If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 1

Ders 5: Çok Değişkenli Fonksiyon Grafikleri
Matematik
Çok Değişkenli Kalkülüs
Çok Değişkenli Fonksiyonlar
Çok Değişkenli Fonksiyon Grafikleri
© 2023 Khan AcademyKullanım ŞartlarıGizlilik PolitikasıÇerez Politikası

Vektör alanları

Google Classroom
Vektör alanları (başka şeylerin yanında) sıvı akışını temsil eder.  Ayrıca, girdi uzayı ve çıktı uzayının boyutu aynı olan fonksiyonları görselleştirmek için bir yol sunarlar.

Arka plan

Vektör gösterimi:
  • start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, x yönündeki birim vektördür
  • start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, y yönündeki birim vektördür
  • start bold text, k, end bold text, with, hat, on top, z yönündeki birim vektördür

Neye ulaşıyoruz

  • Bir vektör alanı uzaydaki her noktayla bir vektörü ilişkilendirir.
  • Vektör alanı ve sıvı akışı birliktedir.
  • Vektör alanını girdi ve çıktı uzayları aynı boyutta olan çok değişkenli bir fonksiyonu temsil ediyor gibi düşünebilirsiniz.
  • Bir vektör alanında çizilen okların uzunluğu genelde ölçeklenmez, ama bir vektörün uzunluğunun diğerine oranı doğru olmalıdır. Bazen vektör uzunluğu renk kullanarak iletilir.

Isınma: Hız vektörleri kullanarak hareketi çizme

Hareketli bir nesneyi nasıl çizersiniz? Matematik ve fizikte yaygın bir yol, çizime nesnenin hareketini tanımlayan hız vektörünü eklemektir.
  • Vektörün uzunluğu (büyüklüğü) sürati gösterir.
  • Vektörün yönü nesnenin hareket ettiği yönü gösterir.
Diyelim ki, bir tilkiniz ve bir balinanız var, ikisi de sola gidiyor. Tilkinin saniyede 10 metre hareket ettiğini (veya çizdiğim şekliyle sürüklendiğini), ve balinanın saniyede 5 metre hareket ettiğini söyleyelim. Hareketlerini şöyle gösterebilirsiniz:
Bu örnekte dikkat edilecek iki önemli kural vardır:
  1. Bir vektörün tanımı sadece büyüklüğünü ve yönünü belirtir (örneğin, sola saniyede 10 metre), ama vektörü nereye çizeceğimizi değil. Vektörün ucunu hareketini temsil ettiği nesneye bağlamak sadece bir kuraldır.
  2. Çizimimizdeki vektörlerin uzunlukları farketmez, tilkiye bağlı vektör balinaya bağlı vektörün iki katı olduğu sürece. Görüntüye bakan kişiye, "tilkiden çıkan oku çizdiğim uzunluk, saniyede 10 metre olarak görünmelidir" diyebilirsiniz.

