If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Parametrik fonksiyonlar, iki parametre

Uzaydaki yüzeyleri temsil etmek için, iki boyutlu girdisi ve üç boyutlu çıktısı olan fonksiyonları kullanabilirsiniz.

Neye ulaşıyoruz

  • İki boyutlu bir girdisi ve üç boyutlu çıktısı olan bir fonksiyonu, girdi uzayının bir bölümüyle eşleşen tüm çıktı noktalarını çizerek görselleştirebilirsiniz. Bu, parametrik yüzey olarak adlandırılan bir yüzey elde etmenizi sağlar.
  • Diğer yoldan gitme süreci yani uzaydaki bir yüzeyle başlayarak bu yüzeyi ''çizen'' fonksiyonu bulmaya çalışmak, yüzeyi parametrelendirmek olarak bilinir. Genelde, bu yapması dikkat isteyen bir iştir.

Tek parametreli fonksiyonlar için hızlı bir gözden geçirme

Son makalede, bir boyutlu girdili ve iki boyutlu çıktılı fonksiyonları görselleştirmekten bahsettim, örneğin:
f(t)=[tcos(t)sin(t)]\displaystyle f(t) = \left[ \begin{array}{c} t\cos(t) \\ \sin(t) \end{array} \right]
Çıktı uzayının girdi uzayından daha çok boyutlu olması nedeniyle, sadece t girdisi bazı değerler kümesinde değişirken çıktı uzayındaki hangi noktaların fonksiyon tarafından ''vurulduğunu'' görerek fonksiyonu iyi şekilde anlayabileceğinizden bahsettim.
f, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, left parenthesis, t, cosine, left parenthesis, t, right parenthesis, comma, sine, left parenthesis, t, right parenthesis, right parenthesis fonksiyonunun vurduğu x, y-düzlemindeki tüm noktalar
Bir fonksiyon bu yolla yorumlandığında, bir parametrik fonksiyon olarak tanımlanır ve girdisi t bir parametredir.

İki parametre

İki boyutlu girdisi ve üç boyutlu çıktısı olan fonksiyonlara da çok benzer bir şey yapabiliriz.
f(s,t)=[t3ststs+t]\displaystyle f(s, t) = \left[ \begin{array}{c} t^3 - st \\ s-t \\ s+t \end{array} \right]
Bu iki girdi koordinatı s ve t parametreler olarak bilinir ve biraz sonra bu fonksiyonun üç boyutlu uzayda nasıl bir yüzey çizdiğini göreceksiniz.
Bunun gibi bir fonksiyonu göstermenin ilk adımı, girdi için örneğin aşağıdaki gibi bir aralık belirlemektir,
0<s<32<t<2\begin{aligned} \quad 0 < &s < 3 \\ -2 < &t < 2 \end{aligned}
Bu bölge, girdi uzayında aşağıdaki gibi gözükür:
Aşağıdaki paratmetrik yüzey için girdi değerleri aralığı
Sonra, bu fonksiyonun bu aralıktaki tüm olası çıktılarını düşünüyoruz.
Girdi left parenthesis, s, comma, t, right parenthesisÇıktı left parenthesis, t, cubed, minus, s, t, comma, s, minus, t, comma, s, plus, t, right parenthesis
left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesisleft parenthesis, 0, comma, 0, comma, 0, right parenthesis
left parenthesis, 1, comma, 0, right parenthesisleft parenthesis, 1, comma, 1, comma, 1, right parenthesis
left parenthesis, 2, comma, 1, right parenthesisleft parenthesis, 6, comma, 1, comma, 3, right parenthesis
\varvdots, rectangle\varvdots, rectangle
Tamam, tüm olası çıktıların hepsini teker teker yazmayız, çünkü bu sonsuz sayıda şey gerektirir. Prensip olarak, hedefimiz bu değerlerin hepsini temsil etmektir. Fonksiyon üç boyutlu bir çıktı verdiğinden, bu çıktıyı üç boyutlu uzayda görselleştiririz.
Aşağıdaki animasyon, parametre uzayında left parenthesis, s, comma, t, right parenthesis noktaları üç boyutlu uzayda f, left parenthesis, s, comma, t, right parenthesis çıktısına giderken neye benzediğini gösterir:
Khan Akademi video wrapper
Üç boyutlu uzayda elde edilen yüzey, bir parametrik yüzey olarak adlandırılır.
Uyarı: Böyle yüzeyler iki boyutlu girdisi ve bir boyutlu çıktısı olan fonksiyonların grafikleriyle karıştırılabilir, çünkü bunlar da üç boyutlu uzaydak, yüzeyler olarak çizilir. Ancak, bu parametrik fonksiyonlar çok farklıdır. İki boyutlu bir girdisi ve üç boyutlu bir çıktısı bulunur. Dikkat ederseniz, bunun anlamı, bunların grafiğini çizmek için beş boyut gerekecek olmasıdır!

