If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Eş yükselti eğrileri

Eş yükselti haritası, üç boyutta çizmek uygun olmadığında, iki boyutlu girdisi ve bir boyutlu çıktısı olan fonksiyonları temsil etmek için yararlı bir alternatiftir.

Süreç

Eş yükselti eğrileri gibi iki boyutlu girdili ve bir boyutlu çıktılı fonksiyonları göstermenin bir yoludur. Örneğin, bu fonksiyonu düşünün:
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, start superscript, 4, end superscript, minus, x, squared, plus, y, squared.
Grafiklerde, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis girdisini f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis çıktısıyla ilişkilendirmenin yolu, bunların ikisini bir left parenthesis, x, comma, y, comma, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, right parenthesis üçlüsünde birleştirmek ve bu sıralı üçlüyü üç boyutlu uzayda bir nokta olarak işaretlemektirtir. Grafiğin kendisi, left parenthesis, x, comma, y, comma, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, right parenthesis formunda tüm olası üç boyutlu noktalardan oluşur, bu noktalar birlikte bir tür yüzey oluştururlar.
Ancak bazen üç boyutlu bir görüntüyü göstermek hantalca, veya anında yapması zor olabilir. Eş yükselti eğrileri, sadece iki-boyutlu girdi uzayında çizerken fonksiyonu göstermenin bir yolunu verir.
İşte böyle yapılıyor:
  • Adım 1: Fonksiyonun grafiği ile başlayın.
Örnek fonksiyon grafiği.
  • Adım 2: Grafiği x, y düzlemine paralel birkaç eşit aralıklı düzey düzlemiyle kesin. Bu düzlemleri, z'nin belirli bir çıktıya eşit olduğu noktalar gibi düşünebilirsiniz, z, equals, 2 gibi.
Düzey düzlemlerinin kestiği grafik.
  • Adım 3: Grafikte düzlemlerin kestiği yerleri işaretleyin.
Düzey kümelerinin işaretlendiği grafik.
  • Adım 4: Bu doğruların x, y-düzleminde izdüşümünü alın ve karşılık gelen yükseklikleri işaretleyin.
Bir grafiğin yalıtılmış düzey kümeleri.
Örnek eş yükselti eğrileri
Başka bir deyişle, temsil etmek için bir çıktı değeri kümesi seçersiniz ve bu çıktı değerlerinin her birisi için f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis'nin o değere eşit olduğu tüm left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis girdi değerlerinden geçen bir doğru çizersiniz. Hangi doğruların hangi değerlerle eşleştiğini takip etmek için, uygun sayıyı her doğrunun belirli bir yerine yazarız.
Not: Bu örnekteki left brace, minus, 2, comma, minus, 1, comma, 0, comma, 1, comma, 2, right brace gibi, temsil etmek istediğiniz çıktı seçeneği, eşit aralıklı olmalıdır. Böylece, sadece eşyükselti eğrilerine bakarak fonksiyonun "şekli"ni anlamak çok kolaylaşır.

Örnek 1: Paraboloid

f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, plus, y, squared fonksiyonunu düşünün. Bu grafiğin şekli "paraboloid" olarak tanımlanır; bu, bir parabolun üç boyutlu haline denktir.
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, plus, y, squared'nin grafiği
Eş yükselti haritası böyle gözükür:
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, plus, y, squared'nin eş yükselti eğrileri
Dikkat ederseniz, çemberler eşit aralıklı değildir. Bunun nedeni, başlangıç noktasından uzaklaştıkça grafiğin yüksekliğinin daha hızlı yükselmesidir. Buna göre, yüksekliği verilen bir miktarla artırmak, girdi uzayında başlangıç noktasından uzağa daha küçük bir adım gerektirir.

Örnek 2: Dalgalar

f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, dot, sine, left parenthesis, y, right parenthesis fonksiyonu hakkında ne söyleyebiliriz? Bunun grafiği oldukça dalgalı gözüküyor:
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, dot, sine, left parenthesis, y, right parenthesis'nin grafiği
Eş yükselti haritanız böyledir:
Burada işaret edilmeye değer bir özellik, eş yükselti eğrilerinde tepe ve vadilerin çok benzer görünebilmesi ve sadece işaretleri okuyarak ayırt edilebilmesidir.

Örnek 3: Doğrusal fonksiyon

Sonra, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, plus, 2, y'ye bakalım. Bunun grafiği eğimli bir düzlemdir.
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, plus, 2, y'nin grafiği
Bu, eşit aralıklı düz çizgileri olan bir eş yükselti haritasıyla eşleşir:
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, plus, 2, y'nin eş yükselti eğrileri

Örnek 4: Gerçek harita

Eş yükselti eğrileri genelde gerçek haritalarda tepelik arazilerde yüksekliği göstermek için kullanılır. Örneğin, sağdaki görüntü aydaki belirli bir kraterin bir görüntüsüdür.
Dağın eş yükselti eğrileri
Aydaki South Ray kraterinin eş yükselti eğrileri, Vikipedi'den
Bu kraterin etrafında yürüdüğünüzü hayal edin. Eş yükselti çizgileri birbirine yakın olduğunda, eğim oldukça diktir. Örneğin, 7700 metreden 7650 metreye çok kısa bir mesafede inersiniz. Altta, çizgiler seyrek olduğunda, her şey daha düzdür, 7650 metreyle 7628 metre arasındaki değişim çok daha fazla uzaklık alır.

''İzo'' ön eki ile başlayan terimler

Bir eş yükselti haritasındaki çizgilerin çeşitli isimleri vardır:
  • Eş yükselti çizgileri.
  • Seviye setleri, grafiğin yüksekliğinin ve dolayısıyla seviyesinin değişmediği left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis değerlerini temsil ettikleri için bu adı almışlardır.
  • İzo çizgiler, burada Yunanca "iso" ön eki, "aynı" anlamına gelir.
Eş yükselti haritasının neyi temsil ettiğine bağlı olarak, bu izo ön eki pek çok şeyle birlikte kullanılabilir. Burada, hava durumu haritalarından iki genel örnek bulunuyor.
  • Bir izoterm, hava sıcaklığını temsil eden bir fonksiyonun eş yükselti haritasındaki bir çizgidir.
  • Bir izobar, basıncı temsil eden bir eş yükselti haritasındaki bir çizgidir.

Bir eş yükselti haritasını sezgisel olarak kavramak

Grafiğinizin bir parçasının ne kadar dik olduğunu anlamak için, eş yükselti eğrilerinin birbirine ne kadar yakın olduğuna bakarsınız. Birbirinden uzak olduklarında, yüksekliği artırmak fazla yanal uzaklık gerektirir; ama yakın olduklarında, küçük yanal artışlarda yükseklik hızla artar.
Grafiğin bir tepesine yaklaşan yüksekliklerle ilişkili olan düzey setleri, her biri bir sonrakini çevreleyen ve giderek küçülen kapalı halkalar gibi gözükecektir. Bu durum, grafiğin minimumu için de geçerlidir. Bu, bir fonksiyonun maksimum veya minimumunu, eş yükselti eğrilerini kullanarak ve örneğin ortak merkezli daireler gibi birbirini kuşatan kapalı halkalar arayarak belirleyebileceğiniz anlamını taşımaktadır.