Karmaşık Sayıların Modülleri ve Argümentleri

Evet bu videoda, "Karmaşık Sayılar"ın gösterimi ve görselleştirilmesi konularını anlatacağım. Karmaşık Sayıları tahminen daha önce duymuşsunuzdur. Örneğin, "z" bir Karmaşık sayı olsun. Karmaşık Sayılar için genelde kullandığımız harf zaten zdir. z eşittir a artı b i olsun. Şimdi Karmaşık dememizin sebebi şu bir bölümü GERÇEL, bir bölümünün yani karmaşık sayının bir bölümünün GERÇEL, bir bölümünün de SANAL olması. Bir bölümünün de SANAL olması. Bu nedenle, bir z Karmaşık Sayısının gerçel bölümünün yazılması istendiğinde, şöyle gösterilir. Bu fonksiyon bize, z Karmaşık Sayısının gerçel bölümünü verir. Bu Karmaşık Sayı'nın gerçel bölümü adır. Bir fonksiyonumuz daha var. O da sanal bölümü verir. z'nin sanal bölümü. Fonksiyona bir Karmaşık Sayı verirsiniz. O da size, o sayının sanal bölümünü verir. Sanal bölüm, i nin çarpanıdır. Bu Karmaşık Sayı için b'dir. Bu sayı için b'dir. b bir gerçel sayıdır ama z Karmaşık Sayısındaki inin katsayıdır. Karmaşık Sayıları görselleştirmenin bir yolu da şudur Bu yol, sayıların kökleri, özellikle de Karmaşık kökleri söz konusu olduğunda, görselleştirmenin çok kolay bir yoludur. Bu yol, Argand Düzlemi Argand evet aynen böyle. Koordinat düzlemine benziyor. Aslında bu bir koordinat düzlemidir ama eksenleri x ile y değil. Gerçel ekseni ve sanal ekseni var. z eşittir, a artı b i sayısını bir konum vektörü olarak gösteririz. Gerçel bölümü, yatay eksendedir. Burası a olsun. Sanal bölüm de düşey eksendedir; yani sanal eksendedir. b de burası olsun. z vektörünü, Argand Düzlemi'nde konum vektörü olarak gösteririz. Bu vektör, sıfır noktasından başlar ve ucu da a virgül b noktasındadır. Yani, şu şekilde. Karmaşık Sayımız budur. Bu gördüğünüz z eşittir a artı b i Karmaşık Sayısının, Argand Düzlemi'ndeki gösterimidir. Bu şekilde, konum vektörü olarak çizdiğinizde eğer kutupsal koordinatlar konusunu da biliyorsanız, şöyle diyebilirsiniz: Bir dakika. Bir Karmaşık Sayı'yı, a artı b i şeklinde değil de, bir açı kullanarak Bir açı kullanarak. O açı da fi olsun fi açısı olsun ve bir uzaklık kullanarak gösterebilirim. Ki bu uzaklık ta r olsun. r burada, vektörün büyüklüğüdür. Bir açı ve bir uzaklık verdiğinizde, Karmaşık Düzlem'de yine bu noktayı tanımlarsınız. Açıya, Karmaşık Sayı'nın argümanı r ye de, Karmaşık Sayı'nın büyüklüğü bazen de modülü ya da mutlak değeri denir. Şimdi bu kavramları biraz irdeleyelim. Evet bu değerleri nasıl hesapladığımıza bir bakalım. r neydi? Modülü ya da büyüklüğüydü. r, z1 Karmaşık Sayısının büyüklüğü ya da mutlak değeridir. Mutlak değeridir. Bu sayınınki nedir? Burada bir üçgen var. Burada bir üçgen var. Bu kenarın uzunluğu b'dir. Üçgenin tabanı da a'dır. r'yi hesaplamak için Pisagor Teoremi'ni kullanırız. Kolay. r kare, eşittir, a kare artı b karedir. Yani, r eşittir karekök, a kare artı b karedir. Diyelim ki, argümanı bulmak istiyoruz. Peki onu bulalım o zaman. Elimizde a ile b var. Bir