Örnek: Vektör Değerli Fonksiyonun Türevi

Bu videoda aynı eğrinin farklı parametrik denklemlerini bulacağım. Ama eğri üzerinde farklı hızda hareket ediyor olacağız. Umarım, böylece, konum vektör değerli fonksiyonun türevinin anlamını daha iyi anlayacaksınız. İlk parametrik denklemde, x t eşittir t diyelim.Ve y t eşittir t kare. t büyüktür veya eşittir 0 ve küçük eşittir 2. Bunu konum vektör değerli bir fonksiyon olarak yazmak istiyorsak, şöyle yapıyoruz. Bunlara x 1 ve y 1 diyelim. Konum vektör değerli fonksiyona da r 1 deriz. Numaralandırmamızın sebebi, bu eğrinin farklı bir parametrik denklemini de alacak olmam. r 1 t eşittir, x 1 t çarpı i, birim vektör i yani t çarpı i diyoruz. Artı t kare çarpı j. Bunun grafiğini çizerken dikkatli olmalıyız, çünkü türevin burada ne anlama geldiğini iyi anlamanızı istiyorum. Burası 1, 2, 3, 4. x eksinini çizeyim. x eksenini de yine eşit parçalara böleceğim yani 1 ve 2. t, 0'a eşit olduğunda, x ve y koordinatlarının ikisi de 0 olur, veya bu, 0 vektörü olur. t 1'e eşit olduğunda ise, bu, 1 çarpı i artı 1 çarpı j olacak. 1 karesi 1'e eşittir, yani j burası. t 2'ye eşit olduğunda ise, 2 i artı 4, 2'nin karesi 4 çarpı j olacak. Bu vektörleri uç uca ekleme yöntemiyle toplarsak, bitim noktası şurası olan bir vektör çıktı değil mi ? Vektör şöyle bir şey olacak. Bu, 2'nin r 1 vektörü. Bu, 0'ın r 1 vektörü.Bu da 1'in r 1 vektörü. Sonuçta izimiz, parabole benziyor. İlk parametrik denklem grubundan bunu çıkardık. Şimdi biraz daha düzgün çizmeye çalışayım. Şu okları sileyim, çünkü çizimimin güzel, temiz olmasını istiyorum. Şimdi bu bir parabol olacak. Şu noktayı sileyim, çünkü yanlış yerde. Burada olması lazım. Parabolüm şöyle bir şey olacak. İlk parametrik denklemler böyle.Şimdi aynı eğriyi biraz farklı şekilde ifade edeceğim. x 2 t eşittir 2 t, diyelim. y 2 t de 2 t kareye eşit, diyelim. Veya 4 t kare de diyebiliriz.Şimdi, t 0 2 aralığı yerine, 0 1 aralığında değer alsın. Bu izin bir öncekiyle aynı olduğunu göreceğiz. İkinci konum vektör değerli fonksiyonumuz, r 2 t eşittir 2 t çarpı i artı 4 t kare çarpı j.Bunun grafiğini çizersek, eksenlerimi tekrardan çizeyim, çünkü sonra türevleri bunun üstünde göstereceğiz. 1, 2, 3, 4. 1, 2. t 0'a eşit olduğunda ne olur? r 0 nedir? Bunlar 0 olacak. 0 vektörü çıkacak yani x ve y 0 olacak. t 1 bölü 2'ye eşit olduğunda, peki ne çıkacak? 1 bölü 2 çarpı 2 eşittir 1. Ve 1 bölü 2 kare, yani 1 bölü 4 çarpı 4 eşittir 1. Buna göre, t 1 bölü 2'ye eşit olduğunda, 1'e, 1 noktasında olacağız.Ve, t 1'e eşit olduğunda noktamız, 2'ye, 4 olacak. Dikkat ettiyseniz, izimiz öncekiyle tamamen aynı. Türev almadan önce, izlerin aynı olduğunu görmüş olduk. Bir şeye dikkatinizi çekmek gerekiyor. t parametresinin gerçekten zaman olduğunu varsayalım.Genelde bu böyledir. Zaman olmak zorunda değil, ama öyle olduğunu düşünelim. Peki, burada neler oluyor? Birinci parametrik denklem sisteminde, bu izi oluşturmak için, 0 saniyeden 2 saniyeye yol aldık. Bir saniye sonra, nokta buradaydı. Sonra da şuraya gitti. Bu eğri üzerinde hareket eden bir nokta varmış gibi düşünebilirsiniz ve bu nokta iki saniye boyunca hareket ediyor. Bu durumda ise, aynı eğri üzerinde hareket eden bir başka nokta var ve bu eğriyi bir saniyede katediyor. Yarım saniyede de şuraya geliyor. Yabi bu, bir