Konik Kesitleri Açık Denklemlerinden Tanıma: Hiperbol

Evet başka bir konik kesit tanımlama sorusu çözelim. Diyelim ki, 4y kare eksi 50x eşittir 25x kare artı 16y artı 109. Şimdi yapılıcak ilk şey, x ve y ile olan terimleri bir tarafa diğerlerini öbür tarafa toplamak. O zaman hadi yapalım.Sol tarafa 4y kareyi koyduk. Aslında, tüm x ve y leri bu adımda toplayacağım. Yani 4y kare.16y'yi sola alalım. Eğer her iki taraftandan da 16 y çıkarırsam sol tarafta eksi 16y kalır ve sağ taraf da sadeleşir. Ve her iki taraftandan da 25x kareyi çıkarmak istiyorum.Eksi 25x kare eksi 50x olur. Bu 109'u burada bırakacağım.Eşittir 109 diyeceğiz. Şimdi x'ler ve y'ler aynı tarafta ve biz ne yapacağımızı biliyoruz; çünkü ikisi de aynı tarafta. İkisinin de katsayısı farklı. Ve biri pozitif, diğeri ise negatif. Bu elimizdekinin bir hiperbol olduğu anlamına geliyor. Şimdi kareyi tamamlayalım ve standart formuna sokalım. Eğer y kare ve x kare ifadelerinin birer katsayısı varsa kareyi tamamlamak kolaydır.Bu koşulda y'yi 4 parantezine alırız. 4 parantezinde y kare eksi 4y olur. Bu kareyi tamamlarken buraya sonra başka bir şey daha ekleyeceğim. Eksi 25 parantezinde x kare artı 2x. Buraya da sonra başka bir şey ekleyeceğim. Eşittir 109. Ekleyeceğimiz şeyler kareyi tamamlayacak. Bu da tam kare olacak. Burada eksi 4 var.Bu sayının yarısını alacağım.Bu kareyi tamamlayacak. Bunun nasıl işe yaradığını anlamanız için önceki videoları izlemenizi şiddetle tavsiye ederim. Burada eksi 4 var.Bunun yarısını alacağım, eksi 2 yapar.Eksi 2'nin karesi 4 yapar.Eşitliklerde sadece bir tarafta işlem yapamayız. Aslında sol tarafa 4 eklemedim.4 kere 4 ekledim.Çünkü bu 4 parantezi var.Yani sol tarafa 16 ekledim.O zaman sağ tarafa da 16 eklemeliyim değil mi.? Bu bir eşitlik ve burada bir artı 16 olaması ortalığı şimdi düzenliyor, Bunu paranteze alırsanız 4 olur. Buraya da 16 eklemeliyiz.Öbür tarafta yaptığımız gibi bu rakamın da yarısını alıyoruz. 2'nin yarısı 1. Ve 1'in karesi 1.Sol tarafa 1 eklemedik. 1 kere eksi 25 ekledik. Yani buraya da eksi 25 koymalıyız. Öbüründe yaptığımız gibi buraya da eski 25'i ekledik.Ve buraya bir eksi 25 yazdık.Şimdi burası ne oldu ? y ifadesi 4 kere y eksi 2'nin karesi. Bu size biraz karışık geldiyse, belki polinom çarpanlaması videosunu izlemek işinize yarıyabilir. Eksi 25 çarpı x artı 1 kare. Tam burada.Bu eşittir, 109 artı 16 eksi 25 eşittir 100. Çok az kaldı.Burada 1 olsun istiyoruz. Yani her iki tarafı da 100'e bölelim. Yani y eksi 2'nin karesi.Ve 4 bölü 100 , 1 bölü 25 ile aynı şey olduğundan, bölü 25 olucak. Eksi, 25 bölü 100,1 bölü 4 ile aynı, x artı 1'in karesi bölü 4 eşittir 1. Evet işte standart formuna girdi ve bu bir hiperbol. Hadi şimdi bu hiperbolün grafiğini çizelim. İlk bildiğimiz şey bu hiperbolün merkezi. Hiperbolün merkezi x'in eksi 1'e eşit olduğu noktadır. x eksi 1'e eşitse y, 2'ye eşittir. Şimdi bu hiperbolün asimtotlarını bulalım. Eğer bunun merkezi 0 noktasında olsaydı böyle bir şey olurdu.Y kare bölü 25 eksi x kare bölü 4 eşittir 1. Bunu merkezi 0 olsaydı asimtotların nasıl olacağını bulmak için uğraşıyoruz. Çünkü bu eşitlikle uğraşmak diğeriyle uğraşmaktan daha kolay. Bu yaptığımızı