açının karşısı ve komşusu ile ilgili bir trigonometrik fonksiyon vardı hangisiydi? Ünlü kısaltmamızı yazalım. Görüldüğü üzere, karşı bölü komşu, tanjanttır. Bu açının tanjantı, yani, Karmaşık Sayı'nın argümanının tanjantı karşı kenar bölü komşu kenara eşittir. Yani, b bölü a ya eşittir. Bu eşitlikte, argümanı bulmak istersek argüman, eşittir, arktanjant yani tanjantın tersi, b bölü a dır. Diyelim ki, elimizdeki Karmaşık Sayı. Diyelim ki, bize yalnızca argüman ve. Diyelim ki, bize modül ve argüman verilmiş olsun. Bize onlar verildi. Tersten nasıl gideriz? Burada, gerçel a ve sanal b verildiğinde Karmaşık Sayı'nın büyüklüğünü ve açısını yani argümanını nasıl bulacağımızı gösterdim. Peki, bunlar verilirse, tersten nasıl gideriz? Üçgende, a yı bulabilmek için, r ve fi verilmiş olsun. Yani, açı ve hipotenüs uzunluğu verilip komşu kenarı bulmamız istensin. Komşu bölü hipotenüs, kosinüstür. Argümanın kosünisü o zaman kosinüsü neye eşittir? Komşu kenar, bölü, hipotenüse eşittir. a bölü r dir. Her iki yanı r ile çarpalım bakalım r çarpı kosinüs fi, eşittir, a. Aynı şeyi b için de yapalım. Bu sefer sinüsü kullanıcaz değil mi yani karşı kenar bölü hipotenüsü kullanıcaz. Argümanın sinüsü, argümanın sinüsü eşittir, b bölü r dir. Eşittir, b bölü, vektörün büyüklüğüdür. Her iki yanı r ile çarpalım. r çarpı sinüs fi, eşittir, b. Peki, bu Karmaşık Sayı'yı nasıl yazarız? Karmaşık Sayımız, z olsun. z Karmaşık Sayımız neye eşittir? Gerçel bölümü, yani, r çarpı kosinüs fi, r çarpı kosinüs fi artı sanal bölüm çarpı i dir. Artı, r. Yine yeşille yazayım. Artı, r çarpı sinüs fi çarpı i. Çarpı idir. Oyler Formülünü biliyorsanız, ortaya çıkan bu denklem size zaten ilginç gelmiştir. r parantezine alalım. Eşittir r parantezinde, kosinüs fi, kosinüs fi artı i yi önce yazayım, i sinüs fi. i evet i sinüs fi. Peki, bu nedir? Yüksek Matematik başlığı altındaki videolarımı özellikle Taylor Serisi, Taylor Serilerindeki videolarımı izlediyseniz hatırlayacaksınız ki Taylor Serileri matematiğin en derin konularından biridir, hâlâ hatta tüylerimi ürpertir. Bu, Oyler Formülüdür. Oyler Formülüyle açıklanabilir, diyelim. e üssü x'in ya da kosinüs x'in ya da sinüs x'in Taylor Serileri'ndeki gösterimlerine bakarak aynı şey olduğunu kanıtlayabiliriz. Söz konusu olan radyanlarsa, bu, e üssü i fi dir. e üssü i fi. O hâlde z eşittir r çarpı z eşittir r çarpı e üssü i fi dir. e üssü i fi. Bir Karmaşık Sayı'yı yazmanın iki yolu vardır. Bu şekilde, gerçel ve sanal bölümler şeklinde yazabiliriz. Benim, alışılageldik dediğim yöntem yani. Ya da, üstel biçimde yazabiliriz. Bu biçimde, modül, yani vektörün büyüklüğü, karmaşık bir üstel ifadeyle çarpılıyor. Bu yöntemin, kökleri bulmaya çalışırken çok faydalı olduğunu göreceksiniz. Bu konuyu daha somut hâle getirmek için bir örnek çözelim. Şöyle diyebiliriz. Mesela nasıl diyebiliriz? Ne desek? Örneğin z1 eşittir kök 3 bölü 2 artı i. Peki neyi bulmak istiyoruz? Neyi bulucaz? Vektörün büyüklüğünü ve argümanını bulmak istiyoruz. Bulalım o zaman. z1in vektör büyüklüğü eşittir kök içinde bunun karesi. Yani, ne yazacağız? Burası, 3 bölü 4 olacak. 