Ana içerik

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 1

Ders 5: Çok Değişkenli Fonksiyon Grafikleri

Parametrik fonksiyonlar, iki parametre

Google Classroom

Uzaydaki yüzeyleri temsil etmek için, iki boyutlu girdisi ve üç boyutlu çıktısı olan fonksiyonları kullanabilirsiniz.

Arka plan

Neye ulaşıyoruz

İki boyutlu bir girdisi ve üç boyutlu çıktısı olan bir fonksiyonu, girdi uzayının bir bölümüyle eşleşen tüm çıktı noktalarını çizerek görselleştirebilirsiniz. Bu, parametrik yüzey olarak adlandırılan bir yüzey elde etmenizi sağlar.
Diğer yoldan gitme süreci yani uzaydaki bir yüzeyle başlayarak bu yüzeyi ''çizen'' fonksiyonu bulmaya çalışmak, yüzeyi parametrelendirmek olarak bilinir. Genelde, bu yapması dikkat isteyen bir iştir.

Tek parametreli fonksiyonlar için hızlı bir gözden geçirme

Son makalede, bir boyutlu girdili ve iki boyutlu çıktılı fonksiyonları görselleştirmekten bahsettim, örneğin:

$f (t) = [\begin{matrix} t \cos (t) \\ \sin (t) \end{matrix}]$ ‍

Çıktı uzayının girdi uzayından daha çok boyutlu olması nedeniyle, sadece

t

girdisi bazı değerler kümesinde değişirken çıktı uzayındaki hangi noktaların fonksiyon tarafından ''vurulduğunu'' görerek fonksiyonu iyi şekilde anlayabileceğinizden bahsettim.

Bir fonksiyon bu yolla yorumlandığında, bir parametrik fonksiyon olarak tanımlanır ve girdisi

t

bir parametredir.

İki parametre

İki boyutlu girdisi ve üç boyutlu çıktısı olan fonksiyonlara da çok benzer bir şey yapabiliriz.

$f (s, t) = [\begin{matrix} t^{3} - s t \\ s - t \\ s + t \end{matrix}]$ ‍

Bu iki girdi koordinatı

s

t

parametreler olarak bilinir ve biraz sonra bu fonksiyonun üç boyutlu uzayda nasıl bir yüzey çizdiğini göreceksiniz.

[Parametrik denklemlerle ilişki]

Bunun gibi bir fonksiyonu göstermenin ilk adımı, girdi için örneğin aşağıdaki gibi bir aralık belirlemektir,

\begin{aligned} 0 < & s < 3 \\ - 2 < & t < 2 \end{aligned}

Bu bölge, girdi uzayında aşağıdaki gibi gözükür:

Sonra, bu fonksiyonun bu aralıktaki tüm olası çıktılarını düşünüyoruz.

Girdi $(s, t)$ ‍	Çıktı $(t^{3} - s t, s - t, s + t)$ ‍
$(0, 0)$ ‍	$(0, 0, 0)$ ‍
$(1, 0)$ ‍	$(1, 1, 1)$ ‍
$(2, 1)$ ‍	$(6, 1, 3)$ ‍
$⋮$ ‍	$⋮$ ‍

Tamam, tüm olası çıktıların hepsini teker teker yazmayız, çünkü bu sonsuz sayıda şey gerektirir. Prensip olarak, hedefimiz bu değerlerin hepsini temsil etmektir. Fonksiyon üç boyutlu bir çıktı verdiğinden, bu çıktıyı üç boyutlu uzayda görselleştiririz.

Aşağıdaki animasyon, parametre uzayında

(s, t)

noktaları üç boyutlu uzayda

f (s, t)

çıktısına giderken neye benzediğini gösterir:

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Üç boyutlu uzayda elde edilen yüzey, bir parametrik yüzey olarak adlandırılır.

Uyarı: Böyle yüzeyler iki boyutlu girdisi ve bir boyutlu çıktısı olan fonksiyonların grafikleriyle karıştırılabilir, çünkü bunlar da üç boyutlu uzaydak, yüzeyler olarak çizilir. Ancak, bu parametrik fonksiyonlar çok farklıdır. İki boyutlu bir girdisi ve üç boyutlu bir çıktısı bulunur. Dikkat ederseniz, bunun anlamı, bunların grafiğini çizmek için beş boyut gerekecek olmasıdır!

Bir yüzeyi parametrik olarak ifade etme

Parametrik fonksiyonları anlamaya başlamanın en iyi yollarından biri, tanımlamak istediğiniz bir yüzeyle başlamak ve sonra bunu parametrik bir yüzey olarak çizecek bir fonksiyon bulmaya çalışmaktır. Çok değişkenli analizde ileride adına yüzey integrali denilen bir şeyi öğrenmeye başladığınızda da bu önemli bir beceridir.