Motivasyon örneği: İki boyutta akan sıvılar

Bunu biraz zorlaştıralım. Ya bir veya iki nesnenin hareketini göstermek yerine, belirli bir şekilde akan bir sıvınız olsaydı. Örneğin, aşağıdaki animasyon böyle bir sıvı akışını sadece (mavi noktalarla çizilmiş) birkaç sıvı parçacığının hareketiyle gösterir:
Khan Akademi video wrapper
Video metni
Bu tip hareketi belirtmek için,sadece büyüklük ve yönden çok daha fazla bilgiyi iletmeliyiz. Sıvıdaki her parçacığın süratini belirtmeliyiz.
Aslında, iş bu hareketi çizmeye geldiğinde, sadece parçacıkların bir örneklemini temsil etmemiz yeterli olur. Örneğin, animasyonda gösterilen parçacıkların her birisinin üstüne bir sürat vektörü çizerseniz ve her şeyin nerede olduğunu izlemek için bazı koordinat eksenleri eklerseniz, bunun gibi gözüken bir şema elde edebilirsiniz:
Gözlerinizin görüntüdeki okları izlemesine izin verirseniz, birinden diğerine giderek, temsil ettiği sıvının nasıl aktığını daha iyi hissedebilirsiniz, statik bir görüntü olsa da. Birbirine yakın parçacıklar aynı hız ve yönde hareket etme eğilimindedir. Böylece, her bir ok sadece bağlı olduğu parçacığın hızını temsil etmekle kalmaz, etrafındaki komşuluktaki parçacıkların nasıl hareket ettiği hakkında bir fikir verir.
Bunun gibi bir şema, bir vektör alanı olarak adlandırılır.
Vektör alanları çizmekle ilgili söylememiz gereken önemli bir şey, vektörlerin neredeyse hiç ölçekli çizilmediğidir. Örneğin, eğer bir sıvı parçacığı saniyede 10 metre hareket etseydi, ona bağlı oku teknik olarak 10 birim uzunlukta yapmamız gerekirdi, ama bu tüm görüntüyü kaplayabilir! Bunlar her noktaya bağlı, tüm yönlere uzanan gerçekten uzun oklar olsaydı, şema gerçekten çok karışık olabilirdi.
Sonuç olarak, görüntüye sığması için her bir vektörü ölçeklemek yaygın bir uygulamadır. Önemli olan, herhangi bir vektörün belirli uzunluğu değil, farklı vektörlerin uzunluklarının birbiriyle karşılaştırmasıdır.
Bazı grafik yazılımlarının bunları temsil etme yollarından biri de, her bir vektörü boyamaktır. Örneğin, aşağıdaki görüntü aynı vektör alanını renkleri kullanarak gösterir: Koyu mavi okların açık mavi oklardan "daha kısa" olduğu anlaşılmalıdır, aslında teknik olarak hepsi aynı uzunlukta olsalar da.
Bir vektör alanının matematiksel olarak ne olduğunu düşünelim. İki boyutlu uzaydaki her nokta, iki boyutlu bir vektörle ilişkilendirilir. Bu süreci, girdi olarak iki boyutlu uzayda bir left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis noktasını alan ve çıktı olarak iki boyutlu bir vektör veren, (çok değişkenli) vektör değerli bir fonksiyon şeklinde düşünebiliriz.
Örneğin, üstteki sıvı akışı ve vektör alanını oluşturmak için kullandığım fonksiyon şudur
f(x,y)=[sin⁡(x)+sin⁡(y)sin⁡(x)−sin⁡(y)]=(sin⁡(x)+sin⁡(y))i^+(sin⁡(x)−sin⁡(y))j^\begin{aligned} \quad f(x, y) &= \left[ \begin{array}{c} \sin(x)+\sin(y) \\ \sin(x)-\sin(y) \end{array} \right]\\ \\ &= (\sin(x)+\sin(y))\hat{\textbf{i}} + (\sin(x)-\sin(y))\hat{\textbf{j}} \end{aligned}
Bu fonksiyonun hem girdisi hem çıktısı iki koordinata sahip olduğundan, bunun grafiğini çizmeyi denemek dört boyut gerektirecektir. Ancak, sadece 2-boyutlu bir çizimle bunu neredeyse tamamen gösterebildik! Dahası, bu görüntü temsil etmesi gereken dönen sıvı için herhangi bir grafikten çok daha iyi bir sezgi verir.
Kavram kontrolü: Az önce f için verdiğim formüle göre, x, y-düzleminde left parenthesis, pi, comma, start fraction, pi, divided by, 2, end fraction, right parenthesis noktasına bağlı bir vektörün bileşenleri nelerdir?
x bileşeni,
. (Bunu start bold text, i, end bold text, with, hat, on top bileşeni olarak da düşünebilirdiniz)

y bileşeni,
. (Bunu start bold text, j, end bold text, with, hat, on top bileşeni olarak da düşünebilirsiniz)

Buna göre, vektör
gösterir.

Örnek 1: Birim fonksiyon

Şu fonksiyonu düşünün:
f(x,y)=[xy]\begin{aligned} \quad f(x, y) = \left[ \begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right] \end{aligned}
Bu left parenthesis, 3, comma, 4, right parenthesis gibi iki boyutlu uzayda belirli bir noktayı, aynı koordinatlu bir vektörle eşleştirir. Örneğin, left parenthesis, 3, comma, 4, right parenthesis'e bağlı vektör şöyle görünür:
Bunu düzlemdeki başka birçok noktaya yaptığınızda, ve vektörleri çok karışık görünmeyecek şekilde ölçeklediğinizde, şöyle bir görüntü elde edersiniz:
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis'nin vektör alanı

Örnek 2: Yatay bileşen yok

Aşağıdaki fonksiyonu düşünün:
f(x,y)=[0ysin⁡(x)]\begin{aligned} \quad f(x, y) = \left[ \begin{array}{c} 0\\ y\sin(x) \end{array} \right] \end{aligned}
Çıktının x-bileşeni hep 0'dır, onun için vektör alanımızdaki vektörler sadece yukarı veya aşağı bakmalıdır.
Çıktının ikinci koordinatı bize her vektörün uzunluğunun ne olacağını verir. Çıktının ikinci koordinatında bir y çarpanı vardır, buna göre x ekseninden uzağa gittikçe oklar uzamalı ve ona doğru gittikçe de kısalmalıdır (neden?). Bir de sine, left parenthesis, x, right parenthesis çarpanı vardır, yani soldan sağa yürüdükçe, vektörlerin yüksekliği yukarı ve aşağı salınacaktır.
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, 0, comma, y, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis'in vektör alanı