3 bölü 4 artı 1. Tabii, 1 yerine 4 bölü 4 de yazabiliriz. Peki bu neye eşit olucak? Kök içinde 7 bölü 4. Bu da eşittir kök 7 bölü 2. Şimdi de argümanını bulalım. Argand Düzlemi üzerinde göstereyim. Argand Düzlemi'ni çizeyim. Daha güzel olucak. Birinci Bölgede olacak. Yalnızca orayı çizsem yeter. Birinci bölge grafiğini çizelim. Sayımız neydi? Elimizde kök 3 yok en iyisi sayı değiştirelim. Grafikte daha kolay göstericez. Kusura bakmayın. Daha kesin sayılar olsun. Daha tam sayılı ifadeler olsun. İlk örneğimiz kolay bir örnek olsun. kök 3 bölü 2 artı 1 bölü 2 i. Artı 1 bölü 2 i. Vektör büyüklüğünü bulalım. z1in vektör büyüklüğü, eşittir kök içinde kök 3 bölü 2'nin karesi 3 bölü 4tür. Artı, 1 bölü 2nin karesi, 1 bölü 4tür. Şimdi işimiz daha kolay. Eşittir, kök içinde 1 yani 1'dir. Şimdi, Argand Düzlemi çizip vektörün büyüklüğünü görsel hâle getirelim. Bu, sanal eksenimiz. Bu, sanal eksenimiz. Bu da, gerçel eksenimiz. Gerçel eksen. kök 3 bölü 2'yi işaretleyelim. kök 3, yaklaşık olarak 1,7'dir. Buraya 1 dersek. kök 3 bölü 2 de yaklaşık olarak, yaklaşık olarak bu kadardır. Burası, kök 3 bölü, kök 3 bölü 2'dir. Yani, gerçel bölüm. Sanal bölüm de 1 bölü 2 idi. Buraya 1 dersek, 1 bölü 2 de buradadır. Sanal bölüm de burası. 1 bölü 2. Vektörün uzunluğunu, yani büyüklüğünü de biliyoruz. 1'dir. Peki, buradaki, buradaki fi açısını nasıl buluruz? Üçgenin bu kenarı, kök 3 bölü 2 Ah, hayır hayır olur mu hiç? Bu kenar 1 bölü 2 idi. Yani, sanal bölüm. Üçgenin tabanı da neydi kök 3 bölü 2'ydi. fi yi bir çok farklı yoldan bulabiliriz. Bunlardan bir tanesi mesela tanjantına bakmaktır. Çünkü tanjant, karşı bölü komşudur. Şöyle yazalım: tanjant fi eşittir karşı yani 1 bölü 2 bölü kök 3 bölü 2. Her iki yanın ters tanjantını alırsak, aynen şu yazacağıma eşit olur: fi, eşittir tanjantın tersi, arktanjant da diyebilirsiniz. Pay'ı ve payda'yı 2 ile çarparsak, 1 bölü kök 3 olur. Böyle bulabiliriz. Şöyle de yapabiliriz: fi, eşittir, sinüsün tersi sinüs fi nedir? karşı bölü hipotenüstür değil mi. sinüs fi, 1 bölü 2 bölü 1'dir. fi neye eşitmiş? arksinüs 1 bölü 2ye. Hesap makinasında bakabilirsiniz.Hatta belki de hatırlamışsınızdır. Bu bir 30 60 90 üçgeni. Taban, kök 3 bölü 2; bu kenar 1 bölü 2; hipotenüs de 1. O hâlde bu açı 30 derecedir. 30 60 90 üçgeni kalıbına uyduğunu görünce hemen yazdım. Bunları görünce de size de tanıdık gelmiştir umarım. Şimdi bu açıyı radyan , radyan şeklinde yazmak istiyorum. Çünkü üstel şekilde yazmanız gerektiğinde, açının radyan olması gerekir. fi, 30 derecedir. Bu fi, 30 derecedir. Bu ne demektir? pi bölü 6, demektir. z1i üstel olarak göstermek istersem, şöyle yazarım r, yani vektörün büyüklüğü, yani 1 1'i yazdım ama etkisiz olacağı için isterseniz yazmayın. 1 çarpı, e üssü, pi bölü 6 i. e üssü, pi bölü 6 i. Hepsi bu.