Bununla birlikte uyarmış olalım, yüzeyleri parametrize etmek kolay değildir. İzleyen örnekte, bir çöreğin yüzeyini belirten bir simiti parametrize edeceğiz. Yüzeyleri düşünürsek, simit nispeten basit bir örnektir; ama yine de önemli çaba gerektirir.

Örnek: Simiti parametrize etme (çörek)

Üstte resmi gösterilen yüzeyi düşünün. Bunu bir çörek şeklinde, veya sadece çöreğin üstündeki şeker olarak düşünebilirsiniz, çünkü içi bizim için önemli değil. Şimdiki hedefimiz, çıktı bu çörek şeklinde olacak şekilde iki boyutlu bir girdisi, ve üç boyutlu bir çıktısı olan bir fonksiyon bulmaktır.

Kağıt ve kalem kullanarak bir eğriyi çizmekle benzer şekilde, yüzeyi "çizmeyi" hayal ediyoruz, her ne kadar yüzey çizmek o kadar basit olmasa da.

[Boromir'e sorun]

Bunun yerine, stratejimiz simitin her çembersel dilimini çizmek olacaktır. Ne dediğimi anlamanız için, burada çembersel dilimlerin bir örneklemi bulunuyor (maviyle çizilmiştir):

Ayrıca resimde

x y

düzleminde bu kesitlerin her birinin merkezinden geçen daha büyük kırmızı bir çember çizdim. Bu, simitin bir parçası değildir, ama sonuçtaki her mavi kesiti çizme hedefi için faydalı bir referans noktası olacaktır.

Gerçek bir problemde, her mavi dairesel kesitin yarıçapı gibi kırmızı çemberin yarıçapı size verilebilir. Şimdilik, kırmızı çemberin yarıçapını

3

, ve her mavi kesitin yarıçapını

1

olarak seçelim, farklı değerler seçmenin farklı simitler vereceğini unutmayalım.

Temel fikir: Simitin üstündeki her noktayı iki vektörün toplamı olarak tanımlayacağız:

Başlangıç noktasından kırmızı çember üstündeki bir noktaya bir $\vec{c}$ ‍ vektörü. Kırmızı çemberin üstündeki hangi nokta olduğunu belirtmek için, bunu $t$ ‍ parametresine göre bir vektör-değerli fonksiyon yaparız. $t$ ‍'nin değeri değiştikçe, kırmızı çemberin üstündeki $\vec{c} (t)$ ‍'nin tanımladığı nokta değişir.
Kırmıczı çemberdeki bu noktadan simitin eşleşen "diliminde"ki noktayla eşleşen vektör, $\vec{d}$ ‍. Bu vektörün gösterdiği yön, kırmızı çemberde bağlı olduğu noktaya bağlıdır, onun için $\vec{d}$ ‍ değeri, kırmızı çemberin noktalarını tanımlamak için kullanılan $t$ ‍ parametresine bağlı olmalıdır. Ayrıca, $\vec{d}$ ‍'nin mavi simit kesitinin hangi kısmını işaret ettiğini belirlemek için ikinci bir $u$ ‍ bir parametresi kullanacağız.
Kırmızı çemberden simitin üstündeki bir noktaya $\vec{(} d) (u, t)$ ‍ vektörü.

Bu, simidin her noktasının bir toplam olarak tanımlanacağı anlamını taşır.

$\vec{c} (t) + \vec{d} (u, t)$ ‍

(Eğer vektör toplamada ''kuyruktan uca'' yöntemini bilmiyorsanız bu videoyu) izleyin.

Neden bu stratejiyi uyguluyoruz?

Buradaki fikir şudur, simit üstündeki noktaları tanımlamayı bilmezken, çemberleri tanımlamayı biliriz.

Büyük kırmız çember

x y

-düzleminde düz durduğundan, ve yarıçapı

3

olduğundan, şöyle parametrize edebiliriz:

\begin{array}{r} \vec{c} (t) = 3 [\begin{array}{c} \cos (t) \\ \sin (t) \\ 0 \end{array}] = 3 \cos (t) \hat{i} + 3 \sin (t) \hat{j} + 0 \hat{k} \end{array}

[Bu i, j ve k notasyonu nedir?]

Şimdi,

\vec{d} (u, t)

vektör değerli fonksiyonu da bir çember tanımlamalıdır, ama bu biraz daha daha zordur. Simitin istediğimiz mavi (çembersel) kesiti,

\vec{d} (u, t)

, belirli bir açıdadır. Üç boyutlu uzayda bir açıda duran bir çemberi nasıl çizersiniz?