bir manada çözüyoruz. Şimdi iki tarafı da 25 ile çarpalım. y kare eksi 25 bölü 4 çarpı x kare eşittir 25. Buraya geçelim. Eğer her iki tarafa da 25 bölü 4 çarpı x kare eklersem elime y kare eşittir 25 bölü 4 çarpı x kare artı 25 geçer. Yani y eşittir 25 bölü 4 çarpı x kare artı 25'in artı ya da eksi kareköküne eşit. Artı eksi karakök. Her zaman olduğu gibi hiperbol asimtotlara asla eşit olmaz ya da onları kesmez. Ama grafik gösteriyor ki x pozitif ya da negatif sonsuzdur. Limitleri sonra öğreneceksiniz.Ama sanırım bunu anlayacaksınız.Çünkü bu asimtotun mantığıdır. x büyüdükçe ve bu çizgiye yaklaştıkça pozitif ya da negatif sonsuza yaklaşır ve önceki videolarda yaptığımız gibi bunun önemi azalır. Çünkü bu ifade çok büyüktür.Yani y yaklaşık olarak bu ifadenin artı ya da eksi kareköküne eşit olur. Bu ifadenin karekökü 5 bölü 2 x olur.Merkezi 0 alırsak bunlar da bizim asimtotlarımız olur. Ama bizim merkezimiz eksi 1'e, 2 demek. Hadi grafiğini çizelim. Şimdi bunun aşağı ya da yukarı açılan bir grafik olduğunu anlayabiliriz.Merkezimiz eksi 1'e ,2. Bu y ekseni, bu da x ekseni. Ve merkezimiz ne dedik ? eksi 1'e, 2. Bu merkez. Bunlar merkezimiz sıfır olsaydı asimtotlarımız olacaklardı.Ama şimdi bu bize iki asimtotun eğimini veriyor. Asimtotlar hiperbolün merkezinde kesişecekler.Bunlar iki asimtotun eğimleri. Biri artı 5 bölü 2. Pozitif 5 bölü 2 ise x'te 2 ve yukarı 5 gideceğiz. 1, 2, 3, 4, 5.Tam burada bitecek. Yani bu çizgiyi nasıl görünücekmiş ? Böyle görünecek. Diğer asimtot ise eksi 5 bölü 2. 2 için sağa ve 5 için aşağı gidiyoruz. 1, 2, 3 4, 5.Tam burada bitiyor.Bu çizgide böyle görünecek.Güzel. İşte bunlar iki asimtot ve bu yönlerde sonsuza kadar giderler.Şimdi bunu iki şekilde düşünebiliriz. Eğer 0 merkez olsaydı, x 0'a eşit olur muydu?Tabi ki olurdu. Eğer x eşittir 0 ise, y kare bölü 25, 1'e eşit olurdu. y kare de 25'e eşit olurdu. y artı ya da eksi 5 olurdu. Bu durumda, bu ifade 0'a eşit olurdu. Yani x eksi 1'e eşit diyebiliriz. Eğer x eksi 1'e eşitse, y eksi 2'nin karesi bölü 25 eşittir...Hadi bunu yapalım. Eğer x eksi 1 ise bu ifade ne olur? Eğer y eksi 2'nin karesi bölü 25 alırsak. Yani y eksi 2'nin karesi bölü 25 eşittir 1. y eksi 2'nin karesi eşittir 25. İki tarafıda 25 ile çarptık y eksi 2 eşittir eksi ya da artı 5. Yani y eksi 2 artı ya da eksi 5' eşitmiş. İki tarafa da 2 eklersek, y eşittir 7 ya da y eşittir eksi 3. Artık noktaların eksi 1, 7 ve eksi 1, eksi 3 olduğunu biliyoruz. Eksi 1 burada. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, eksi 1'e, 7 ve eksi 1, 1, 2, 3 bu grafikte. Buda bize bunun dikey bir asimtot olduğunu veriyor. Bunu bulmanın bir diğer yolu da, y kareli sabitin pozitif olduğunu görebilmektir. Bir diğer yolu da pozitif kara kök alırken asimtotun biraz üstünde kalacağınızdır. Bu da bunu düşünmenin bir diğer yolu. Pozitif kara kök en üstteki çizgidir.Yani asimtotun biraz üstünde kalacağız.Bu da asimtot. Ama her zaman onun biraz üstündeyiz. Ve bu sayı büyüdükçe, bu sayı daha az önem taşımaya başlar. Her zaman aşağı gelip yukarı çıkar ama hiçbir zaman asimtota dokunmaz ona yaklaşır. Sadece yaklaşır.Yani asimtota gittikçe yaklaşır ve sonra bu yönde uzaklaşır.