Ana içerik

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 1

Ders 5: Çok Değişkenli Fonksiyon Grafikleri

Dönüşümler

Google Classroom

Burada, hareket ve animasyon sırasında çok değişkenli fonksiyonları nasıl düşüneceğimizi görüyoruz.

Arka plan

Çok değişkenli fonksiyonlar

Dönüşüm fikri

Çok değişkenli fonksiyonları görselleştirme yöntemlerimizin hepsinde, hedef, fonksiyonun girdisiyle çıktısı arasındaki ilişkiyi bir şekilde görmektir.

Grafiklerle, bu, koordinatları hem girdi, hem de çıktı bilgisini içeren noktaları çizmek anlamına gelir.
Eş yükselti eğrileri ile bunun anlamı, belirli çıktı değerlerine hangi girdi değerlerinin gideceğini işaretlemektir.
Parametrik fonksiyonlar ile, girdinin çıktı uzayında geldiği yeri işaretlersiniz.
Vektör alanlarıyla çıktıyı ucu girdide duran bir vektör olarak çizeriz.

Bir dönüşümün arkasındaki düşünce, her girdi noktasının ona karşılık gelen çıktı noktasına hareket etmesini izlemektir (veya hayal etmektir).

Daha önce böyle düşünmediyseniz, fonksiyonları dönüşüm olarak düşünmek biraz beyninizi döndürebilir, onun için ilk başta kafanız karışırsa, önemli değildir.

Bunun neye benzediğiyle ilgili iştahınızı açmak için parametrik yüzey makalesinden belirli bir fonksiyonun bir kareyi nasıl simite (çörek şekli) dönüştürdüğünü gösteren bir videoyu burada bulabilirsiniz:

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Kesinlik yerine kavram

Fonksiyonları dönüşümler olarak düşünmek birkaç nedenden dolayı çok güçlü olabilir:

Boyut bizi bu kadar kısıtlamaz. Hem girdi, hem de çıktıda bir, iki veya üç boyut olabilir ve fonksiyonun neler yaptığını somut bir şekilde düşünmenin bir yolu olacaktır.
Boyutlar bakmak için çok büyük olsa bile, dönüşüm cinsinden düşünmek prensipte neler olduğu hakkında belli belirsiz de olsa bir fikir verir. Örneğin, $100$ ‍ boyutlu uzaydan $20$ ‍ boyutlu uzaya bir fonksiyonun -belki de üç boyutlu uzayı doğruya indirgeme benzetmesi gibi- $80$ ‍ boyutu ''düzleştirdiğini'' bilebiliriz.
Bu fikir değişik türde girdi ve çıktıları olan fonksiyonlara daha kolay genellenir, karmaşık sayıların fonksiyonları veya kürenin noktalarını $x y$ ‍ düzlemiyle eşleştiren fonksiyonlar gibi.
Fonksiyonları bu şekilde anlamak, çok değişkenli analizle lineer cebir arasındaki bağlantıları görmeyi kolaylaştıracaktır.

Ancak, bunların hepsinden sonra, dönüşümlerin fonksiyonların kesin tanımı olarak değil, yaptıklarını anlamakta en güçlü olduğu vurgulanmalıdır. Belirli bir fonksiyonun özelliklerini öğrenmek için dönüşüm olarak neye benzediğini gözlemlemek nadir olurdu.

Örnek 1: Doğrudan doğruya

Basit bir tek değişkenli fonksiyon ile başlayalım.

$f (x) = x^{2} - 3$ ‍

Tüm girdi çıktı çiftlerini düşünün.

