. Şimdi de t'yi biraz artırdığımızı düşünelim. Mesala h ile artırdığımızı düşünelim. t parametresini zaman olarak düşünürsek, zamanda biraz ilerlediğimizi hayal edelim, yani parçacığımız biraz hareket etti. Biraz süre geçti ve parçacığımız hareket etti. Ve şuraya gitti, diyelim.Buradaki sarı vektör, r t artı h olsun. h kadar artırılmış bir değer. Şimdi şu soruyu sorabiliriz: f t'ye göre hangi hızla değişiyor? Öncelikle bu ikisi arasındaki farkı merak edebiliriz. Şimdi bunu bununla görsellemek istiyorum. r t artı h'den r t'yi çıkarırım. Pek ne bulurum? Şimdi vektör işlemleri hakkında tekrar yapmak isteyebilirsiniz, ama sonuçta bu vektörü elde edersiniz. Şu mor renkteki vektörü buluruz.Bu mor vektör, r t artı h eksi r t'dir. Bu size de mantıklı geliyordur tahminen, çünkü vektörleri toplarken, uç uca ekleme yöntemini kullanıyoruz değil mi? Bunu r t artı h eksi r t olarak da ifade edebiliriz. İki vektörü toplarken, bu vektörü şu vektörle topluyorum.İkinci vektörün sonunu birinci vektörün başına koyuyoruz. Bu birinci vektör, ikinci vektörü de buraya koyarım.Ve tahmin ettiğimiz gibi, bu iki vektörün toplamı, şuna eşit olur. r t artı h'ye eşit olmalı. Cebirsel olarak bu ikisi birbirini götürür. Umarım bu makul bir açıklama olmuştur.Şimdi, net bir şekilde belirtiyim ki bu artık konum vektörü değil. Artık bu vektörü orijinden başlatırım ve özgün bir konum belirtmek için kullanırım demiyoruz. Birden soyut bir vektöre dönüştü. İki konum vektörü arasındaki farkı ifade eden bir vektör.Bu vektör burada. Ama bu vektör farkı ifade ediyor. Bunu açarsak, cebirsel olarak neye benzer? r t artı h nedir? x t artı h çarpı i birim vektörü artı y t artı h çarpı j birim vektörü. Bu sadece şu parça. Eksi bu parça. Eksi r t, yani x t çarpı i artı, ama eksi işaretini dağıtıyorum, yani eksi y t çarpı j. Şöyle yazarım, bu eksi olur, bu da artı olur.Bunun şu olduğunu anlamışsınızdır.Sadece t'deki değerini buluyorum. x t ve y t var de bunları dağıtabiliriz, öyle değil mi? Eksi işaretini dağıtırsanız, eksi x t ve eksi y t elde edersiniz. Vektör toplamında, karşılıklı bileşenleri topladığınızı biliyorsunuz. x bileşenlerini toplarsınız ve y bileşenlerini toplarsınız.Şuraya tekrar yazayım. r t artı h eksi r t eşittir, x ve y bileşenlerini gruplayacağız, x bileşenlerinin toplamı, ama bu negatif yani bunu şundan çıkaracağız. Yani x t artı h eksi x t, bunun tamamı çarpı x yönündeki birim vektör. Sonra da y t artı h eksi y t çarpı y yönündeki birim vektör. Terimlerin sırasını değiştiriyoruz. Bu bize zaman farkının yarattığı r farkını verecek. Buradaki zaman farkı, h.Bu videonun başında farkı bulmak istediğimi söyledim. t'ye göre anlık hız üzerinde düşüneceğiz. Bunun h aralığında ne kadar değiştiğini anlamak istiyorum. h yerine delta t de yazabilirdim, aynı şey olurdu. Bunu o zaman h'ye bölmek istiyorum. Delta y ve y'lerin farkı bölü x'lerin farkı.Delta y ve y'lerin farkı bölü x'lerin farkı. Fonksiyonun değişimi bölü x'in değişimi gibi. x değişimi yerine t değişimi demem gerekiyor, ama öyle değil mi? Buradaki t değişimi, h, değil mi? t artı h ile t arasındaki fark, yalnızca h. Yani her şeyi h'ye bölüyoruz. Şimdi bir vektörü belli bir sayıya çarparsak veya belli bir sayıya bölersek, vektörün her bileşenini o sayıyla çarpıyoruz veya o sayıya bölüyoruz, demektir. Yani bu fark, vektörün h birim için ne kadar değiştiğini gösterir. Anlık farkı bulmak için, diferansiyel analizin