Karmaşık Sayı Problemi 1

z 1 ve z 2 iki farklı karmaşık sayı ve z eşittir 1 eksi t z 1 artı t z 2 t 0 ile 1 arasında bir reel sayı olsun. Arg(w) ifadesi w karmaşık sayısının esas açısını belirtir esas açı karmaşık sayının konum vektörünün reel eksenle yaptığı açı. Bunu çizeyim. Bir Argand diyagramı çizelim. Bu, imajiner eksen bu da reel eksen. z karmaşık sayısının esas açısı, şu açı olacak. Fi eşittir arg(z). İkinci kısım bize bunu söylüyor. Şimdi bu seçeneklerin her birinin doğru olup olmadığına bakalım. Bu soruda birden fazla seçenek doğru olabilir bu arada. Önce z eksi z 1'in büyüklüğünün ne olduğunu bulalım. Önce z kısmını yapalım. z 1'i dağıtayım. z 1 eksi t z 1 artı t z 2 bundan z 1'i çıkarıyoruz. Yani eksi z 1. Bu ikisi birbirini götürür. t'yi dışarı alırız, yani bu t çarpı z 2 eksi z 1'in modülüne eşit olur. İlk terim böyle. z eksi z 2'nin büyüklüğünü bulalım. z eksi z 2'nin büyüklüğü için z'yi yazalım. 1 eksi t z 1 artı z 2. Bundan z 2'yi çıkarıyoruz. 1 eksi t çarpı z 1 artı t z 2 eksi z 2'nin büyüklüğü. Burada ne yapabiliriz? t eksi 1'i dışarı alırız bu iki terimde z 2'yi dışarı alırız. Bu, 1 eksi t z 1 artı t eksi 1 z 2'nin büyüklüğüne eşit. Bu kısmın büyüklüğü buna eşit. Şimdi bu ifadeyi şu ifadeye eklediğimiz zaman ne olduğuna bir bakalım. A seçeneğinde böyle yapılıyor. Bunu sadeleştirmeye çalışalım. Bu, t çarpı z 2 eksi z 1'in büyüklüğü olur. Artı şuradaki ifade. Bu ifadeyi yazmadan önce, peki nasıl sadeleştirebilirim? 1 eksi t ve t eksi 1 var şuraya biraz değiştirerek yazıyorum. 1 eksi t z 1'in büyüklüğü buraya 1 eksi t koyuyorum ama başına eksi koyalım. Yani, eksi 1 eksi t yer değiştirelim. Eksi 1 eksi t eşittir artı t eksi 1, z 2. Şimdi buradaki ifade. Burada 1 eksi t olduğu için 1 eksi t parantezine alırım. 1 eksi t çarpı z 1 eksi z 2'nin büyüklüğü. Bunu kopyalayayım. Bu ifade artı şu ifade. A'daki ifadeyi böyle sadeleştirdim. Bakalım daha sadeleştirebilecek miyiz? t bir skaler t 0 ile 1 arasında. Bize burada t'nin 0'la 1 arasında olduğunu vermişlerdi. Öyleyse, bu pozitif, buradaki değer pozitif. Ve bu da pozitif olacak. t 0'dan büyük, 1'den küçük. Yani bu da pozitif olacak. Bunlar skaler. Bunlar pozitif değerler. Tüm adımları yazmaya dikkat edelim. Şimdi bu eşittir, mutlak değer t çarpı z 2 eksi z 1'in büyüklüğü artı mutlak değer 1 eksi t çarpı z 1 eksi z 2'nin büyüklüğü. z 1 eksi z 2'nin büyüklüğü, z 2 eksi z 1'in büyüklüğüne eşit olacak. Bunlar ters yönde iki vektör veya birbirinin eksisi olan iki karmaşık sayı. Ama mutlak değerleri ve büyüklükleri aynı olacak. O nedenle, buraya da z 2 eksi z 1'in büyüklüğünü yazalım. Böyle yapmamın sebebi, burada da aynı ifade olursa, dışarı alabilirim. z 2 eksi z 1'in büyüklüğü ile z 1 eksi z 2'nin büyüklüğü aynı miktar çünkü sadece yön değişiyor. Şimdi bunu nasıl sadeleştirebiliriz? Mutlak değer t, t'nin pozitif olduğunu hatırlarsanız, bu, t'ye eşit olacak. Mutlak değer 1 eksi t, bu da pozitif, yani 1 eksi t olacak. Bu ifadeyi dışarı alabiliriz, yani t artı 1 eksi t çarpı z 2 eksi z 1'in büyüklüğü olarak buluruz. t'ler birbirini götürür, sadece 1 kalır. Yani bu, z 2 eksi z 1'in büyüklüğüne eşit olur. Böylece A seçeneğinin doğru olduğunu görmüş oluruz. Bu artı şu gerçekten buna eşit oluyor. Çözmeyi burada bırakıyorum, bir sonraki videoda diğer seçenekleri denemeye devam edeceğiz. Hoşça kalın.