$x$ ‍ (girdi)	$x^{2} - 3$ ‍ (çıktı)
$- 2$ ‍	$1$ ‍
$- 1$ ‍	$- 2$ ‍
$0$ ‍	$- 3$ ‍
$1$ ‍	$- 2$ ‍
$2$ ‍	$1$ ‍
$⋮$ ‍	$⋮$ ‍

Sayı doğrusundaki tüm girdilerin karşılıklı çıktısına kayması neye benzer? Girdi uzayını bir sayı doğrusu, ve çıktı uzayını başka bir sayı doğrusu olarak düşünürsek, şöyle bir hareket elde edebiliriz:

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Alternatif olarak, bu durumda girdi ve çıktı uzayları aynı şey olduğundan, doğruyu kendine dönüşüyormuş, her

x

noktasını

x^{2} - 3

noktasının başladığı yere sürüklüyormuş gibi düşünebiliriz, şöyle ki:

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Örnek 2: Doğrudan düzleme

Şimdi bir boyutlu girdiye ve iki boyutlu çıktıya sahip bir fonksiyonu ele alalım, örneğin

\begin{array}{r} f (x) = (\cos (x), \frac{x}{2} \sin (x)) \end{array}

Gene, tüm girdi-çıktı çiftlerini dikkate alıyoruz.

Girdiler $x$ ‍	Çıktılar $(\cos (x), \frac{x}{2} \sin (x))$ ‍
$0$ ‍	$(1, 0)$ ‍
$\frac{π}{2}$ ‍	$(0, \frac{π}{4})$ ‍
$π$ ‍	$(- 1, 0)$ ‍
$⋮$ ‍	$⋮$ ‍

Sayı doğrusundaki tüm olası girdilerin onlara karşılık gelen çıktılara kaydığını hayal edin. Bu defa, çıktıların iki koordinatı olduğundan,

x y

-düzleminde yaşarlar.

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Dikkat ederseniz,

x y

düzleminin içindeki çarpık ve döndürülmüş sayı doğrusu,

f

'yi parametrik bir fonksiyon olarak yorumlasaydık çizeceğimiz şeydi; ama bu sefer hangi girdi noktalarının sonuç eğrisine geldiğini gerçekten görebiliriz.

Bunu yeniden izlemek için bir saniye ayırın ve belirli bazı girdilerin çıktılarına gitmesini izleyin.

\begin{aligned} 0 & \to f (0) = (\cos (0), 0 \sin (0)) = (1, 0) \\ \frac{π}{2} & \to f (\frac{π}{2}) = (\cos (\frac{π}{2}), \frac{π}{4} \sin (\frac{π}{2})) = (0, π / 4) \\ π & \to f (π) = (\cos (π), \frac{π}{2} \sin (π)) = (- 1, 0) \end{aligned}

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Örnek 3: Basit düzlem düzlem dönüşümü

Düzlemin

90^{\circ}

'lik bir döndürmesini düşünün (dönüşümü izlemenize yardımcı olması için oklar çizilmiştir):

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Bu, iki boyutlu girdiye ve iki boyutlu çıktıya sahip belirli bir fonksiyonu görselleştirmenin bir yolu olarak kabul edilebilir. Neden?

Bu dönüşüm iki boyuttaki noktaları, iki boyuttaki başka noktalara taşır. Örneğin,

(1, 0)

noktasında başlayan ve

(0, 1)

noktasında biten nokta.

(1, 2)

'de başlayan ve

(- 2, 1)

'de biten nokta, vb. Bu dönüşümü tanımlayan fonksiyon

$f (x, y) = (- y, x)$ ‍

(3, 4)

gibi herhangi bir nokta için, bu

f

fonksiyonu düzlemi saat yönünün tersine

90^{\circ}

döndürdüğünüzde, noktanın nereyee geldiğini (bu durumda,

(- 4, 3)

) belirtir.

Örnek 4: Daha karmaşık düzlem düzlem dönüşümü

Şimdi, iki boyutlu girdiye ve bir boyutlu çıktıya sahip daha karmaşık bir fonksiyona bakalım:

$f (x, y) = (x^{2} + y^{2}, x^{2} - y^{2})$ ‍.

Her girdi,

(1, 2)

gibi düzlemde bir noktadır ve düzlemde

(1^{2} + 2^{2}, 1^{2} - 2^{2}) = (5, - 3)

gibi başka bir noktaya hareket eder. Düzlemdeki her noktanın ona karşılık gelen çıktı noktasına kaydığını izlediğimizde, düzlemin bir kopyası şekil değiştiriyormuş gibi görünür:

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Dikkat ederseniz, noktaların tamamı düzlemin sağ tarafına gelir. Bunun nedeni, çıktının birinci koordinatının

x^{2} + y^{2}

olmasıdır, bu da hep pozitiftir.

