If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Çok Değişkenli Kalkülüs

Ünite: 1: Ders: 5

Çok Değişkenli Fonksiyon Grafikleri
Matematik
Çok Değişkenli Kalkülüs
Çok Değişkenli Fonksiyonlar
Çok Değişkenli Fonksiyon Grafikleri
© 2023 Khan AcademyKullanım ŞartlarıGizlilik PolitikasıÇerez Politikası

Çok boyutlu grafikler

Google Classroom
Çok değişkenli fonksiyonların grafiklerini çizme örnekleri ve grafik çizimindeki kısıtlamalar.

Arka plan

Neye ulaşıyoruz

  • İki boyutlu bir girdisi ve bir boyutlu bir çıktısı olan bir fonksiyonun grafiğini çizmek için, üç boyutlu uzayda noktalar çizmek gerekir.
  • Bunun sonucu, üç boyutlu uzayda bir düzlem gibi gözükür; burada bu yüzeyin x, y düzleminin üstündeki yüksekliği fonksiyonun her noktadaki değerini belirtir.

Tek değişkenli fonksiyonların grafiklerini tekrar gözden geçirme

Grafikler öğrencilerin çoğunun fonksiyonları görselleştirmek için en çok kullandıkları yoldur. Çok değişkenli fonksiyonlara genellemeden önce, tek değişkenli fonksiyonlar için grafikleri nasıl tanımladığımızı hızlıca bir daha gözden geçirelim.
Fonksiyonumuzun böyle gözüktüğünü varsayın:
f(x)=−x2+3x+2\begin{aligned} \quad f(x) = -x^2 + 3x + 2 \end{aligned}
x, equals, 1 gibi bir girdiyi çizmek için, önce f, left parenthesis, 1, right parenthesis'i hesaplarız:
f(1)=−x2+3x+2=−(1)2+3(1)+2=4\begin{aligned} \quad f(1) &= -x^2 + 3x + 2 \\ &= -(1)^2 + 3(1) + 2 \\ &= 4 \end{aligned}
Sonra x, y düzleminde left parenthesis, 1, comma, f, left parenthesis, 1, right parenthesis, right parenthesis noktasını işaretleriz. Bu durumda, bu left parenthesis, 1, comma, 4, right parenthesis'ü işaretlemek anlamını taşır.
Bunu sadece 1 yerine, tüm olası x girdileri için yaptığımızda, left parenthesis, x, comma, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis şeklindeki tüm noktaların neye benzediğini görürüz.
f, left parenthesis, x, right parenthesis, x birazcık değiştikçe çılgınca farklı değerler veren egzotik ve farklı bir fonksiyon olmadıkça, sonuç düzgün görünen bir eğri olur.

Bir boyut daha ekleme

İki boyutlu girdiye ve bir boyutlu çıktıya sahip fonksiyonlar için ne yapabiliriz? Belki bunun gibi bir şey yapabiliriz:
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, y, minus, 2, right parenthesis, squared, plus, 2
Girdileri çıktılarla eşleştirmek üç sayı gerektirir, ikisi girdi ve biri çıktı için.
Girdiler left parenthesis, x, comma, y, right parenthesisÇıktı f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis
left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis10
left parenthesis, 1, comma, 0, right parenthesis7
left parenthesis, 1, comma, 2, right parenthesis3
\varvdots, rectangle\varvdots, rectangle
Bu bağlantıları bir grafikle görselleştirmek için, üç boyutta noktalar çizeriz*.
  • left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, right arrow, 10 bağlantısı left parenthesis, 0, comma, 0, comma, 10, right parenthesis noktasıyla gösterilir.
  • left parenthesis, 1, comma, 0, right parenthesis, right arrow, 7 bağlantısı left parenthesis, 1, comma, 0, comma, 7, right parenthesis noktasıyla gösterilir.
  • Genel olarak, hedef bazı x ve y sayı çiftleri için noktaların hepsini left parenthesis, x, comma, y, comma, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, right parenthesis formunda temsil etmektir.
Elde edilen grafik aşağıda gösterilmiştir. Bu video bu grafiğin dönmesini göstermektedir, umarım bu video bunun üç boyutlu doğasını kavramanıza yardımcı olur. Aşağıda girdi uzayı olan x, y düzlemini de görebilirsiniz (grafiğin altında).
Khan Akademi video wrapper
Video metni
Bunun anlamı, düzlemde verilen herhangi bir left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis noktası için, bu noktayla grafik arasındaki düşey uzaklığın f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis'nin değerini belirteceğidir. Bu düşey yön genelde z yönü olarak adlandırılır ve x, y düzlemine dik olan üçüncü eksen z ekseni olarak adlandırılır.
x ve y değerleri değiştikçe, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis değeri değiştiği sürece (ki bu durum çalıştığımız fonksiyonların hemen hepsi için geçerlidir), grafik bir tür yüzeye benzer.

