Hiperbollerin Grafiğini Çizme

Bir önceki hiperbol videomuzda, yeterince iyi bir örnek yapamamıştık. Bu yüzden bunu şimdi yapacağız. Diyelim ki, y kare bölü 4 eksi eksi x kare bölü, ne olsun iyi bir sayı bulalım, mesela x kare bölü 9 eşittir 1 olsun. Şimdi bu hiperbol hakkında bulmamız gereken ilk şey, asimtotlarının ne olduğu. Formülleri hep unuttuğum için şimdi. Y'yi bulmak için , x pozitif veya negatif sonsuza ulaştığında, ne olduğunu görmek istiyorum Y'yi bulabilmek için, öncelikle her iki tarafa, x kare bölü 9 ekleklicez değil mi. Böylece y kare bölü dört, x kare bölü dokuz artı 1'e eşit olur. Şimdi her iki tarafı dörtle çarpalım. y kare, 4 x kare bölü 9 artı 4'e eşit oldu. Şimdi her iki tarafın pozitif ve negatif kareköklerini alalım. öyleyse y, artı eksi karekök 4 x kare bölü 9 artı 4'e eşit. Bu halinden daha fazla sadeleştiremeyiz. Fakat bu durumun, x pozitif veya negatif sonsuza ulaştığında, nereye varacağını düşünebiliriz. Eğer x pozitif veya negatif sonsuza ulaşırsa; bu, kabaca neye eşit olur? Yani yaklaşık olarak nedir? Grafik neye çok yakın geçer? Aslında, y yaklaşık olarak bu ifadenin kareköküne eşit olur. Çünkü bu terim çok büyük olur ve buna göre bu sayı, gittikçe daha az anlam ifade eder. Bu sayede asimtotlara gittikçe daha fazla yaklaşırız. Çünkü bu terim, mesela bir trilyon bi trilyar katrilyon ya da bir gogol olduğunda bu sayı neredeyse önemsizdir. Bu yüzden basitçe bu terimin karekökünü alırız sonra bulmamız gereken değerin buradaki artı 4'ten dolayı çok az üstünde oluruz. Şimdi, pozitif veya negatif sonsuza ulaşırsak bu ifadenin, yaklaşık olarak artı veya eksi 4x kare bölü 9'a eşit olduğunu görürüz. Burada, bu ifadeyi karekökten çıkaracak olursak y'nin artı veya eksi olacağını anlamış olduk. Öyleyse haydi çıkaralım. Karekök 4 bölü 9, 2 bölü 3'e eşittir değil mi. Öyleyse bu ifade, artı eksi 2x bölü 3'e eşit oldu. Böylece asimtotları elde etmiş olduk. Asimtotlarımızı bulduk. İki tane asimtotumuz var: Biri y eşittir 2x bölü 3; diğeri de y eşittir eksi 2x bölü 3. Şimdi bu ifadelerin grafiklerini çizelim. Grafiği çizebilmemiz için, önce eksenlerimizi çizelim. Burası y ekseni olsun burası da x ekseni olsun. Evet birkaç renk değişikliği yapalım bir varyete yapalım ki biraz daha çekici gözüksün. Şimdi ilk ifadenin grafiğini çizelim. Y eşittir 2x bölü 3. Yani x eşittir 3 ise y eşittir 2 olacak demektir. Evet bunu çizelim. Burada 1, 2, 3 ve 1, 2. Şimdi bu nokta grafiğimizin üzerinde olduğuna göre grafiğimizi orijinden geçirerek çizebiliriz. Ama tam orijinden geçmesi gerekiyor. Bu yüzden bu şekilde çizemeyiz. Ama bu şekilde çizdiğimiz zaman emin olabiliriz ki doğru grafiğimiz orijinden geçiyor. İşte bu şekilde. Devamında buradan alırız ve buradan geçiririz. İşte bir asimtotun grafiğini çizdik. Sıra diğerinde: y eşittir eksi 2x bölü 3. Burada artı eksi olduğu için eksi. Yani x eşittir 3 ise y eşittir eksi 2 olacak demektir. Şimdi eksi y için yazalım, 1 2 ve grafiğimizin üzerinde bir nokta bulduk. Şimdi bunu orijinden geçirelim. Bu noktadan alırsak orijinden geçirerek bu