ilk başında yaptığımız gibi davranabiliriz. Sorudaki iz şöyle olsaydı, işimiz çok kolaylaşırdı. Eğer doğrusal bir iz olsaydı.Bunu hesaplardık, konum vektörleri arasındaki ortalama değişimi bulmuş olurduk.Bütün bu vektörler paralel olurdu.Ama bu vektörler paralel olmak zorunda değil.Böyle de olabilirler. O zaman bu, h'ye göre bu ikisinin nasıl değiştiğini veya parametremizin değişimine göre, ve konum vektörlerinin nasıl değiştiğini anlatıyor, öyle değil mi?Bu h'yi delta t gibi de düşünebilirsiniz. Bazıları h demeyi basit bulur, bazıları delta t'yi. Neyse ben anlık değişimle ilgileniyorum. Eğrilerle analizle uğraşıyoruz. Doğrusal bir dünyada yaşasaydık, problem olmazdı. Peki, şimdi ne yapacağız? h 0'a yaklaşırken limit alabiliriz. Bu iki tarafın h 0'a yaklaşırken limitini alıyorum. Burada h 0'a yaklaşırken limit alıyorum, burada da h 0'a yaklaşırken limit alıyorum. t farkı gitgide azaldıkça, anlık değişimin ne olduğunu bulmak istiyorum. Anlık eğim, anlık hız veya teğet doğru eğimini ilk öğrendiğimizde de aynı şeyi yapmıştık. Bu bana biraz tanımsız gibi görünüyor. Henüz vektör değerli fonksiyonların limit ve türevlerini tanımlamadık. Ama şansımıza bunlar tanıdık görünüyor. Bu, aslında, türevin tanımı.Bunlar skaler fonksiyonlar. Vektör değerli fonksiyon oluşturmak için, vektörle çarpılıyorlar. Tanımsal olarak, bu x üssü t.Veya d x d t. Bu da y üssü t, d y d t olarak da yazabiliriz. Burada size özellikle mantığını anlatmak, mantığını kavramanızı istiyorum. Buna vektör değerli fonksiyonun türevi diyebiliriz. d r d t eşittir,dikkat ederseniz vektör işaretlerini tutuyorum. r üssü t eşittir, x'in t'ye göre türevi çarpı x birim vektörü, yatay birim vektör, artı y üssü t çarpı y birim vektörü, j. Bu çok güzel ve basit bir sonuç.Şimdi neyi temsil ettiğini görsellemek zor olabilir. Görsellemenin sağlıklı olabilmesi için, şöyle büyük bir grafik çizeyim. Eğrinin şöyle olduğunu varsayalım.Şöyle bir eğri. Diyelim ki, şu noktadaki anlık değişimi bulmak istiyoruz. r t şuna eşit. r t artı h'yi alırsak, t artı h şurada bir şey olabilir. Yani bu r t artı h. Bu ikisinin arasındaki fark, bu vektörden şu vektöre t'ye göre ne kadar hızlı değişildiğini gösteriyor. Bunu görsellemek biraz zor.Bu bir vektör olabilir.Bu ikisinin arasındaki fark, bir vektör olacak. h'ye bölünce ise, daha da büyük bir vektör olacak, özellikle h'nin küçük bir sayı olduğunu düşünürsek. h'nin 1'den küçük bir sayı olduğunu söylersek, daha büyük bir vector elde edeceğiz, öyle değil mi? Bu, bu zaman dilimindeki ortalama değişimdir. Ama h küçüldükçe, r üssü t'nin yönü, eğriye teğet bir hal alacak. Bunu görselleyebiliriz, öyle değil mi? Şimdi bu iki vektör birbirine yaklaştıkça, delta r'ler azalır. h'nin daha da küçük olduğunu, noktanın şurada olduğunu düşünürseniz, bir anda vektörler arasındaki fark, daha da azalmış olur. Eğriye teğet olmaya yaklaştığını görüyoruz. Daha küçük bir h'ye böldüğümüz için, türev burada daha büyük bir sayı olacak. Aslında bu vektörün uzunluğu, bu eğrinin parametrik denklemine bağımlı, eğrinin şekline değil. Bu vektörün yönü ise, bu eğrinin şekline bağlı. Bu, eğriye teğet olacak. Bu vektörün teğet doğru üzerinde olduğunu da düşünebiliriz. Bunun uzunluğunu anlamak biraz zor. Bunu bir sonraki videoda daha ayrıntılı bir şekilde anlatmaya çalışacağım.Yine de bunu anlamanızı istiyorum, Çünkü vektör değerli fonksiyonların çizgi integralini alırken bunu kullanacağız.