Çarpma İşleminin Birleşme Özelliğine Giriş

Çarpma problemlerinde çarpan gruplarını değiştirerek bunun çarpımı nasıl etkilediğini görün.

Sayıları gruplama

Resim 3\tealD{3} satır ve her satırda 2\goldD{2} noktayı gösterir. Diziyi temsil etmek için 3×2\tealD{3} \times \goldD{2} ifadesini kullanabiliriz.
Bu resim, 3×2\tealD{3} \times \goldD{2} dizisinin 4\purpleD{4} kere kopyalanmış halini gösterir.
Diziyi temsil etmek için (3×2)×4(\tealD{3} \times \goldD{2}) \times \purpleD{4} ifadesini kullanırız.
Eğer noktaları sayarsak, toplam 2424 elde ederiz.

Gruplamayı değiştirme

Eğer parantezleri değiştirir ve sayıları farklı şekilde gruplarsak, gene aynı toplamı elde edecek miyiz?
Sayıları 2\goldD{2} ve 4\purpleD{4} birlikte olacak iekilde tekrar gruplayalım: 3×(2×4)\tealD{3} \times (\goldD{2}\times \purpleD{4}).
Ayrıca, bu ifadeyi temsil etmek için bir dizi çizebiliriz. 2\goldD{2} satır ve her satırda 4\purpleD{4} noktayla başlayalım. Bu dizi 2×4\goldD{2} \times\purpleD{4}'ü gösterir.
3×(2×4)\tealD{3} \times (\goldD{2} \times \purpleD{4}) ifadesini temsil etmek için diziyi 3\tealD{3} kez kopyalamalıyız.
Eğer noktaları sayarsak, gene toplam 2424 elde ederiz.
Yeniden gruplama cevabı değiştirmez!
(3×2)×4=3×(2×4)(\tealD{3} \times \goldD{2}) \times \purpleD{4} = \tealD{3} \times (\goldD{2} \times \purpleD{4})

Birleşme özelliği

Bir çarpma probleminde cevabı değiştirmeksizin sayıları yeniden gruplayabilmemizi sağlayan matematik kuralı, birleşme özelliği olarak adlandırılır.
Aşağıdaki çarpma probleminde sayıları iki farklı yolla gruplayalım ve her iki yolla aynı çarpımı elde ettiğimizi gösterelim.
5×4×25 \times 4 \times 2
5\blueD{5} ve 4\blueD{4}'ü birlikte gruplayarak başlayalım. İfadenin değerini adım adım bulabiliriz.
=(5×4)×2\phantom{=}(\blueD{5 \times 4}) \times 2
=20×2= \blueD{20} \times 2
=40= 40
Şimdi 4\purpleD{4} ve 2\purpleD{2}'yi birlikte gruplayalım.
=5×(4×2)\phantom{=}5 \times (\purpleD{4 \times 2})
=5×8=5 \times \purpleD{8}
=40=40
Sayılar iki farklı yolla gruplanmış olsa da, aynı çarpımı elde ettik.
İfadelerin üçü de eşittir:
=5×4×2\phantom{=}5 \times 4 \times 2
=(5×4)×2=(\blueD{5 \times 4}) \times 2
=5×(4×2)=5 \times (\purpleD{4 \times 2})

Birkaç problem deneyelim

Şimdi, bir ifadenin değerini iki farklı yolla bulmayı deneyelim.
Şimdi, farklı bir şekilde gruplanmış olan aynı ifadenin değerini bulun.
(3×2)×5=30(\purpleD{3 \times 2}) \times 5 = 30 ve
3×(2×5)=303 \times (\greenD{2 \times 5}) = 30
Sayıları iki farklı yolla gruplamış olsak da, aynı çarpımı elde ettik.

Denk ifadeler

Denk olan ifadeleri bulmak için birleşme özelliğini kullanabiliriz.
2×2×52 \times 2 \times 5 ifadesiyle başlayalım.
Bu ifadeyi, her ikisi de 2×2×52 \times 2 \times 5'e denk olan iki yolla gruplayabiliriz:
(2×2)×5(\blueD{2 \times 2}) \times 5
2×(2×5)2 \times (\goldD{2 \times 5})
Her ifadenin değerini adım adım bularak, denk olan diğer ifadeleri de bulabiliriz.
(2×2)×5=4×5(\blueD{2 \times 2}) \times 5 = \blueD{4} \times 5
2×(2×5)=2×102 \times (\goldD{2 \times 5}) = 2 \times \goldD{10}
Buna göre, orijinal ifademiz 2×2×52 \times 2 \times 5 de 4×54 \times 5 ve 2×102 \times 10 ile denktir.

Neden yeniden grupluyoruz?

Yeniden gruplama, bir çarpma problemini çözmeyi kolaylaştırabilir.
4×4×54 \times 4 \times 5 ifadesine bakalım.
İfadeyi iki yolla gruplayabiliriz:
(4×4)×5(4 \times 4) \times 5
4×(4×5)4 \times (4 \times 5)
Eğer ilk ifadenin değerini adım adım bulursak, bunu elde ederiz: (4×4)×5=16×5(\blueD{4\times 4}) \times 5 = \blueD{16} \times 5
Eğer ikinci ifadenin değerini adım adım bulursak, bunu elde ederiz: 4×(4×5)=4×204 \times (\purpleD{4 \times 5}) = 4 \times \purpleD{20}
4×204 \times 20 öarpımını bulmak, 16×516 \times 5'i bulmaktan daha kolay olabilir.
Sayılar farklı şekilde gruplanmış olsalar da, iki ifadenin çarpımı aynıdır.
4×20=804 \times 20 = 80
16×5=8016 \times 5 = 80

Bir problem deneyelim