Örnek 1: Çan eğrisi

Fonksiyon: f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, e, start superscript, minus, left parenthesis, x, squared, plus, y, squared, right parenthesis, end superscript
Grafik:
Gauss çan eğrisi
Bu fonksiyonda neler olduğunu analiz edelim. Önce, e, start superscript, minus, left parenthesis, x, squared, plus, y, squared, right parenthesis, end superscript'nin üssünün içine bakalım ve x, squared, plus, y, squared değeri hakkında düşünelim.
Soru: x, squared, plus, y, squared değerini nasıl yorumlayabilirsiniz?
1 cevap seçin:
1 cevap seçin:

left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis noktası başlangıç noktasından uzak olduğunda, e, start superscript, minus, left parenthesis, x, squared, plus, y, squared, right parenthesis, end superscript fonksiyonu e, start superscript, start text, left parenthesis, b, u, with, \", on top, y, u, with, \", on top, k, space, b, i, r, space, n, e, g, a, t, i, f, space, s, a, y, ı, right parenthesis, end text, end superscript gibi gözükecektir, bu neredeyse sıfırdır. Bu, bu noktalarda grafik ve x, y düzlemi arasındaki uzaklığın çok küçük olacağı anlamına gelmektedir. Diğer yandan, x, equals, 0 ve y, equals, 0 olduğunda e, start superscript, minus, left parenthesis, x, squared, plus, y, squared, right parenthesis, end superscript, equals, e, start superscript, minus, 0, end superscript, equals, 1'dir; bu bize ortadaki çıkıntıyı verir.
Düşünme Sorusu: Üstteki grafikte dönel simetri vardır, yani z ekseni etrafında döndürsek aynı görünür. Bunun nedeni nedir?

Örnek 2: Dalgalar

Fonksiyon: f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, dot, sine, left parenthesis, y, right parenthesis
Grafik:
Bu f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, sine, left parenthesis, y, right parenthesis fonksiyonu ve genel olarak çok değişkenli fonksiyonlar hakkında sezgi kazanmanın bir yolu, girdilerden biri sabit tutulduğunda neler olduğuna bakmaktır.
Örneğin, x değerini 2 olarak sabitlersek ne olur? Genelde, böyle gözüken noktaların tümünü çiziyoruz:
left parenthesis, x, comma, y, comma, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, sine, left parenthesis, y, right parenthesis, right parenthesis, left arrow, start text, x, space, v, e, space, y, space, s, e, r, b, e, s, t, ç, e, space, d, e, g, with, \u, on top, i, ş, i, r, point, end text
x'i 2'de sabit tutarak, bakış açımızı böyle gözüken noktalarla sınırlandırıyoruz:
left parenthesis, 2, comma, y, comma, cosine, left parenthesis, 2, right parenthesis, sine, left parenthesis, y, right parenthesis, right parenthesis, left arrow, start text, x, space, v, e, space, y, space, s, e, r, b, e, s, t, ç, e, space, d, e, g, with, \u, on top, i, ş, i, r, point, end text
Bunu geometrik olarak yorumlamanın çok hoş bir yolu var:
Uzayda x, equals, 2 olan noktalar, yani left parenthesis, 2, comma, y, comma, z, right parenthesis formundaki tüm noktalar bir düzey oluşturur. Neden? Grafiği bu düzlemle dilimlediğinizi hayal edin. Düzlemle grafiğin kesiştiği noktalar (aşağıda kırmızıyla çizilmiştir), grafiğimizde x, equals, 2 olan noktalardır.
Bu, grafiği anlamak için neden yararlı olacaktır?
Temel olarak, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, sine, left parenthesis, y, right parenthesis çok değişkenli fonksiyonunu tek değişkenli bir fonksiyona dönüştürdük:
g(y)=cos⁡(2)sin⁡(y)≈−0,42sin⁡(y)\begin{aligned} \quad g(y) &= \cos(2)\sin(y) \\ &\approx -0,42\sin(y) \end{aligned}
Aslında, üç boyutlu grafiği x, equals, 2'de kestiğimiz zaman elde ettiğimiz eğri, iki boyutlu g, left parenthesis, y, right parenthesis grafiğiyle aynı şekle sahiptir.
Bu yolla, bir değişkeni sabit tutarak ve elde edilen iki boyutlu grafiğe bakarak, çok değişkenli bir fonksiyonun üç boyutlu grafiğinin ''her seferinde bir dilimini'' anlayabilirsiniz.