Örnek 3: Yardım için grafik kullanma

Pratik mükemmelleştirir, onun için iki boyutlu bir vektör değerli fonksiyona daha bakalım ve temsil ettiği vektör alanının neye benzediğiyle ilgili mantık yürütelim. Bunu düşünmek önceki örneklerden biraz daha zordur.
f(x,y)=[1y2−y]\begin{aligned} \quad f(x, y) = \left[ \begin{array}{c} 1\\ y^2-y \end{array} \right] \end{aligned}
x çıktının hiçbir yerinde görünmediğinden, alanımızdaki vektörler sola ve sağa kaydıkça değişmeden kalır (neden?).
Vektörlerimizin hepsinin birinci bileşeni 1'dir, buna göre, tüm vektörlerin sağa doğru bileşeni aynı olacaktır. Vektörlerin ikinci bileşenine bakarsak, y, squared, minus, y'ye eşit olurlar, ancak bu neye benzer?
y, squared, minus, y ifadesini hissetmek için g, left parenthesis, y, right parenthesis, equals, y, squared, minus, y tek değişkenli fonksiyonunun grafiğine bakabiliriz. Bu ifade y, left parenthesis, y, minus, 1, right parenthesis şeklinde çarpanlarına ayrılır, yani kökleri 0 ve 1'dir. Birinci terimi pozitif ikinci dereceden bir ifade olduğundan, bunun yukarı açılan bir parabol olduğunu da biliyoruz, dolayısıyla bu grafiği elde ederiz:
g, left parenthesis, y, right parenthesis, equals, y, squared, minus, y grafiği
Bu fonksiyon open bracket, 0, comma, 1, close bracket aralığının dışında pozitiftir, ve içinde biraz negatiftir.
Şimdi vektör alanımızın fonksiyonuna tekrar bakın.
f(x,y)=[1y2−y]\begin{aligned} f(x, y) = \left[ \begin{array}{c} 1\\ y^2-y \end{array} \right] \end{aligned}
y 0 ile 1 arasındayken, her vektörün y bileşeni biraz negatif (yani aşağı yönlü) olacaktır. y bu aralıktan uzaklaştıkça, düzlemde yukarı veya aşağı gittikçe, vektörün y bileşeni artarak pozitif olacaktır, böylece her vektör daha yukarıyı gösterecektir. Bunu çizdiğinizde, böyle bir şey elde edersiniz:
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, 1, comma, y, squared, minus, y, right parenthesis'nin vektör alanı

Üç boyutta vektör alanları

Aynı şeyi üç boyutta da yapabilirdik, belki de hava akımlarını modelleyebilirdik. İki boyutlu duruma benzer olarak, üç boyutlu uzaydaki her noktayı üç boyutlu bir vektörle eşleştiririz ve bu vektörlerin sadece bir örneklemini çizeriz.
Aşağıdaki video böyle bir üç boyutlu vektör alanının neye benzediğini gösterir, kırmızıya yakın renkler daha uzun vektörleri ve maviye yakın vektörler daha kısa vektörleri belirtir.
Khan Akademi video wrapper
Video metni
Bu sefer, vektör alanımız 3-koordiantlı girdili ve 3-koordinatlı çıktılı bir fonksiyonu temsil eder, yani bunun grafiğini çizmek için 6 boyut gerekir! Bu örnekte kullanılan spesifik fonksiyon,
f(x,y,z)=[y+zx+zx+y]\begin{aligned} \quad f(x, y, z) = \left[ \begin{array}{c} y+z\\ x+z\\ x+y \end{array} \right] \end{aligned}
Üç-boyutlu vektör alanlarını çizmek zor olabilir, ve, belki bir grafik yazılımıyla çizdiğimizde de, vektörler birbirinin içine girer ve neler olduğunu görmek zorlaşır. Sonuç olarak, bu kafanızda bir fikir olarak tutmak için iyi, ama kesin gösterimler için pek de faydalı olmayan bir görselleştirmedir.

Özet

  • Bir vektör alanı uzaydaki her noktayla bir vektörü ilişkilendirir.
  • Vektör alanı ve sıvı akışı birliktedir.
  • Vektör alanını girdi ve çıktı uzayları aynı boyutta olan çok değişkenli bir fonksiyonu temsil ediyor gibi düşünebilirsiniz.
  • Bir vektör alanında çizilen okların uzunluğu genelde ölçeklenmez, ama bir vektörün uzunluğunun diğerine oranı doğru olmalıdır. Bazen vektör uzunluğu renk kullanarak iletilir.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap
Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.