Bir yüzeyi parametrik olarak ifade etme

Parametrik fonksiyonları anlamaya başlamanın en iyi yollarından biri, tanımlamak istediğiniz bir yüzeyle başlamak ve sonra bunu parametrik bir yüzey olarak çizecek bir fonksiyon bulmaya çalışmaktır. Çok değişkenli analizde ileride adına yüzey integrali denilen bir şeyi öğrenmeye başladığınızda da bu önemli bir beceridir.
Bununla birlikte uyarmış olalım, yüzeyleri parametrize etmek kolay değildir. İzleyen örnekte, bir çöreğin yüzeyini belirten bir simiti parametrize edeceğiz. Yüzeyleri düşünürsek, simit nispeten basit bir örnektir; ama yine de önemli çaba gerektirir.

Örnek: Simiti parametrize etme (çörek)

Simit
Üstte resmi gösterilen yüzeyi düşünün. Bunu bir çörek şeklinde, veya sadece çöreğin üstündeki şeker olarak düşünebilirsiniz, çünkü içi bizim için önemli değil. Şimdiki hedefimiz, çıktı bu çörek şeklinde olacak şekilde iki boyutlu bir girdisi, ve üç boyutlu bir çıktısı olan bir fonksiyon bulmaktır.
Kağıt ve kalem kullanarak bir eğriyi çizmekle benzer şekilde, yüzeyi "çizmeyi" hayal ediyoruz, her ne kadar yüzey çizmek o kadar basit olmasa da. Bunun yerine, stratejimiz simitin her çembersel dilimini çizmek olacaktır. Ne dediğimi anlamanız için, burada çembersel dilimlerin bir örneklemi bulunuyor (maviyle çizilmiştir):
Simitin boş kısmında bulunan çember
Ayrıca resimde x, y düzleminde bu kesitlerin her birinin merkezinden geçen daha büyük kırmızı bir çember çizdim. Bu, simitin bir parçası değildir, ama sonuçtaki her mavi kesiti çizme hedefi için faydalı bir referans noktası olacaktır.
Gerçek bir problemde, her mavi dairesel kesitin yarıçapı gibi kırmızı çemberin yarıçapı size verilebilir. Şimdilik, kırmızı çemberin yarıçapını 3, ve her mavi kesitin yarıçapını 1 olarak seçelim, farklı değerler seçmenin farklı simitler vereceğini unutmayalım.
Temel fikir: Simitin üstündeki her noktayı iki vektörün toplamı olarak tanımlayacağız:
  1. Başlangıç noktasından kırmızı çember üstündeki bir noktaya bir start bold text, c, end bold text, with, vector, on top vektörü. Kırmızı çemberin üstündeki hangi nokta olduğunu belirtmek için, bunu t parametresine göre bir vektör-değerli fonksiyon yaparız. t'nin değeri değiştikçe, kırmızı çemberin üstündeki start bold text, c, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis'nin tanımladığı nokta değişir.
  2. Kırmıczı çemberdeki bu noktadan simitin eşleşen "diliminde"ki noktayla eşleşen vektör, start bold text, d, end bold text, with, vector, on top. Bu vektörün gösterdiği yön, kırmızı çemberde bağlı olduğu noktaya bağlıdır, onun için start bold text, d, end bold text, with, vector, on top değeri, kırmızı çemberin noktalarını tanımlamak için kullanılan t parametresine bağlı olmalıdır. Ayrıca, start bold text, d, end bold text, with, vector, on top'nin mavi simit kesitinin hangi kısmını işaret ettiğini belirlemek için ikinci bir u bir parametresi kullanacağız.
    Kırmızı çemberden simitin üstündeki bir noktaya left parenthesis, with, \overrightarrow, on top, start bold text, d, end bold text, right parenthesis, left parenthesis, u, comma, t, right parenthesis vektörü.
Bu, simidin her noktasının bir toplam olarak tanımlanacağı anlamını taşır.
start bold text, c, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, plus, start bold text, d, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, u, comma, t, right parenthesis
(Eğer vektör toplamada ''kuyruktan uca'' yöntemini bilmiyorsanız bu videoyu) izleyin.

