Konum Vektör Değerli Fonksiyonlar

Şimdiye kadar çizgi integrallerini bulurken skaler fonksiyonlarla çalıştık. Skaler fonksiyon dediğim şey bu arada bana bir x ve y değeri verdiğinizde bir başka skaler değer elde ettiğim fonksiyondur. Yani bir sayı elde ediyoruz. Vektör elde etmiyoruz. Bu videoda vektör değerli fonksiyonların çizgi integrallerini anlayabilmeniz için sizi vektör konusunda vektör konusunda hazırlamak istiyorum Birkaç vektör değerli fonksiyon yazalım. Daha da iyisi bir eğri çizeyim veya eğriyi anlatayım. Kenara f x y yazalım. Diyelim ki, parametrik olan tanımlanmış bir c eğrisi var. x eşittir x t, y eşittir t'nin y fonksiyonu. t değerleri de a ile b arasında olsun. t büyük eşit a ve t küçük eşit b. Bu eğriyi şöyle çizebilirim. Şimdilik örneğimi soyut tutuyorum. Bu örnek pek spesifik değil. Bu x ekseni. Bu da y ekseni. Bu da burada da t eşittir a. Sonra, eğri şöyle gidebilir. Şeklini bilmiyorum. Mesela şöyle olduğunu varsayalım. Burada t b'ye eşit. Bu noktanın x koordinatı x b olacak. b için x ve y değerlerini buluyorsunuz. Burada da t eşittir a. Kartezyen koordinatı, şuradaki x a olacak ve y a, ki bu da şurada. Bunu daha önce görmüştük. Bu, parametrik denklemi veya iki parametrik denklemi olan bir eğriyi tanımlamanın standart yolu. Şimdi ise, bu eğriyi bir vektör değerli fonksiyonla tanımlamak istiyorum Vektör değerli fonksiyonları hatırlamıyorsanız, biraz tekrar yapalım. r adında bir vektör değerli fonksiyonum var diyelim, üstüne de küçük ok işaretini koyuyorum. Şimdi birçok ders kitabına vektörleri koyu basıyorlar, skalerler de de normal font kullanıyorlar yazı tipi yani. Ama benim için tabi koyu bir yazı tipiyle yazmak zor burada o yüzden vektör işareti koyuyorum. r'nin t cinsinden bir fonksiyon olduğunu belirtelim. Bunlar konum vektörü olacak. Bunu özellikle belirtiyorum, çünkü genelde, uzunluğu ve yönü aynı olduğu sürece bu vektörlerin eşit olduğu kabul edilir. Başlangıç ve bitim noktalarına kimse bakmaz ama konum vektörü diye tanımlarsanız, başlangıç noktasının orijin olduğunu belirtmiş olursunuz ve konum vektörü derseniz, vektörün kendine özel bir konum belirttiğini ima etmiş oluyorsunuz. Bu durumda iki boyutlu uzaydayız, ama üç boyutlu uzayda da olabilirdik veya dört beş ya da n boyutlu uzay. Konum vektörü diye adlandırdığınızda, uzaydaki bu noktayı belirtiyor demiş olursunuz. Şimdi bu eğriyi bir vektör değerli fonksiyon olarak tanımlamaya çalışalım r t diyebiliriz. Eşittir x t çarpı x yönündeki birim vektör. Bu birim vektörün üzerine yine küçük bir şapka çiziyorum, ok yerine Bu şapka birim vektör demek. Evet artı y t çarpı j. Eğer üç boyutlu bir eğri olsaydı, artı z t çarpı k da derdik Ama burada iki boyutlu bir eğri var. t değerleri a'dan büyük veya a'ya eşit, ve b'den küçük veya b'ye eşit olacak Bu, şununla aynı. Baştan çizeyim. Eksenleri baştan çiziyorum Bu y ekseni, bu da x ekseni. r a değerini bulduğunuzda, başlangıç noktamız olacak şurada bulayım. t eşittir a'daki konum vektör değerli fonksiyonumuzun değeri eşittir x a çarpı x yönündeki birim vektör artı y a çarpı y yönündeki birim vektör. Peki, bu neye benzer? x a bu olduğuna göre, x a çarpı bir birim vektör Birim vektörün uzunluğu bu kadar olabilir. Birim vektörün uzunluğu 1 olduğu için, bu yöndeki uzunluk x a y a için de aynı şey geçerli. Bu yönde vektörün uzunluğu y a. Sonuçta, iki birim vektörü çarptığınız skaler değerleri de hesaba katarsanız, r a şöyle bir şeye benzeyecek Şöyle bir vektör olacak Bir konum vektörü olduğu için, orijinden başlatıyoruz Bu, r a evet. Peki, a biraz artarsa ne olur? a'dan az büyük bir sayının r'si nedir? r a artı delta veya r a artı h olarak tanımlayabiliriz. Şimdi a'yı biraz artırdığımızı düşünürsek r a artı küçük bir h. O zaman, o zaman bu x a artı h çarpı i birim vektörü artı y a artı h çarpı j birim vektörü olacak. Eğride biraz ileri gideceğiz. x a artı h, y a artı h koordinatları diyebiliriz. Şu nokta olabilir. Bu, yeni bir konum vektörüdür Şöyle olabilir Bu, r a artı h. t değerini b'ye doğru artırdığınızda oluşan konum vektörleri, bu eğri üzerinde noktaları belirtecektir Eğri şöyle olacak. Şu yukarıda çizdiğim eğriyle aynı olacak yani bunu demek istiyorum Örneğin, r b şöyle bir vektör olacak Bunu düz çizmek istiyorum. Bu vektör r b. Umarım, bu konum vektörlerinin orijinal eğrideki noktaları gösterdiğinin farkına varmışsınızdır. Sadece biraz tekrar yapmak istedim. Çünkü bir sonraki videoda, bir vektör değerli fonksiyonun türevini alacağız