Ana içerik

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 1

Ders 5: Çok Değişkenli Fonksiyon Grafikleri

Çok boyutlu grafikler

Google Classroom

Çok değişkenli fonksiyonların grafiklerini çizme örnekleri ve grafik çizimindeki kısıtlamalar.

Arka plan

Çok değişkenli fonksiyonlar

Neye ulaşıyoruz

İki boyutlu bir girdisi ve bir boyutlu bir çıktısı olan bir fonksiyonun grafiğini çizmek için, üç boyutlu uzayda noktalar çizmek gerekir.
Bunun sonucu, üç boyutlu uzayda bir düzlem gibi gözükür; burada bu yüzeyin $x y$ ‍ düzleminin üstündeki yüksekliği fonksiyonun her noktadaki değerini belirtir.

Tek değişkenli fonksiyonların grafiklerini tekrar gözden geçirme

Grafikler öğrencilerin çoğunun fonksiyonları görselleştirmek için en çok kullandıkları yoldur. Çok değişkenli fonksiyonlara genellemeden önce, tek değişkenli fonksiyonlar için grafikleri nasıl tanımladığımızı hızlıca bir daha gözden geçirelim.

Fonksiyonumuzun böyle gözüktüğünü varsayın:

\begin{array}{r} f (x) = - x^{2} + 3 x + 2 \end{array}

x = 1

gibi bir girdiyi çizmek için, önce

f (1)

'i hesaplarız:

\begin{aligned} f (1) & = - x^{2} + 3 x + 2 \\ = - (1)^{2} + 3 (1) + 2 \\ = 4 \end{aligned}

Sonra

x y

düzleminde

(1, f (1))

noktasını işaretleriz. Bu durumda, bu

(1, 4)

'ü işaretlemek anlamını taşır.

Bunu sadece

1

yerine, tüm olası

x

girdileri için yaptığımızda,

(x, f (x))

şeklindeki tüm noktaların neye benzediğini görürüz.

f (x)

x

birazcık değiştikçe çılgınca farklı değerler veren egzotik ve farklı bir fonksiyon olmadıkça, sonuç düzgün görünen bir eğri olur.

Bir boyut daha ekleme

İki boyutlu girdiye ve bir boyutlu çıktıya sahip fonksiyonlar için ne yapabiliriz? Belki bunun gibi bir şey yapabiliriz:

$f (x, y) = (x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} + 2$ ‍

Girdileri çıktılarla eşleştirmek üç sayı gerektirir, ikisi girdi ve biri çıktı için.

		Girdiler $(x, y)$ ‍	Çıktı $f (x, y)$ ‍
		$(0, 0)$ ‍	$10$ ‍
		$(1, 0)$ ‍	$7$ ‍
		$(1, 2)$ ‍	$3$ ‍
		$⋮$ ‍	$⋮$ ‍

Bu bağlantıları bir grafikle görselleştirmek için, üç boyutta noktalar çizeriz*.

$(0, 0) \to 10$ ‍ bağlantısı $(0, 0, 10)$ ‍ noktasıyla gösterilir.
$(1, 0) \to 7$ ‍ bağlantısı $(1, 0, 7)$ ‍ noktasıyla gösterilir.
Genel olarak, hedef bazı $x$ ‍ ve $y$ ‍ sayı çiftleri için noktaların hepsini $(x, y, f (x, y))$ ‍ formunda temsil etmektir.

Elde edilen grafik aşağıda gösterilmiştir. Bu video bu grafiğin dönmesini göstermektedir, umarım bu video bunun üç boyutlu doğasını kavramanıza yardımcı olur. Aşağıda girdi uzayı olan

x y

düzlemini de görebilirsiniz (grafiğin altında).

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Bunun anlamı, düzlemde verilen herhangi bir

(x, y)

noktası için, bu noktayla grafik arasındaki düşey uzaklığın

f (x, y)

'nin değerini belirteceğidir. Bu düşey yön genelde $z$ ‍ yönü olarak adlandırılır ve

x y

düzlemine dik olan üçüncü eksen $z$ ‍ ekseni olarak adlandırılır.

x

y

değerleri değiştikçe,

f (x, y)

değeri değiştiği sürece (ki bu durum çalıştığımız fonksiyonların hemen hepsi için geçerlidir), grafik bir tür yüzeye benzer.

Örnek 1: Çan eğrisi

Fonksiyon:

f (x, y) = e^{- (x^{2} + y^{2})}

Grafik:

Bu fonksiyonda neler olduğunu analiz edelim. Önce,

e^{- (x^{2} + y^{2})}

'nin üssünün içine bakalım ve

x^{2} + y^{2}

değeri hakkında düşünelim.

Soru:

x^{2} + y^{2}

değerini nasıl yorumlayabilirsiniz?

1 cevap seçin:
(A şıkkı)
Girdi uzayında $(x, y)$ ‍ ve başlangıç noktası $(0, 0)$ ‍ arasındaki uzaklık
(B şıkkı)
Girdi uzayında $(x, y)$ ‍ ve başlangıç noktası $(0, 0)$ ‍ arasındaki uzaklığın karesi
(C şıkkı)
Bir $(x, y)$ ‍ girdisiyle grafikte karşılık gelen nokta arasındaki uzaklık
(D şıkkı)
Bir $(x, y)$ ‍ girdisiyle grafikte karşılık gelen nokta arasındaki uzaklığın karesi

[Cevabı göster.]

(x, y)

noktası başlangıç noktasından uzak olduğunda,

e^{- (x^{2} + y^{2})}

fonksiyonu

e^{(büyük bir negatif sayı)}

gibi gözükecektir, bu neredeyse sıfırdır. Bu, bu noktalarda grafik ve

x y

düzlemi arasındaki uzaklığın çok küçük olacağı anlamına gelmektedir. Diğer yandan,

x = 0

y = 0

olduğunda

e^{- (x^{2} + y^{2})} = e^{- 0} = 1

'dir; bu bize ortadaki çıkıntıyı verir.

Düşünme Sorusu: Üstteki grafikte dönel simetri vardır, yani

z

ekseni etrafında döndürsek aynı görünür. Bunun nedeni nedir?

[Cevabı göster.]

Örnek 2: Dalgalar

Fonksiyon:

f (x, y) = \cos (x) \cdot \sin (y)

Grafik:

f (x, y) = \cos (x) \sin (y)

fonksiyonu ve genel olarak çok değişkenli fonksiyonlar hakkında sezgi kazanmanın bir yolu, girdilerden biri sabit tutulduğunda neler olduğuna bakmaktır.

Örneğin,

x

değerini

2

olarak sabitlersek ne olur? Genelde, böyle gözüken noktaların tümünü çiziyoruz:

$(x, y, \cos (x) \sin (y)) \leftarrow x ve y serbestçe değişir.$ ‍

x

2

'de sabit tutarak, bakış açımızı böyle gözüken noktalarla sınırlandırıyoruz:

$(2, y, \cos (2) \sin (y)) \leftarrow x ve y serbestçe değişir.$ ‍

Bunu geometrik olarak yorumlamanın çok hoş bir yolu var:

Uzayda

x = 2

olan noktalar, yani

(2, y, z)

formundaki tüm noktalar bir düzey oluşturur. Neden? Grafiği bu düzlemle dilimlediğinizi hayal edin. Düzlemle grafiğin kesiştiği noktalar (aşağıda kırmızıyla çizilmiştir), grafiğimizde

x = 2

olan noktalardır.

Bu, grafiği anlamak için neden yararlı olacaktır?

Temel olarak,

f (x, y) = \cos (x) \sin (y)

çok değişkenli fonksiyonunu tek değişkenli bir fonksiyona dönüştürdük:

\begin{aligned} g (y) & = \cos (2) \sin (y) \\ \approx - 0, 42 \sin (y) \end{aligned}

Aslında, üç boyutlu grafiği

x = 2

'de kestiğimiz zaman elde ettiğimiz eğri, iki boyutlu

g (y)

grafiğiyle aynı şekle sahiptir.

Bu yolla, bir değişkeni sabit tutarak ve elde edilen iki boyutlu grafiğe bakarak, çok değişkenli bir fonksiyonun üç boyutlu grafiğinin ''her seferinde bir dilimini'' anlayabilirsiniz.

Örnek 3: Bir girdi, iki çıktı

Ayrıca bir boyutlu girdisi ve iki boyutlu çıktısı olan bir fonksiyonun da grafiğini çizebilirsiniz; ancak genelde bu pek yapılmaz.

Fonksiyon:

f (x) = (x^{2}, \sin (x))

Çizilen noktalar:

(x, x^{2}, \sin (x))

Grafik:

Bu durumda, sadece

x

serbestçe koşar, grafikteki

y

z

değerleri

x

'e bağlıdır.

x y

düzlemine düz bakacak şekilde görüntüyü döndürürsek, grafik

f (x) = x^{2}

'ye benzer. Bunu söylemenin başka bir yolu, grafiğin

x y

düzlemindeki izdüşümünün

f (x) = x^{2}

grafiğini vermesidir.

Benzer bir şekilde,

x z

düzleminde düz bakacak şekilde bunu döndürmek, görüntünün

f (x) = \sin (x)

grafiğine benzemesini sağlar.

Başka bir deyişle,

f (x) = (x^{2}, \sin (x))

f (x) = x^{2}

ile

f (x) = \sin (x)

fonksiyonlarını bir fonksiyonda birleştirmenin bir yoludur ve grafiği bunların ikisindeki bilgiyi bir görüntüde yakalar.

Sınırlamalar

Bu süreci daha yüksek boyutlu girdili ve çıktılı fonksiyonlara uygulamaya çalıştığınız anda, rahatlıkla görselleştirebildiğiniz boyutlar biter.

Örneğin, iki boyutlu girdili ve iki boyutlu çıktılı

f (x, y) = (x^{2}, y^{2})

fonksiyonunu düşünün. Bu fonksiyonun grafiğini çizmek, dört boyut gerektirir! Bunun nedeni, noktaların tümünü

(x, y, x^{2}, y^{2})

formunda çizmemizin gerekecek olmasıdır.

[Bu dört boyutlu grafiği görselleştirme girişimi]

Uygulamada, insanlar

f (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2}

gibi daha yüksek boyutlu fonksiyonların grafiklerini düşünürken, genelde

f (x, y) = x^{2} + y^{2}

gibi iki boyutlu girdili ve bir boyutlu çıktılı daha basit bir fonksiyonun grafiğini düşünerek başlarlar. Bu, bir anlamda kavramsal bir prototiptir.

Böyle bir prototip belirli işlemleri anlamanıza ve girdi uzayınız çok boyutlu olduğunda neler olmaya başladığını anlamaya başlamanıza yardımcı olabilir. Sonuçta, gerçek hesaplamalar büyük boyutlu fonksiyonlarda tamamen sembolik uygulanır.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

elifaribas
8 yıl önce önce paylaşıldı. elifaribas kullanıcısının ''makaleler ne zaman Türkçe'...' gönderisini görmek için direkt link
makaleler ne zaman Türkçeye çevrilir ?
Bu düğme kayıt sayfasına yönlendirirBu düğme kayıt sayfasına yönlendirir
(2 oy)
Cevap

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.