şekilde böyle devam eder. Sonra buradan alırsak böyle devam eder. Böylece iki asimtotumuzu da çizmiş olduk. İşte asıl soru, hiperbol sola ve sağa doğru mu açılacak yoksa yukarıya ve aşağıya doğru mu? Bu soru hakkında iki şekilde düşünebiliriz. Ben bunu daha anlıcağınız bir tahminen daha iyi anlıcağınız bir methotla bir yolla yapacağım. X eşittir 0 olursa ne olur? Aslında sorunun cevabı belli, x eşittir 0 olursa burası gider. Geriye sadece, y kare bölü 4 eşittir 1 kalır. Başka bir deyişle y kare eşittir 4 olur. Yani y eşittir artı eksi 2 olur. Ve buradan anlıyoruz ki 0 ve artı eksi 2 noktaları bu doğru grafiğinin üzerinde olacak. Öyleyse x eşittir 0 artı veya eksi 2 olur. Öyleyse 0 artı 2 burada ve 0 eksi 2 de burada olur. Sadece bu bile, hiperbolün ne tarafa açılacağını bize gösteriyor Burada aşağıya doğru ve burada yukarıya doğru. Bir hiperbol asimtotları asla kesmez. Yani hiperbolümüzü bu şekilde asimtotun üstünden çizemeyiz. Yani eğer bu parabolün grafiğini çizecek olursak buna benzer bir görünüme sahip olur. Buradan başlar Ve hiç değişmemesi gerekiyor. Çok yakın geçmeli ama, olmadı, yine değdim. Çok yakın geçer ama asla değmez. Ve diğer taraf da böyle çok yakın geçer ama yine aynı şekilde asla değmez. Yukarıda da aynı şekilde çizeriz. Sonsuza ulaşmak için çok yakın geçer ama asla değmez. Aynı zamanda, ne kadar yakın geçerseniz sonsuza o kadar yaklaşırsınız ve yine de asla değmezsiniz. Evet işte hiperbolümüz böyle görünecekmiş. Ve bunu sadece x'in 0'a eşit olmıcağını deneyerek yaptık. Ben aslında y'ye 0 verirsek ne olacağını da görmenizi istiyorum Hiçbir şey elde edemezsiniz. Mantıksız da değil, çünkü bu hiperbol, y eşittir 0'ı yani x eksenini hiç kesmiyor, değil mi? Aslında bu baya anlayışınızı güçlendircek bir konu çünkü x, pozitif veya negatif Sonsuza ulaştığında, burada hep 4 vardı. Hatta demiştik ki x çok büyük veya çok küçük olursa 4 gittikçe daha az anlam ifade eder. Ama yine de sonuç, bu terimden çok az daha büyük olacak. Özellikle de pozitif çeyrekte, değil mi? Yani pozitif çeyrek, asimtottan çok az daha büyük olacak. Sanırım bunu en iyi açıklama yolu şöyle Eğer pozitif karekökünü alırsak bulacağımız sonuç her iki asimtottan da büyük olacak. Aynı şekilde, negatif karekökünü alırsak bulacağımız sonuç, her iki asimtottan küçük olacak. Çünkü bu ifade, bu ifadeden çok az daha büyük olacak. Negatif karekök olarak alırsak da çok az daha küçük olacak. Bu yüzden biraz daha aşağıdan çizdik. Hangi yöntemi daha çok sevdiniz bilemiyorum. Belki de basitçe x ve y'nin ayı ayrı 0'a eşit olduğunu varsayıp dikey bir hiperbol çizeceğinizi gördünüz. Evet bu arada zamanımız doldu ve bu videoyu burada bırakacağım. Başka bir videoda, hiperbolü nerede dönüştüreceğimizi anlatacağım. Ve burada dönüştürmekten kastettiğim, bir elipsi daireye dönüştürmekten farksız. Elimizde sadece y eksi bir şeyin karesi ve x artı eksi başka bir şeyin karesi var ve bu da orijini nerede dönüştüreceğimizi gösterir. Elbette bu hiperbol orijine odaklıydı. Evet yine çok uzattım her neyse bir sonraki videoda görüşmek üzere.