Ana içerik

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 1

Ders 5: Çok Değişkenli Fonksiyon Grafikleri

Eş yükselti eğrileri

Eş yükselti haritası, üç boyutta çizmek uygun olmadığında, iki boyutlu girdisi ve bir boyutlu çıktısı olan fonksiyonları temsil etmek için yararlı bir alternatiftir.

Arka plan

Süreç

Eş yükselti eğrileri gibi iki boyutlu girdili ve bir boyutlu çıktılı fonksiyonları göstermenin bir yoludur. Örneğin, bu fonksiyonu düşünün:

$f (x, y) = x^{4} - x^{2} + y^{2}$ ‍.

Grafiklerde,

(x, y)

girdisini

f (x, y)

çıktısıyla ilişkilendirmenin yolu, bunların ikisini bir

(x, y, f (x, y))

üçlüsünde birleştirmek ve bu sıralı üçlüyü üç boyutlu uzayda bir nokta olarak işaretlemektirtir. Grafiğin kendisi,

(x, y, f (x, y))

formunda tüm olası üç boyutlu noktalardan oluşur, bu noktalar birlikte bir tür yüzey oluştururlar.

Ancak bazen üç boyutlu bir görüntüyü göstermek hantalca, veya anında yapması zor olabilir. Eş yükselti eğrileri, sadece iki-boyutlu girdi uzayında çizerken fonksiyonu göstermenin bir yolunu verir.

İşte böyle yapılıyor:

Adım 1: Fonksiyonun grafiği ile başlayın.

Adım 2: Grafiği $x y$ ‍ düzlemine paralel birkaç eşit aralıklı düzey düzlemiyle kesin. Bu düzlemleri, $z$ ‍'nin belirli bir çıktıya eşit olduğu noktalar gibi düşünebilirsiniz, $z = 2$ ‍ gibi.

Adım 3: Grafikte düzlemlerin kestiği yerleri işaretleyin.

Adım 4: Bu doğruların $x y$ ‍-düzleminde izdüşümünü alın ve karşılık gelen yükseklikleri işaretleyin.

Başka bir deyişle, temsil etmek için bir çıktı değeri kümesi seçersiniz ve bu çıktı değerlerinin her birisi için $f (x, y)$ ‍'nin o değere eşit olduğu tüm $(x, y)$ ‍ girdi değerlerinden geçen bir doğru çizersiniz. Hangi doğruların hangi değerlerle eşleştiğini takip etmek için, uygun sayıyı her doğrunun belirli bir yerine yazarız.

Not: Bu örnekteki

{- 2, - 1, 0, 1, 2}

gibi, temsil etmek istediğiniz çıktı seçeneği, eşit aralıklı olmalıdır. Böylece, sadece eşyükselti eğrilerine bakarak fonksiyonun "şekli"ni anlamak çok kolaylaşır.

Örnek 1: Paraboloid

f (x, y) = x^{2} + y^{2}

fonksiyonunu düşünün. Bu grafiğin şekli "paraboloid" olarak tanımlanır; bu, bir parabolun üç boyutlu haline denktir.

Eş yükselti haritası böyle gözükür:

Dikkat ederseniz, çemberler eşit aralıklı değildir. Bunun nedeni, başlangıç noktasından uzaklaştıkça grafiğin yüksekliğinin daha hızlı yükselmesidir. Buna göre, yüksekliği verilen bir miktarla artırmak, girdi uzayında başlangıç noktasından uzağa daha küçük bir adım gerektirir.

Örnek 2: Dalgalar

f (x, y) = \cos (x) \cdot \sin (y)

fonksiyonu hakkında ne söyleyebiliriz? Bunun grafiği oldukça dalgalı gözüküyor:

Eş yükselti haritanız böyledir:

Burada işaret edilmeye değer bir özellik, eş yükselti eğrilerinde tepe ve vadilerin çok benzer görünebilmesi ve sadece işaretleri okuyarak ayırt edilebilmesidir.

Örnek 3: Doğrusal fonksiyon

Sonra,

f (x, y) = x + 2 y

'ye bakalım. Bunun grafiği eğimli bir düzlemdir.

Bu, eşit aralıklı düz çizgileri olan bir eş yükselti haritasıyla eşleşir:

Örnek 4: Gerçek harita

Eş yükselti eğrileri genelde gerçek haritalarda tepelik arazilerde yüksekliği göstermek için kullanılır. Örneğin, sağdaki görüntü aydaki belirli bir kraterin bir görüntüsüdür.

Bu kraterin etrafında yürüdüğünüzü hayal edin. Eş yükselti çizgileri birbirine yakın olduğunda, eğim oldukça diktir. Örneğin,

7700

metreden

7650

metreye çok kısa bir mesafede inersiniz. Altta, çizgiler seyrek olduğunda, her şey daha düzdür,

7650

metreyle

7628

metre arasındaki değişim çok daha fazla uzaklık alır.

''İzo'' ön eki ile başlayan terimler

Bir eş yükselti haritasındaki çizgilerin çeşitli isimleri vardır:

Eş yükselti çizgileri.
Seviye setleri, grafiğin yüksekliğinin ve dolayısıyla seviyesinin değişmediği $(x, y)$ ‍ değerlerini temsil ettikleri için bu adı almışlardır.
İzo çizgiler, burada Yunanca "iso" ön eki, "aynı" anlamına gelir.

Eş yükselti haritasının neyi temsil ettiğine bağlı olarak, bu izo ön eki pek çok şeyle birlikte kullanılabilir. Burada, hava durumu haritalarından iki genel örnek bulunuyor.

Bir izoterm, hava sıcaklığını temsil eden bir fonksiyonun eş yükselti haritasındaki bir çizgidir.
Bir izobar, basıncı temsil eden bir eş yükselti haritasındaki bir çizgidir.

Bir eş yükselti haritasını sezgisel olarak kavramak

Grafiğinizin bir parçasının ne kadar dik olduğunu anlamak için, eş yükselti eğrilerinin birbirine ne kadar yakın olduğuna bakarsınız. Birbirinden uzak olduklarında, yüksekliği artırmak fazla yanal uzaklık gerektirir; ama yakın olduklarında, küçük yanal artışlarda yükseklik hızla artar.

Grafiğin bir tepesine yaklaşan yüksekliklerle ilişkili olan düzey setleri, her biri bir sonrakini çevreleyen ve giderek küçülen kapalı halkalar gibi gözükecektir. Bu durum, grafiğin minimumu için de geçerlidir. Bu, bir fonksiyonun maksimum veya minimumunu, eş yükselti eğrilerini kullanarak ve örneğin ortak merkezli daireler gibi birbirini kuşatan kapalı halkalar arayarak belirleyebileceğiniz anlamını taşımaktadır.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.