saniyede buraya gelmişti. Bir yarım saniyede geldi. Yani, iz ve eğri aynı olsa da, ikinci parametrik denklemlerin noktası daha hızlı. Bu noktanın daha hızlı hareket ettiğini, o yüzden 1 saniyede eğrinin sonuna ulaştığını unutmayın. Şimdi bu ikisinin türevine bakalım. r 1 üssü t. Türevi alıyoruz. Hatırlarsanız, bunların türevi, çarpı birim vektörler demiştik. t'nin t'ye göre türevi eşittir 1. Yani 1 çarpı i. 1 i artı buraya 1 koymak zorunda değilim artı t karenin t'ye göre türevi, yani 2 t, artı 2 t j. Şimdi buranın türevini alalım. r 2 üssü t. 2 t'nin t'ye göre türevi 2, yani 2 i, artı 4 t karenin türevi eşittir 8 t değil mi ? Şimdi size sorum şöyle: Değişik noktalardaki türev vektörleri neye benzer? Zaman 1 olduğunda hangi hızla hareket ettiklerine bakalım. Spesifik bir nokta alalım.Bu, genel bir formül.Şimdi Spesifik bir noktadaki türevi bulalım. t 1'e eşit olduğunda r 1'i bulalım. Eğri üzerindeki spesifik noktayı almak istiyorum, spesifik zamanı değil. Eğri üzerinde, 1 saniyeyi belirten şu noktayı almak istiyorum.Ve bu nokta, zamanın 1 bölü 2 saniyeye eşit olduğu yer. 1'in r 1 üssü değeri eşittir burada türev alıyoruz 1 i. t'ye bağımlı değil. 1 i artı 2 çarpı 1 j, yani artı 2 j. Yani bu noktada konum vektör değerli fonksiyonun türevi eşittir 1 i artı 2 j. Bunu şu şekilde çizebiliriz. Şimdi 1 i'yi şöyle çizelim. Ve 2 j. 2 j böyle. Yönü, eğriye teğet gibi görünüyor, parçacığımın hareketiyle aynı yönde.Unutmayın, parçacığım buradan şuraya hareket ediyor, yani teğet aynı yönde. Birazdan bu türev vektörünün uzunluğunu bulacağım. Buradaki r 1 üssü.Bu bir vektör. Bize konum vektörümüzün, zaman 1 saniyeye eşit olduğunda, zamana göre anlık değişimini veriyor. Şimdi aynı konumu bu eğride bulalım.Ama bunun zamanı farklı olacak.Bunun zamanı 1 bölü 2 saniye.Burada r 2'nin türevi var. Bunun 1 bölü 2 için değerini bulacağım, çünkü burada t eşittir 1 bölü 2 saniye. Yani bu eşittir, 2 i, burası zamandan bağımsız 2 i artı 8 t. Burada zaman 1 bölü 2.8 çarpı 1 bölü 2'de eşittir 4. O zaman artı 4 j güzel.Bu neye benzer? Buradaki anlık türev. Bunu şimdi çok açık bir şekilde göstermem lazım. 2 i, belki 2 i bu uzunlukta. Artı 4 j bizi buraya ulaştırır. 4 j şu vektör. Bunları uç uca eklediğinizde, şöyle bir şey çıkıyor. Daha güzel çizebilirdim.Ama şimdi bir şeye dikkatinizi çekmek istiyorum. Bu iki vektör de aynı yönde.İkisi de eğrimize teğet. Ama bu vektörün uzunluğu şu vektörün uzunluğundan daha büyük. Bu gayet mantıklı, çünkü, bu konum vektör değerli fonksiyonlardan ve türevlerden bahsederken, uzunluğu skaler hız olarak düşünebileceğinizi söylemiştim. Eğer bu parametrik denklemlerin eğri üzerinde hareket eden bir noktayı temsil ettiğini düşünürsek,bu uzunluk da skaler hız olur. Bu durumda parçacık bir saniyede şuraya gidiyor, yani şu parçacıktan çok daha hızlı hareket ediyor. Düşünürseniz, bu vektör, şu konum vektörünün vektörel hızıdır. Vektörel hız, skaler hız artı yöndür. Skaler hız ne kadar hızlı gittiğinizdir. Vektörel hız ise, hangi yönde ne kadar hızla gittiğiniz. Bu hızla gidiyorum Pisagor teoremiyle bunu hesaplayabilirim ama size yön mantığını da göstermek istedim.Yani bu yönde bu hızla gidiyorum. Burada ise daha hızlıyım.Uzunluğum böyle, ama yönüm aynı. Umarım konum vektörlerinin türevlerini anlamışsınızdır. Hoşçakalın