Bildiklerimizle başlayalım. İki boyutta, merkezi başlangıç noktasında olan bir birim çemberin aşağıdaki parametrik fonksiyonla tanımlanabileceğini biliyoruz:

\begin{array}{r} g (u) = [\begin{matrix} \cos (u) \\ \sin (u) \end{matrix}] = \cos (u) \hat{i} + \sin (u) \hat{j} \end{array}

İstediğimiz mavi çembersel dilim için benzer bir şey yaparız, ama

\hat{i}

\hat{j}

yerine başka birim vektörler kullanırız. Şu resme bir bakın:

"Yanlamasına" yönün

\hat{i}

x

-yönünde birim vektör, olması yerine, bunu başlangıç noktasından uzağa doğru, adına

\hat{v}

diyeceğimiz bir birim vektör olarak düşünürüz. Aslında, yön başladığımız yere bağlı olduğu için,

\hat{v}

t

parametresine bağlı bir vektör değerli fonksiyondur, onun için

\hat{v} (t)

olarak yazarız.

Benzer şekilde, "yukarı" yön artık

\hat{j}

değil,

z

-yönündeki birim vektör olan

\hat{k}

'dir. Böylece, çembersel dilimin parametrizasyonu şöyle bir şeye benzemelidir:

\begin{array}{r} \vec{d} (u, t) = \cos (u) \hat{v} (t) + \sin (u) \hat{k} \end{array}

Bu, doğaldır ki bizi bir soruyla baş başa bırakır:

\hat{v} (t)

'nin formülü nedir?

Resme baktığımızda, başlangıç noktasından uzağa yön

\vec{c} (t)

olarak da tanımlanır, onun için

\hat{v} (t)

formülü

\vec{c} (t)

için olanla aynı olmalıdır, ama birim vektöre ölçeklenmelidir.

\begin{aligned} \vec{c} (t) = 3 & [\begin{array}{c} \cos (t) \\ \sin (t) \\ 0 \end{array}] \leftarrow Bir birim vektör değil \\ ⇓ \\ \hat{v} (t) = & [\begin{array}{c} \cos (t) \\ \sin (t) \\ 0 \end{array}] \leftarrow Birim vektör \end{aligned}

Bunun anlamı,

\vec{d} (u, t)

için tam ifademiz,

\begin{aligned} \vec{d} (u, t) & = \cos (u) \hat{v} (t) + \sin (u) \hat{k} \\ = \cos (u) [\begin{array}{c} \cos (t) \\ \sin (t) \\ 0 \end{array}] + \sin (u) [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}] = [\begin{array}{c} \cos (u) \cos (t) \\ \cos (u) \sin (t) \\ \sin (u) \end{array}] \end{aligned}

Özetlersek

Hatırlayın,

\vec{d} (u, t)

\vec{c} (t)

'nü tanımlamamızın sebebi, simitteki her noktayı

\vec{c} (t) + \vec{d} (u, t)

şeklinde tanımlamaktı. Bunları bir araya koyduğumuzda, aşağıdaki vektör değerli iki parametreli fonksiyonu elde ederiz:

\begin{aligned} \vec{f} (u, t) & = \vec{c} (t) + \vec{d} (u, t) \\ = 3 [\begin{array}{c} \cos (t) \\ \sin (t) \\ 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} \cos (u) \cos (t) \\ \cos (u) \sin (t) \\ \sin (u) \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} 3 \cos (t) + \cos (u) \cos (t) \\ 3 \sin (t) + \cos (u) \sin (t) \\ \sin (u) \end{array}] \end{aligned}

u

0

'dan

2 π

'ye değerler aldığında, bu fonksiyonunun çıktısı

\vec{f} (u, t)

mavi kesitlerden birini çizecektir ve

t

0

'dan

2 π

'ye değiştikçe, kesitler tüm simiti çizecektir.

0 \leq u \leq 2 π

0 \leq t \leq 2 π

olduğu parametre uzayından noktalar alıp,

\vec{f} (u, t)

fonksiyonumuzun çıktısına gitmelerini izlediğimizde bu şöyle bir şeye benzeyebilir:

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Özet

İki boyutlu bir girdisi ve üç boyutlu çıktısı olan bir fonksiyonu, girdi uzayının bir bölümüyle eşleşen tüm çıktı noktalarını çizerek görselleştirebilirsiniz. Bu, parametrik yüzey olarak adlandırılan bir yüzey elde etmenizi sağlar.
Diğer yoldan gitme süreci yani uzaydaki bir yüzeyle başlayarak bu yüzeyi ''çizen'' fonksiyonu bulmaya çalışmak, yüzeyi parametrelendirmek olarak bilinir. Genelde, bu yapması dikkat isteyen bir iştir.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.