Örnek 3: Bir girdi, iki çıktı

Ayrıca bir boyutlu girdisi ve iki boyutlu çıktısı olan bir fonksiyonun da grafiğini çizebilirsiniz; ancak genelde bu pek yapılmaz.
Fonksiyon: f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, squared, comma, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis
Çizilen noktalar: left parenthesis, x, comma, x, squared, comma, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis
Grafik:
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, squared, comma, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis grafiği
Bu durumda, sadece x serbestçe koşar, grafikteki y ve z değerleri x'e bağlıdır.
x, y düzlemine düz bakacak şekilde görüntüyü döndürürsek, grafik f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared'ye benzer. Bunu söylemenin başka bir yolu, grafiğin x, y düzlemindeki izdüşümünün f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared grafiğini vermesidir.
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, squared, comma, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis'in x, y düzlemine izdüşümü
Benzer bir şekilde, x, z düzleminde düz bakacak şekilde bunu döndürmek, görüntünün f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, x, right parenthesis grafiğine benzemesini sağlar.
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, squared, comma, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis'in x, z-düzlemine izdüşümü
Başka bir deyişle, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, squared, comma, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared ile f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, x, right parenthesis fonksiyonlarını bir fonksiyonda birleştirmenin bir yoludur ve grafiği bunların ikisindeki bilgiyi bir görüntüde yakalar.

Sınırlamalar

Bu süreci daha yüksek boyutlu girdili ve çıktılı fonksiyonlara uygulamaya çalıştığınız anda, rahatlıkla görselleştirebildiğiniz boyutlar biter.
Örneğin, iki boyutlu girdili ve iki boyutlu çıktılı f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, squared, comma, y, squared, right parenthesis fonksiyonunu düşünün. Bu fonksiyonun grafiğini çizmek, dört boyut gerektirir! Bunun nedeni, noktaların tümünü left parenthesis, x, comma, y, comma, x, squared, comma, y, squared, right parenthesis formunda çizmemizin gerekecek olmasıdır.
Uygulamada, insanlar f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, x, squared, plus, y, squared, plus, z, squared gibi daha yüksek boyutlu fonksiyonların grafiklerini düşünürken, genelde f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, plus, y, squared gibi iki boyutlu girdili ve bir boyutlu çıktılı daha basit bir fonksiyonun grafiğini düşünerek başlarlar. Bu, bir anlamda kavramsal bir prototiptir.
Böyle bir prototip belirli işlemleri anlamanıza ve girdi uzayınız çok boyutlu olduğunda neler olmaya başladığını anlamaya başlamanıza yardımcı olabilir. Sonuçta, gerçek hesaplamalar büyük boyutlu fonksiyonlarda tamamen sembolik uygulanır.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.