Zor soru: Yukarıdaki dönüşümde,

f (x, y) = (x^{2} + y^{2}, x^{2} - y^{2})

fonksiyonunu temsil ederken, tüm noktaların

x = y

ile

x = - y

doğruları arasındaki

V

şeklindeki bölgenin kenarlarına geldiğine dikkat edin. Aşağıdaki sayısal gerçeklerden hangisi bu durumu açıklar?

1 cevap seçin:
(A şıkkı)
$x^{2} + y^{2} = x^{2} - y^{2}$ ‍ ve $x^{2} + y^{2} = - (x^{2} - y^{2})$ ‍
(B şıkkı)
$| x^{2} + y^{2} | \geq 0$ ‍
(C şıkkı)
$x^{2} + y^{2} \geq 0$ ‍ ve $| x^{2} - y^{2} | \leq | x^{2} + y^{2} |$ ‍

[Cevap]

Örnek 5: Düzlemden doğruya

Daha sonra, iki boyutlu girdiye ve bir boyutlu çıktıya sahip bir fonksiyonu düşünün.

$f (x, y) = x^{2} + y^{2}$ ‍,

Aşağıdaki dönüşüm,

x y

düzlemini sayı doğrusuna sıkıştıracaktır.

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Böyle sıkıştırmalar olan bitenin hepsini izlemeyi zorlaştırabilir, onun için kesin ve açık bir tanım açısından grafik veya bir eş yükselti eğrisi kullanmak daha çok işinize yarar. Yine de, iki boyuttan bir boyuta bir fonksiyonunun yaptığı şeyin, düzlemi doğruya belirli bir şekilde sıkıştırmak olduğunu unutmamak önemlidir.

Örneğin, bu eş yükselti eğrilerindeki düzey kümelerini yorumlamak için yeni bir yol verir: bunlar doğru üzerinde ortak bir noktaya sıkışan düzlemdeki tüm noktalardır.

Örnek 6: Düzlemden uzaya

İki boyutlu girdisi ve üç boyutlu çıktısı olan fonksiyonlar düzlemi üç boyutlu uzayla eşleştirir. Örneğin, böyle bir dönüşüm şöyle görünebilir (kırmızı ve mavi çizgiler sadece

x

y

yönlerinde neler olduğunu izlemenize yardımcı olmak için bulunur):

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Bir boyuttan iki boyuta örneğine benzer olarak, son görüntümüz fonksiyonu parametrik fonksiyon olarak yorumladığımızda elde edeceğimiz yüzeyi yansıtır.

Örnek 7: Uzaydan uzaya

Üç boyuttan üç boyuta fonksiyonlar, üç boyutlu uzayın tümünün kendisiyle eşleşmesi olarak görülebilir. Bu kadar fazla değişkenle, dönüşümün kendisine bakmak bile, korkunç, güzel ve kafa karıştırıcının bir birleşimi olabilir. Örneğin, bu fonksiyonu düşünün:

$f (x, y, z) = (y z, x z, x y)$ ‍

Bu, bir dönüşüm olarak aşağıdaki gibi gözükür.

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Güzel görünebilir, ama izlemek için çok ciddi spagettisel bir karışımdır.

Son düşünceler

Dönüşümler fonksiyonları öğrendikten sonra, özelliklerini yorumlamak için harika yollar sağlayabilir. Örneğin, sabit fonksiyonlar girdi uzayını bir noktaya sıkıştırırlar, ve süreksiz fonksiyonlar hareket sırasında girdi uzayını parçalar.

Bu fiziksel yorumlar, çok değişkenli analizin konularına girdikçe özellikle yardımcı olabilir, burada kavramları ve işlemleri, neler olduğunun anlayışı olmadan sembolik olarak öğrenme riski bulunmaktadır.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.