Neden bu stratejiyi uyguluyoruz?

Buradaki fikir şudur, simit üstündeki noktaları tanımlamayı bilmezken, çemberleri tanımlamayı biliriz.
Büyük kırmız çember x, y-düzleminde düz durduğundan, ve yarıçapı 3 olduğundan, şöyle parametrize edebiliriz:
c(t)=3[cos(t)sin(t)0]=3cos(t)i^+3sin(t)j^+0k^\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{c}}(t) = 3 \left[ \begin{array}{c} \cos(t) \\ \sin(t) \\ 0 \end{array} \right] = 3 \cos(t) \hat{\textbf{i}} + 3 \sin(t) \hat{\textbf{j}} + 0 \hat{\textbf{k}} \end{aligned}
Şimdi, start bold text, d, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, u, comma, t, right parenthesis vektör değerli fonksiyonu da bir çember tanımlamalıdır, ama bu biraz daha daha zordur. Simitin istediğimiz mavi (çembersel) kesiti, start bold text, d, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, u, comma, t, right parenthesis, belirli bir açıdadır. Üç boyutlu uzayda bir açıda duran bir çemberi nasıl çizersiniz?
Bildiklerimizle başlayalım. İki boyutta, merkezi başlangıç noktasında olan bir birim çemberin aşağıdaki parametrik fonksiyonla tanımlanabileceğini biliyoruz:
İstediğimiz mavi çembersel dilim için benzer bir şey yaparız, ama start bold text, i, end bold text, with, hat, on top ve start bold text, j, end bold text, with, hat, on top yerine başka birim vektörler kullanırız. Şu resme bir bakın:
Mavi dairesel simit dilimini tanımlamaya yardımcı olan birim vektörler.
"Yanlamasına" yönün start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, x-yönünde birim vektör, olması yerine, bunu başlangıç noktasından uzağa doğru, adına start bold text, v, end bold text, with, hat, on top diyeceğimiz bir birim vektör olarak düşünürüz. Aslında, yön başladığımız yere bağlı olduğu için, start bold text, v, end bold text, with, hat, on top t parametresine bağlı bir vektör değerli fonksiyondur, onun için start bold text, v, end bold text, with, hat, on top, left parenthesis, t, right parenthesis olarak yazarız.
Benzer şekilde, "yukarı" yön artık start bold text, j, end bold text, with, hat, on top değil, z-yönündeki birim vektör olan start bold text, k, end bold text, with, hat, on top'dir. Böylece, çembersel dilimin parametrizasyonu şöyle bir şeye benzemelidir:
d(u,t)=cos(u)v^(t)+sin(u)k^\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{d}}(u, t) = \cos(u) \hat{\textbf{v}}(t) + \sin(u) \hat{\textbf{k}} \end{aligned}
Bu, doğaldır ki bizi bir soruyla baş başa bırakır: start bold text, v, end bold text, with, hat, on top, left parenthesis, t, right parenthesis'nin formülü nedir?
Resme baktığımızda, başlangıç noktasından uzağa yön start bold text, c, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis olarak da tanımlanır, onun için start bold text, v, end bold text, with, hat, on top, left parenthesis, t, right parenthesis formülü start bold text, c, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis için olanla aynı olmalıdır, ama birim vektöre ölçeklenmelidir.
c(t)=3[cos(t)sin(t)0]Bir birim vekto¨r deg˘ilv^(t)=[cos(t)sin(t)0]Birim vekto¨r\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{c}}(t) = 3&\left[\begin{array}{c} \cos(t) \\ \sin(t) \\ 0 \end{array} \right] \quad \leftarrow \small{\gray{\text{Bir birim vektör değil}}} \\ \Downarrow& \\ \hat{\textbf{v}}(t) = &\left[\begin{array}{c} \cos(t) \\ \sin(t) \\ 0 \end{array} \right] \quad \leftarrow \small{\gray{\text{Birim vektör}}} \end{aligned}
Bunun anlamı, start bold text, d, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, u, comma, t, right parenthesis için tam ifademiz,
d(u,t)=cos(u)v^(t)+sin(u)k^=cos(u)[cos(t)sin(t)0]+sin(u)[001]=[cos(u)cos(t)cos(u)sin(t)sin(u)]\begin{aligned} \quad \vec{\textbf{d}}(u, t) &= \cos(u) \hat{\textbf{v}}(t) + \sin(u) \hat{\textbf{k}} \\ &= \cos(u) \left[\begin{array}{c} \cos(t) \\ \sin(t) \\ 0 \end{array} \right]+ \sin(u) \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] = \left[\begin{array}{c} \cos(u)\cos(t) \\ \cos(u)\sin(t) \\ \sin(u) \end{array} \right] \end{aligned}

