Karmaşık sayıların kutupsal formu konusunun bir daha gözden geçirilmesi

Karmaşık sayıların kutupsal formu, bunların grafiksel özelliklerini vurgular: $\goldD{\text{mutlak değer}}$start color #e07d10, start text, m, u, t, l, a, k, space, d, e, g, with, \u, on top, e, r, end text, end color #e07d10 (sayının karmaşık düzlemde başlangıç noktasından uzaklığı) ve $\purpleC{\text{açı}}$start color #aa87ff, start text, a, ç, ı, end text, end color #aa87ff (sayının pozitif gerçel eksenle oluşturduğu açı). Bunlar aynı zamanda $\goldD{\text{modül}}$start color #e07d10, start text, m, o, d, u, with, \", on top, l, end text, end color #e07d10 ve $\purpleC{\text{argüman}}$start color #aa87ff, start text, a, r, g, u, with, \", on top, m, a, n, end text, end color #aa87ff olarak adlandırılır.

Eğer kutupsal gösterimde parantezleri açarsak, sayının dikdörtgensel formunu elde ettiğimize dikkat edin:

Kutupsal form, karmaşık sayıları çarparken ve bölerken gerçekten yararlıdır:

$(1+\sqrt{3}i)^6$left parenthesis, 1, plus, square root of, 3, end square root, i, right parenthesis, start superscript, 6, end superscript'yı bulalım. Önce, kutupsal forma çeviriyoruz:

$(1+\sqrt{3}i)=\goldD{2}(\cos\purpleC{60^\circ}+i\sin\purpleC{60^\circ})$left parenthesis, 1, plus, square root of, 3, end square root, i, right parenthesis, equals, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, left parenthesis, cosine, start color #aa87ff, 60, degrees, end color #aa87ff, plus, i, sine, start color #aa87ff, 60, degrees, end color #aa87ff, right parenthesis

Şimdi, yukarıdaki kuralı kullanıyoruz:

$z^3=27$z, cubed, equals, 27 denkleminin çözümlerini bulalım. Önce, $r$r ve $\theta$theta'yı, $z$z'nin mutlak değeri ve açısı olarak tanımlarız. Buna göre, $z^\blueD{3}$z, start superscript, start color #11accd, 3, end color #11accd, end superscript $r^\blueD{3}[\cos {(\blueD{3}\cdot\theta)}+i\sin {(\blueD{3}\cdot\theta)}]$r, start superscript, start color #11accd, 3, end color #11accd, end superscript, open bracket, cosine, left parenthesis, start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, theta, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, theta, right parenthesis, close bracket'dır.

$27$27 sayısı $27[\cos(k\cdot360^\circ)+i\sin(k\cdot360^\circ)]$27, open bracket, cosine, left parenthesis, k, dot, 360, degrees, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, k, dot, 360, degrees, right parenthesis, close bracket olarak tekrar yazılabilir.

Ana denklemden ($z^3=27$z, cubed, equals, 27) iki denklem elde ediyoruz:

Birinci denklemin çözümü $r=3$r, equals, 3'tür. İkinci denklemin çözümü $\theta=k\cdot 120^\circ$theta, equals, k, dot, 120, degrees'dir ve bunun üç farklı çözümü vardır: $0^\circ$0, degrees, $120^\circ$120, degrees ve $240^\circ$240, degrees. Bunlar, aşağıdaki üç çözüme karşılık gelir: