Ana içerik

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 1

Ders 5: Çok Değişkenli Fonksiyon Grafikleri

Çok değişkenli fonksiyonlar nelerdir?

Çok değişkenli fonksiyonlara genel bir bakış, ve bu fonksiyonlara analiz uygulamanın neye benzediğinin bir ön izlemesiyle birlikte

Neye ulaşıyoruz

Girdisi birden çok sayıdan oluşan bir fonksiyon, çok değişkenli olarak adlandırılır.
$f (\underset{\begin{matrix} Girdide \\ birden çok sayı \end{matrix}}{\underset{⏟}{x, y}}) = x^{2} y$ ‍
Eğer bir fonksiyonun çıktısı birden çok sayıdan oluşuyorsa, bu fonksiyon da çok değişkenli olarak adlandırılabilir, ancak bunlara genelde vektör değerli fonksiyonlar denir.
$f (x) = [\begin{matrix} \cos (x) \\ \sin (x) \end{matrix}] \leftarrow Çok sayılı çıktı$ ‍
Bu fonksiyonları görselleştirmek için, çok boyutlu uzayı düşünürüz (eğer beynimizin patlamasını istemiyorsak, genelde sadece iki veya üç boyutlu uzayı).

Çok değişkenli fonksiyonlar nelerdir?

Fonksiyonları ilk kez öğrendiğimde, belki bu sizin için de geçerlidir, daima fonksiyonların girdi olarak bir sayıyı aldığını ve çıktı olarak bir sayıyı verdiğini düşündüğümü hatırlıyorum. Tipik bir örnek, bunun gibi olacaktır:

f (x) = x^{2}

Ya da bu:

f (x) = \sin (x) + 2 \sqrt{x}

Fonksiyonları ilk öğrendiğiniz zamanları düşünürseniz, size fonksiyonu bir değeri alan, bunu değiştiren ve sonra bir çıktı veren bir makine olarak düşünmek öğretilmiş olabilir.

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Ancak gerçekte, fonksiyonlar sadece sayıları alıp vermezler, herhangi bir şeyi alabilir ve herhangi bir şeyi verebilirler. Çok değişkenli analizde, bu şey bir sayı listesi olabilir. Yani, girdi ve/veya çıktı birden çok sayıdan oluşabilir.

Khan Akademi video wrapper

Video metni

**Farklı türlerde fonksiyonlara örnek**
	Tek sayılı girdi	Çok sayılı çıktı
Tek sayılı çıktı	$f (x) = x^{2}$ ‍	$f (x, y) = x^{2} + y^{3}$ ‍
Çok sayılı çıktı	$f (t) = (\cos (t), \sin (t))$ ‍	$f (u, v) = (u^{2} - v, v^{2} + u)$ ‍

Bir çok değişkenli fonksiyon girdisi ve/veya çıktısı olan birden çok sayıdan oluşan bir fonksiyondur. Bunun aksine, tek sayılı bir girdisi ve tek sayılı bir çıktısı olan fonksiyonlar "tek değişkenli fonksiyonlar" olarak adlandırılırlar.

Not: Bazı yazarlar ve öğretmenler, "çok değişkenli" kelimesini çok sayıda çıktı için değil, sadece çok sayıda girdiyi belirtmek için kullanırlar.

Sayılar listesi $\leftrightarrow$ ‍ uzaydaki noktalar

Çok değişkenli analizi güzel kılan şey, fonksiyonları görselleştirmenin ve bunları yeniden düzenlemek için öğreneceğiniz yeni analiz yöntemlerinin, çok boyutlu uzayı içermesidir.

Örneğin, üstünde çalıştığınız bir fonksiyonun girdisinin,

(2, 5)

gibi, bir sayı çifti olduğunu düşünelim. Bunu iki farklı şey olarak düşünebilirdiniz: iki rakamı ve beş rakamı.

Bununla birlikte,

(2, 5)

gibi bir sayı çiftini genelde iki boyutlu uzayda tek bir nokta olarak temsil etmek daha yaygındır, bu noktanın

x

koordinatı

2

y

koordinatı

5

'tir.

Benzer şekilde,

(3, 1, 2)

gibi sayı üçlülerini üç farklı şey olarak değil, üç boyutlu uzayda tek bir nokta olarak düşünmek eğlencelidir.

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Çok değişkenli fonksiyonlar, bir uzaydaki noktaları başka bir uzaydaki noktalarla ilişkilendirmeye ilişkindir. Örneğin, iki değişkenli girdisi ve bir değişkenli çıktısı olan

f (x, y) = x^{2} y

gibi bir fonksiyon,

x y

düzlemindeki noktaları bir sayı doğrusundaki noktalarla eşleştirir.

f (x, y, z) = (y z, x z, x y)

gibi bir fonksiyon, üç boyutlu bir uzaydaki noktaları, üç boyutlu bir uzaydaki başka noktalarla eşleştirir.

Bundan sonraki birkaç makalede, bu fonksiyonları görselleştirmek için kullanabileciğiniz farklı yöntemler üzerinde duracağım. Bu görselleştirmeler çok güzel olabilir ve genelde bir formülün neden öyle göründüğünü anlamamıza çok yardımcı olur. Ancak, özellikle boyutlar üçten fazla olduğunda, bazen beynimizi bükecek kadar kafa karıştırıcı olabilir.

Sanıyorum, sonuçta bunun sadece sayı olduğunun farkına varmak rahatlatıcıdır. Belki iki sayıyı üçe çeviriyorsunuz veya yüz sayıyı yüz bine çeviriyorsunuz, ama uyguladığınız (veya bilgisayarın uyguladığı) her görev, teker teker yapılır.

Vektör değerli fonksiyonlar

Bazen

(2, 5)

gibi bir sayı listesi, uzaydaki bir nokta olarak değil, bir vektör olarak düşünülür. Yani, sonundan ucuna giderken,

2

sağa ve

5

yukarı hareket etmenizi sağlayan bir ok olarak.

Kavramsal farkı vurgulamak için genelde farklı bir gösterim kullanılır; sayılar düşey olarak yazılır (

[\begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix}]

gibi) veya

x

bileşeni

\hat{i}

sembolüyle ve

y

bileşeni

\hat{j}

sembolüyle temsil edilir:

2 \hat{i} + 5 \hat{j}

Bu, kesinlikle sadece kavramsal bir farklılıktır. Bir sayı listesi, ister bunu bir okla veya bir noktayla göstermeyi tercih edin, bir sayı listesidir. Bununla birlikte, bağlama bağlı olarak, vektörleri düşünmek daha doğal gelebilir. Örneğin, sürat ve kuvvet neredeyse daima vektörlerle temsil edilir; çünkü bu, hareketin veya itme ve çekmenin kuvvetli bir görselini elde etmemizi sağlar.

Nedeni ne olursa olsun, çok değişkenli fonksiyonlar söz konusu olduğunda, genelde çıktı bir vektör, girdi ise bir nokta olarak düşünülür. Bu kesin bir kural değildir, ancak genelde böyle yapılır.

Terminoloji

Çıktısı bir vektör olan fonksiyonlar vektör değerli fonkiyonlar olarak adlandırılır; çıktısı tek bir sayı olan fonksiyonlar ise ya mühendislikte genelde kullanıldığı gibi skaler değerli veya matematikte genelde kullanıldığı gibi gerçek değerli (gerçek sayıdaki gerçek gibi) olarak adlandırılırlar.

Çok değişkenli fonksiyonların örnekleri

Gerçek dünyayı modellemeye çalıştıkça, tek değişkenli analizin ne kadar kısıtlayıcı olduğunun farkına varırsınız. Çok değişkenli fonksiyonların ortaya çıktığı birkaç yer için bazı örnekler verelim.

Örnek 1: Konumdan sıcaklığa

Büyük bir bölgedeki değişik sıcaklıkları modellemek için, iki değişken (boylam ve enlem, hatta belki üçüncü olarak yükseklik) alan ve çıktı olarak bir değişken, sıcaklığı veren bir fonksiyon kullanabilirsiniz. Yazıldığında, bu şöyle görünebilir:

T = f (L_{1}, L_{2})

$T$ ‍ sıcaklıktır.
$L_{1}$ ‍ boylamdır.
$L_{2}$ ‍ enlemdir.
$f$ ‍ her boylam-enlem çiftinin eşleştiği sıcaklığı belirleyen karmaşık bir fonksiyondur.

Alternatif olarak,

T

sıcaklığının,

L_{1}

boylamı ve

L_{2}

enlemine göre bir fonksiyon olduğunu söyleyebilirsiniz ve

T (L_{1}, L_{2})

olarak yazabilirsiniz.

Örnek 2: Zamandan konuma

Bir parçacığın uzayda hareketini modellemek için, bir sayıyı, zamanı alan, ve, modellediğiniz boyuta göre iki veya üç sayıyı, parçacığın koordinatlarını çıktı olarak veren bir fonksiyon kullanabilirsiniz.