Özetlersek

Hatırlayın, start bold text, d, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, u, comma, t, right parenthesis ve start bold text, c, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis'nü tanımlamamızın sebebi, simitteki her noktayı start bold text, c, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, t, right parenthesis, plus, start bold text, d, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, u, comma, t, right parenthesis şeklinde tanımlamaktı. Bunları bir araya koyduğumuzda, aşağıdaki vektör değerli iki parametreli fonksiyonu elde ederiz:
f(u,t)=c(t)+d(u,t)=3[cos(t)sin(t)0]+[cos(u)cos(t)cos(u)sin(t)sin(u)]=[3cos(t)+cos(u)cos(t)3sin(t)+cos(u)sin(t)sin(u)]\begin{aligned} \quad \vec{f}(u, t) &= \vec{\textbf{c}}(t) + \vec{\textbf{d}}(u, t) \\ &= 3\left[\begin{array}{c} \cos(t) \\ \sin(t) \\ 0 \end{array} \right] + \left[\begin{array}{c} \cos(u)\cos(t) \\ \cos(u)\sin(t) \\ \sin(u) \end{array} \right] \\ &= \blueE{\left[ \begin{array}{c} 3\cos(t) + \cos(u)\cos(t) \\ 3\sin(t)+\cos(u)\sin(t) \\ \sin(u) \end{array} \right]} \end{aligned}
u 0'dan 2, pi'ye değerler aldığında, bu fonksiyonunun çıktısı f, with, vector, on top, left parenthesis, u, comma, t, right parenthesis mavi kesitlerden birini çizecektir ve t 0'dan 2, pi'ye değiştikçe, kesitler tüm simiti çizecektir.
0, is less than or equal to, u, is less than or equal to, 2, pi ve 0, is less than or equal to, t, is less than or equal to, 2, pi olduğu parametre uzayından noktalar alıp, f, with, vector, on top, left parenthesis, u, comma, t, right parenthesis fonksiyonumuzun çıktısına gitmelerini izlediğimizde bu şöyle bir şeye benzeyebilir:
Khan Akademi video wrapper

Özet

  • İki boyutlu bir girdisi ve üç boyutlu çıktısı olan bir fonksiyonu, girdi uzayının bir bölümüyle eşleşen tüm çıktı noktalarını çizerek görselleştirebilirsiniz. Bu, parametrik yüzey olarak adlandırılan bir yüzey elde etmenizi sağlar.
  • Diğer yoldan gitme süreci yani uzaydaki bir yüzeyle başlayarak bu yüzeyi ''çizen'' fonksiyonu bulmaya çalışmak, yüzeyi parametrelendirmek olarak bilinir. Genelde, bu yapması dikkat isteyen bir iştir.