Ana içerik

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 1

Ders 5: Çok Değişkenli Fonksiyon Grafikleri

Grafiklere dayanmayı azaltma

Grafikler tek değişkenli fonksiyonlara ilişkin düşünmek için harika bir yoldur, ancak çok değişkenli fonksiyonlar için her zaman işe yaramazlar.

Arka plan

Grafikler tek yol değildir

Eğer aşağıdaki gibi tek değişkenl bir fonksiyonunuz varsa, bu genelde bir grafik ile görselleştirilir.

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 3$ ‍

Ancak, grafiklerin fonksiyonlarla aynı şey olmadığını hatırlamak önemlidir. Bu bariz görünebilir ama grafikler tek değişkenli fonksiyonları göstermek için o kadar faydalıdır ki, konu çok değişkenli fonksiyonlar olduğunda insanlar genelde grafik fikrine biraz fazla sıkıca tutunur.

Örneğin, türevi hatırlıyor musunuz? Bir zamanlar türevin tanımını görmüş olabilirsiniz, bu tanım şöyledir:

\begin{array}{r} f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h} \leftarrow Türevin tanımı. \end{array}

Bu tanımı görmüş olabilirsiniz, ancak kendinize karşı dürüst olun: Alıştırmaları yaparken, türevlerin nasıl hesaplanacağını ve türevlerin anlamının nasıl yorumlanacağını öğrenirken, bu limit hakkında gerçekten ne sıklıkla düşündünüz?

Türevi,

f

grafiğinin eğimini temsil etmek olarak düşünmek çok daha basittir. Bunda yanlış bir şey yok! En azından, tek değişkenli analiz açısından yanlış bir şey yok.

Çok değişkenli analizde, fonksiyonları her zaman grafiklerle görselleştirmeyeceğiz. Bunun sonucunda, türev fikrini genişlettiğimizde, bunu daima eğim olarak düşünemezsiniz. Ancak bu, bunu görselleştirmeyeceğimiz anlamını taşımaz! Sadece, görselleştirme bazen farklı olabilir diyoruz.

Aynı şekilde, integralin bir eğrinin altındaki (işaretli) alan olarak anlaşılması o kadar faydalıdır ki, tek değişkenli analizdeki öğrenciler bunu genelde farklı bir şekilde düşünmezler. Siz neden öyle yapasınız ki? Bozuk olmayanı tamir etmeyin, öyle değil mi?

Çok değişkenli analizde uzmanlaşmak, fonksiyonları farklı şekilde düşünebilme esnekliğini gerektirir. Gene görsel olarak, ancak farklı. Ayrıca, türev ve integral alma gibi temel kavramları bu yeni düşünme yollarıyla bağdaştırabilmeyi gerektirir.

Örneğin, türev temel olarak size bir fonksiyonun girdisini biraz değiştirdiğinizde bu fonksiyonun çıktısının nasıl değiştiğini sormaktadır. Eğer bir fonksiyon çok boyutlu bir çıktıya sahipse, bunu ''eğim'' olarak yorumlamak anlamlı olmayacaktır. Bunun yerine, girdideki küçük bir değişikliğin çıktının her koordinatını nasıl etkilediğini görselleştirmeniz gerekebilir.

Benzer şekilde, integral alma temel olarak çok küçük olan pek çok değeri (aslında, sonsuz derecede küçük sonsuz sayıda değeri) toplamaktır, ancak bu daima alan anlamına gelmez. Örneğin fizikte, bir kuvvetin bir nesneye uyguladığı ''iş'' genelde integral kullanılarak hesaplanır, ancak bu ''işi'' bir alan olarak görmenin her zaman net bir yolu yoktur.

Beş farklı görselleştirme

Sonraki birkaç makalede, çok değişkenli fonksiyonları görselleştirmenin beş farklı yoluna değineceğim. Burada her biri için kısa bir özet vereceğim.

Aşağıdaki tanımların her birinde, "girdi uzayı" ve "çıktı uzayı" bir fonksiyonun girdi ve çıktısının yaşadığı yeri belirtir. Örneğin, bir fonksiyon

(2, 5)

gibi bir

(x, y)

sıralı ikiliyi alır ve

5

gibi bir sayı verirse, girdi uzayı

x y

düzlemi ve çıktı uzayı gerçel sayı doğrusu olur.

[Girdi uzayı ve çıktı uzayı için daha havalı isimler.]

Grafikler, eski dostlarımız. Grafiklerin avantajı hem girdi uzayını, hem de çıktı uzayını aynı anda göstermeleridir; ama bunun sonucu olarak, boyutlarla sınırlıdırlar. Bu nedenle, sadece tek değişkenli fonksiyonlar ve iki boyutlu girdisi ve bir boyutlu çıktısı olan çok değişkenli fonksiyonlar için gerçekten kullanışlıdırlar.
Eş yükselti eğrileri. Eş yükselti eğrileri sadece girdi uzayını gösterirler ve iki boyutlu girdi ve bir boyutlu çıktılı fonksiyonlar için yararlıdırlar.
Parametrik eğriler/yüzeyler. Parametrik eğriler ve yüzeyler sadece çıktı uzayını gösterir ve çıktı uzayı girdi uzayından fazla boyutta olan fonksiyonlar için kullanılır.
Vektör alanları. Bunlar girdi uzayı ve çıktı uzayı aynı sayıda boyutu olan fonksiyonlar için geçerlidir. Örneğin, iki boyutlu girdisi ve iki boyutlu çıktısı olan fonksiyonlar veya üç boyutlu girdisi ve üç boyutlu çıktısı olan fonksiyonlar vektör alanlarıyla kullanılabilir.
Dönüşümler. Bunlar, girdi ve çıktı uzayının boyutundan bağımsız olarak, her fonksiyona uygulanabilir. Ancak dezavantajları, sadece animasyon veya şematik bir çizimle temsil edilebilmelerdir. Bu nedenle, fonksiyonun neler yaptığının kavramsal bir anlayışına ulaşmada en faydalıdırlar, ama fonksiyonu kesin olarak temsil etmekte pratik değillerdir.

Öğrendiğiniz her yeni konu ve tanımda, anlayıp anlamadığınızı sınamanın iyi bir yolu, bu farklı şekillerin her birinde görselleştirdiğiniz fonksiyonlar bağlamında mantığa oturtup oturtamadığınızı görmektir. Örneğin, türev grafikler bağlamında eğimi belirtir, ama türevin çok değişkenli versiyonunda parametrik fonksiyonlar, vektör alanları ve eşyükselti eğrileri için farklı anlamlara gelebilir.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.