Bun yazmanın birkaç farklı yolu vardır:

\vec{s} = f (t)

$\vec{s}$ ‍ parçacığın konumunu gösteren, iki veya üç boyutlu bir ''yer değiştirme vektörüdür''.
$t$ ‍ zamandır.
$f$ ‍ vektör değerli bir fonksiyondur.

Alternatif olarak, vektör değerli fonksiyonun bileşenlerini, x ve y koordinatlarını zamana göre fonksiyon olarak ifade eden ayrı skaler fonksiyonlar

x (t)

y (t)

olarak ayırabilirsiniz:

\begin{aligned} x (t) & = \dots (t ’nin bir ifadesi) \dots \\ y (t) & = \dots (t ’nin başka bir ifadesi) \dots \end{aligned}

Örnek 3: Kullanıcı verilerinden tahmine

Bir web sitesi bir kullanıcının davranışını tahmin etmeye çalıştığında, girdi olarak örneğin kullanıcının yaşı, konumunun koordinatları, belirli türde bağlantılara kaç kere tıkladığı, vb. dahil binlerce değişkeni alan bir fonksiyon yaratabilir. Bu fonksiyonun çıktısı da başka bir bağlantıya tıklama olasılığı, farklı bir ürün satın alma olasılığı gibi birden çok değişken içerebilir.

Örnek 4: Konumdan hız vektörüne

Bir sıvının akışını modelliyorsanız, bir yaklaşım sıvıdaki her bir parçacığın hızını ifade etmektir. Bunu yapmak için, parçacığın koordinatlarını girdi olarak alan ve o parçacığın sürat vektörünü çıktı olarak veren bir fonksiyon düşünün.

Yine, bunun yazılı olarak görünmesinin birkaç yolu vardır:

\vec{v} = f (x, y)

$\vec{v}$ ‍ iki boyutlu bir hız vektörüdür.
$x$ ‍ and $y$ ‍ konum koordinatlarıdır.
$f$ ‍ çok değişkenli bir vektör-değerli fonksiyondur.

Alternatif olarak,

f

vektör-değerli fonksiyonunun bileşenlerini ayırabilirsiniz ve

\hat{i}

\hat{j}

notasyonunu kullanabilirsiniz:

\vec{v} = g (x, y) \hat{i} + h (x, y) \hat{j}

$\vec{v}$ ‍ iki boyutlu bir sürat vektörüdür.
$\hat{i}$ ‍ $x$ ‍ yönünde birim vektördür.
$\hat{j}$ ‍ $y$ ‍ yönünde birim vektördür.
$g$ ‍ her vektörün $x$ ‍ bileşenini, bir konum fonksiyonu olarak belirten skaler değerli bir fonksiyondur.
$h$ ‍ her vektörün $y$ ‍ bileşenini, bir konum fonksiyonu olarak belirten skaler değerli bir fonksiyondur.

Analiz nerede devreye girer

Analizde iki temel konu vardır:

Girdisiyle oynadığınızda, bir fonksiyonun değişim hızını inceleyen türevler.
Bir fonksiyonun çıktısını oluşturan sonsuz sayıda birçok minicik miktarı toplamayı inceleyen integraller.

Çok değişkenli analiz bu fikirleri daha büyük boyutlu girdi ve/ya çıktılara genişletir.

Üstteki örneklere göre, değişim hızları ile şunu kastedebiliriz:

Siz bir yönde hareket ederken sıcaklığın nasıl değiştiği.
Sitenin belirli bir özelliği değişirken, çevrimiçi bir alışverişçinin davranışının nasıl değiştiği.
Uzay boyunca akış hızlarında dalgalanmalar.

Öte yandan, "sonsuz sayıda minicik miktarları toplamak" şu anlama gelebilir

Ortalama sıcaklığı bulma
[Bu nasıl "sonsuz toplanma" olabilir?]
Hareket ederken bir parçacığa etki eden toplam işi hesaplama.
Akan bir sıvının tüm bir bölgesinin net süratini tanımlama.

Bu durumları tek değişkenli analizden temelde farklı kılan şey, farklı yönlerde değişimleri ve bu değişimlerin birbiriyle ilişkisini tanımlamamız gerektiğidir. Gelecek konularda neden bahsettiğimi göreceksiniz.

Kavram Kontrolü: Bir parçacığın konumunun sürenin bir fonksiyonu olarak tanımlandığı yukarıdaki Örnek 2'de, ilgilenebileceğimiz bir değişim hızı için bir örnek ne olabilir?

[Olası yanıtları göster.]