Ana içerik
Çok Değişkenli Kalkülüs
Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 1
Ders 5: Çok Değişkenli Fonksiyon GrafikleriÇok boyutlu grafikler
Çok değişkenli fonksiyonların grafiklerini çizme örnekleri ve grafik çizimindeki kısıtlamalar.
Arka plan
Neye ulaşıyoruz
- İki boyutlu bir girdisi ve bir boyutlu bir çıktısı olan bir fonksiyonun grafiğini çizmek için, üç boyutlu uzayda noktalar çizmek gerekir.
- Bunun sonucu, üç boyutlu uzayda bir düzlem gibi gözükür; burada bu yüzeyin
düzleminin üstündeki yüksekliği fonksiyonun her noktadaki değerini belirtir.
Tek değişkenli fonksiyonların grafiklerini tekrar gözden geçirme
Grafikler öğrencilerin çoğunun fonksiyonları görselleştirmek için en çok kullandıkları yoldur. Çok değişkenli fonksiyonlara genellemeden önce, tek değişkenli fonksiyonlar için grafikleri nasıl tanımladığımızı hızlıca bir daha gözden geçirelim.
Fonksiyonumuzun böyle gözüktüğünü varsayın:
Sonra düzleminde noktasını işaretleriz. Bu durumda, bu 'ü işaretlemek anlamını taşır.
Bunu sadece yerine, tüm olası girdileri için yaptığımızda, şeklindeki tüm noktaların neye benzediğini görürüz.
Bir boyut daha ekleme
İki boyutlu girdiye ve bir boyutlu çıktıya sahip fonksiyonlar için ne yapabiliriz? Belki bunun gibi bir şey yapabiliriz:
Girdileri çıktılarla eşleştirmek üç sayı gerektirir, ikisi girdi ve biri çıktı için.
Girdiler | Çıktı | ||
---|---|---|---|
Bu bağlantıları bir grafikle görselleştirmek için, üç boyutta noktalar çizeriz*.
bağlantısı noktasıyla gösterilir. bağlantısı noktasıyla gösterilir.- Genel olarak, hedef bazı
ve sayı çiftleri için noktaların hepsini formunda temsil etmektir.
Elde edilen grafik aşağıda gösterilmiştir. Bu video bu grafiğin dönmesini göstermektedir, umarım bu video bunun üç boyutlu doğasını kavramanıza yardımcı olur. Aşağıda girdi uzayı olan düzlemini de görebilirsiniz (grafiğin altında).
Bunun anlamı, düzlemde verilen herhangi bir noktası için, bu noktayla grafik arasındaki düşey uzaklığın 'nin değerini belirteceğidir. Bu düşey yön genelde yönü olarak adlandırılır ve düzlemine dik olan üçüncü eksen ekseni olarak adlandırılır.
Örnek 1: Çan eğrisi
Fonksiyon:
Grafik:
Bu fonksiyonda neler olduğunu analiz edelim. Önce, 'nin üssünün içine bakalım ve değeri hakkında düşünelim.
Soru: değerini nasıl yorumlayabilirsiniz?
Düşünme Sorusu: Üstteki grafikte dönel simetri vardır, yani ekseni etrafında döndürsek aynı görünür. Bunun nedeni nedir?
Örnek 2: Dalgalar
Fonksiyon:
Grafik:
Bu fonksiyonu ve genel olarak çok değişkenli fonksiyonlar hakkında sezgi kazanmanın bir yolu, girdilerden biri sabit tutulduğunda neler olduğuna bakmaktır.
Örneğin, değerini olarak sabitlersek ne olur? Genelde, böyle gözüken noktaların tümünü çiziyoruz:
Bunu geometrik olarak yorumlamanın çok hoş bir yolu var:
Uzayda olan noktalar, yani formundaki tüm noktalar bir düzey oluşturur. Neden? Grafiği bu düzlemle dilimlediğinizi hayal edin. Düzlemle grafiğin kesiştiği noktalar (aşağıda kırmızıyla çizilmiştir), grafiğimizde olan noktalardır.
Bu, grafiği anlamak için neden yararlı olacaktır?
Temel olarak, çok değişkenli fonksiyonunu tek değişkenli bir fonksiyona dönüştürdük:
Aslında, üç boyutlu grafiği 'de kestiğimiz zaman elde ettiğimiz eğri, iki boyutlu grafiğiyle aynı şekle sahiptir.
Bu yolla, bir değişkeni sabit tutarak ve elde edilen iki boyutlu grafiğe bakarak, çok değişkenli bir fonksiyonun üç boyutlu grafiğinin ''her seferinde bir dilimini'' anlayabilirsiniz.
Örnek 3: Bir girdi, iki çıktı
Ayrıca bir boyutlu girdisi ve iki boyutlu çıktısı olan bir fonksiyonun da grafiğini çizebilirsiniz; ancak genelde bu pek yapılmaz.
Fonksiyon:
Çizilen noktalar:
Grafik:
Bu durumda, sadece serbestçe koşar, grafikteki ve değerleri 'e bağlıdır.
Benzer bir şekilde, düzleminde düz bakacak şekilde bunu döndürmek, görüntünün grafiğine benzemesini sağlar.
Başka bir deyişle, , ile fonksiyonlarını bir fonksiyonda birleştirmenin bir yoludur ve grafiği bunların ikisindeki bilgiyi bir görüntüde yakalar.
Sınırlamalar
Bu süreci daha yüksek boyutlu girdili ve çıktılı fonksiyonlara uygulamaya çalıştığınız anda, rahatlıkla görselleştirebildiğiniz boyutlar biter.
Örneğin, iki boyutlu girdili ve iki boyutlu çıktılı fonksiyonunu düşünün. Bu fonksiyonun grafiğini çizmek, dört boyut gerektirir! Bunun nedeni, noktaların tümünü formunda çizmemizin gerekecek olmasıdır.
Uygulamada, insanlar gibi daha yüksek boyutlu fonksiyonların grafiklerini düşünürken, genelde gibi iki boyutlu girdili ve bir boyutlu çıktılı daha basit bir fonksiyonun grafiğini düşünerek başlarlar. Bu, bir anlamda kavramsal bir prototiptir.
Böyle bir prototip belirli işlemleri anlamanıza ve girdi uzayınız çok boyutlu olduğunda neler olmaya başladığını anlamaya başlamanıza yardımcı olabilir. Sonuçta, gerçek hesaplamalar büyük boyutlu fonksiyonlarda tamamen sembolik uygulanır.
Tartışmaya katılmak ister misiniz?
- makaleler ne zaman Türkçeye çevrilir ?(2 oy)