If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Kalkülüse Hazırlık

Konu: Kalkülüse Hazırlık > Ünite 5

Ders 7: Karmaşık Sayıların Mutlak Değeri
Matematik
Kalkülüse Hazırlık
Sanal ve Karmaşık Sayılar
Karmaşık Sayıların Mutlak Değeri
© 2023 Khan AcademyKullanım ŞartlarıGizlilik PolitikasıÇerez Politikası

Karmaşık sayılarda mutlak değer & açı tekrarı

Google Classroom
Karmaşık sayıların özellikleriyle ilgili bilginizi tekrar edin: mutlak değer ve açı. Bunlarla bir sayının kartezyen gösterimi arasında dönüştürme yapın.
a, plus, b, i'nin mutlak değeri
\mid, z, \mid, equals, square root of, a, squared, plus, b, squared, end square root
a, plus, b, i'nin açısı
theta, equals, tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, b, divided by, a, end fraction, right parenthesis
Mutlak değer r ve theta açısından dikdörtgensel form
r, cosine, theta, plus, r, sine, theta, i

Karmaşık sayıların mutlak değeri ve açısı nedir?

Karmaşık sayıları dikdörtgensel formlarında yazmaya alışkınız; bu, onların start color #11accd, start text, g, e, r, ç, e, l, end text, end color #11accd ve start color #1fab54, start text, i, m, a, j, i, n, e, r, end text, end color #1fab54 parçalarını verir. Örneğin, start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i.
Sayıları karmaçık düzlemde parçalarına göre çizebiliriz:
Grafiksel olarak düşünüldüğünde, karmaşık sayıları özgün şekilde tanımlamanın başka bir yolu daha vardır — bunların start color #e07d10, start text, m, u, t, l, a, k, space, d, e, g, with, \u, on top, e, r, i, n, i, end text, end color #e07d10 ve start color #aa87ff, start text, a, ç, ı, s, ı, n, ı, end text, end color #aa87ff kullanmak:
start color #e07d10, start text, M, u, t, l, a, k, space, d, e, g, with, \u, on top, e, r, end text, end color #e07d10 veya start color #e07d10, start text, m, o, d, u, with, \", on top, l, end text, end color #e07d10 karmaşık düzlemde sayının başlangıç noktasından uzaklığını verir; start color #aa87ff, start text, a, ç, ı, end text, end color #aa87ff veya start color #aa87ff, start text, a, r, g, u, with, \", on top, m, a, n, end text, end color #aa87ff ise sayının pozitif gerçel eksenle oluşturduğu açıdır.
Bir z karmaşık sayısının mutlak değeri, bir gerçek sayının mutlak değeri ile benzer şekilde yazılır, vertical bar, z, vertical bar gibi.
Karmaşık sayıların mutlak değerine ve açısına ilişkin daha fazla şey öğrenmek ister misiniz? Bu videoyu izleyin.

Alıştırma seti 1: Mutlak değeri bulma

Karmaşık bir sayının mutlak değerini bulmak için, parçaların karelerinin toplamının karekökünü alırız (Bu, doğrudan Pisagor teoreminin bir sonucudur):
vertical bar, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, i, vertical bar, equals, square root of, start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, end square root
Örneğin, start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i'nin mutlak değeri square root of, start color #11accd, 3, end color #11accd, squared, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, squared, end square root, equals, square root of, 25, end square root, equals, 5'tir.
Problem 1,1
  • Akım
vertical bar, 3, plus, 7, i, vertical bar, equals

Kesin bir cevap verin, yuvarlamayın.

Buna benzer başka problemlerle daha fazla alıştırma yapmak ister misiniz? Bu alıştırmayı yapın.

Alıştırma seti 2: Açıyı bulma

Bir karmaşık sayının açısını bulmak için, parçalarının oranının ters tanjantını alırız:
theta, equals, tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start color #1fab54, b, end color #1fab54, divided by, start color #11accd, a, end color #11accd, end fraction, right parenthesis
Bu, sayı ile gerçel eksen arasında oluşan dik üçgende trigonometri kullanmanın bir sonucudur.

Örnek 1: Çeyrek Düzlem start text, I, end text

start color #11accd, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i açısını bulalım:
tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, divided by, start color #11accd, 3, end color #11accd, end fraction, right parenthesis, approximately equals, 53, degrees

Örnek 1: Çeyrek Düzlem start text, I, I, end text

start color #11accd, minus, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i'nin açısını bulalım. İlk olarak, start color #11accd, minus, 3, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, i'nin Çeyrek Düzlem Quadrant start text, I, I, end text'de olduğuna dikkat edin.
tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, divided by, start color #11accd, minus, 3, end color #11accd, end fraction, right parenthesis, approximately equals, minus, 53, degrees
minus, 53, degrees Çeyrek Düzlem start text, I, V, end text'tedir, Çeyrek Düzlem start text, I, I, end text'de değildir. Ters açıyı elde etmek için 180, degrees eklemeliyiz:
minus, 53, degrees, plus, 180, degrees, equals, 127, degrees
Problem 2,1
  • Akım
z, equals, 1, plus, 4, i
theta, equals
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3, slash, 5 gibi
  • birleşik kesir, 7, slash, 4 gibi
  • 1, space, 3, slash, 4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0, comma, 75 gibi
  • pi'nin katı, 12, g, i, b, i, space, start text, p, i, end text veya 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees
Eğer gerekirse, cevabınızı en yakın onda birliğe yuvarlayın. theta’yı minus, 180, degrees ile 180, degrees arasında ifade edin.

Buna benzer başka problemlerle daha fazla alıştırma yapmak ister misiniz? Bu alıştırmayı yapın.

Alıştırma seti 3: Mutlak değer ve açıdan dikdörtgensel form

Bir karmaşık sayının mutlak değerinden ve açısından bu sayının gerçel ve imajiner parçalarını bulmak için, mutlak değeri açının sinüs veya kosinüsüyle çarparız:
Bu, sayı ile gerçel eksen arasında oluşan dik üçgende trigonometri kullanmanın bir sonucudur.
Örneğin, mutlak değeri start color #e07d10, 2, end color #e07d10 ve açısı start color #aa87ff, 30, degrees, end color #aa87ff olan karmaşık sayının dikdörtgensel formu budur:
start color #e07d10, 2, end color #e07d10, cosine, left parenthesis, start color #aa87ff, 30, degrees, end color #aa87ff, right parenthesis, plus, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, sine, left parenthesis, start color #aa87ff, 30, degrees, end color #aa87ff, right parenthesis, i, equals, start color #11accd, square root of, 3, end square root, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 1, end color #1fab54, i
Problem 3,1
  • Akım
vertical bar, z, start subscript, 1, end subscript, vertical bar, equals, 3 and theta, start subscript, 1, end subscript, equals, 20, degrees
z, start subscript, 1, end subscript, equals
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3, slash, 5 gibi
  • birleşik kesir, 7, slash, 4 gibi
  • 1, space, 3, slash, 4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0, comma, 75 gibi
  • pi'nin katı, 12, g, i, b, i, space, start text, p, i, end text veya 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
+
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3, slash, 5 gibi
  • birleşik kesir, 7, slash, 4 gibi
  • 1, space, 3, slash, 4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0, comma, 75 gibi
  • pi'nin katı, 12, g, i, b, i, space, start text, p, i, end text veya 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
i
Cevaplarınızı en yakın binde birliğe yuvarlayın.

Buna benzer başka problemlerle daha fazla alıştırma yapmak ister misiniz? Bu alıştırmayı yapın.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap
Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.