If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Karmaşık sayıların kutupsal formu konusunun bir daha gözden geçirilmesi

Karmaşık sayıların kutupsal formu konusunu bir daha gözden geçirin ve bu formu kullanarak karmaşık sayıları çarpın, bölün ve kuvvetlerini bulun.

Kutupsal form nedir?

start color #e07d10, r, end color #e07d10, left parenthesis, cosine, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, plus, i, sine, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis
Karmaşık sayıların kutupsal formu, bunların grafiksel özelliklerini vurgular: start color #e07d10, start text, m, u, t, l, a, k, space, d, e, g, with, \u, on top, e, r, end text, end color #e07d10 (sayının karmaşık düzlemde başlangıç noktasından uzaklığı) ve start color #aa87ff, start text, a, ç, ı, end text, end color #aa87ff (sayının pozitif gerçel eksenle oluşturduğu açı). Bunlar aynı zamanda start color #e07d10, start text, m, o, d, u, with, \", on top, l, end text, end color #e07d10 ve start color #aa87ff, start text, a, r, g, u, with, \", on top, m, a, n, end text, end color #aa87ff olarak adlandırılır.
Eğer kutupsal gösterimde parantezleri açarsak, sayının dikdörtgensel formunu elde ettiğimize dikkat edin:
Kutupsal formdaki karmaşık sayılara ilişkin daha fazla şey öğrenmek ister misiniz? Bu videoyu izleyin.
Karmaşık sayıların değişik formlarına ilişkin daha fazla şey öğrenmek ister misiniz? Bu makaleyi okuyun.
Dikdörtgensel ve kutupsal formları birbirine çevirmeye ilişkin daha fazla şey öğrenmek ister misiniz? Bu makaleyi okuyun.

Alıştırma seti 1: Kutupsal formda çarpma ve bölme

Kutupsal form, karmaşık sayıları çarparken ve bölerken gerçekten yararlıdır:
z1=r1(cosθ1+isinθ1)z2=r2(cosθ2+isinθ2)z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]z1z2=r1r2[cos(θ1θ2)+isin(θ1θ2)]\begin{aligned} z_1&=\goldD{r_1}(\cos\purpleC{\theta_1}+i\sin\purpleC{\theta_1}) \\ z_2&=\goldD{r_2}(\cos\purpleC{\theta_2}+i\sin\purpleC{\theta_2}) \\ &\Downarrow \\ z_1z_2&=\goldD{r_1r_2}[\cos(\purpleC{\theta_1+\theta_2})+i\sin(\purpleC{\theta_1+\theta_2})] \\\\ \dfrac{z_1}{z_2}&=\dfrac{\goldD{r_1}}{\goldD{r_2}}[\cos(\purpleC{\theta_1-\theta_2})+i\sin(\purpleC{\theta_1-\theta_2})] \end{aligned}
Kutupsal formda çarpma ve bölmeye ilişkin daha fazla şey öğrenmek ister misiniz? Bu videoyu izleyin.
Problem 1,1
  • Akım
w, start subscript, 1, end subscript, equals, 5, open bracket, cosine, left parenthesis, 15, degrees, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, 15, degrees, right parenthesis, close bracket
w, start subscript, 2, end subscript, equals, 3, open bracket, cosine, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis, close bracket
w, start subscript, 1, end subscript, dot, w, start subscript, 2, end subscript, equals

Cevabınız kutupsal formda olmalıdır. Açı, derece cinsinden verilmelidir.

Buna benzer başka problemlerle daha fazla alıştırma yapmak ister misiniz? Bu alıştırmayı yapın.

Alıştırma seti 2: Kutupsal formda karmaşık sayıların kuvvetleri

z1=r1(cosθ1+isinθ1)(z1)n=(r1)n[cos(nθ1)+isin(nθ1)]\begin{aligned} z_1&=\goldD{r_1}(\cos\purpleC{\theta_1}+i\sin\purpleC{\theta_1}) \\ &\Downarrow \\ (z_1)^n&=(\goldD{r_1})^n[\cos(n\cdot\purpleC{\theta_1})+i\sin(n\cdot\purpleC{\theta_1})] \end{aligned}

Örnek 1

left parenthesis, 1, plus, square root of, 3, end square root, i, right parenthesis, start superscript, 6, end superscript'yı bulalım. Önce, kutupsal forma çeviriyoruz:
left parenthesis, 1, plus, square root of, 3, end square root, i, right parenthesis, equals, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, left parenthesis, cosine, start color #aa87ff, 60, degrees, end color #aa87ff, plus, i, sine, start color #aa87ff, 60, degrees, end color #aa87ff, right parenthesis
Şimdi, yukarıdaki kuralı kullanıyoruz:
=[2(cos60+isin60)]6=(2)6[cos(660)+isin(660)]=64(cos360+isin360)=64(1+i0)=64\begin{aligned} &\phantom{=}[\goldD{2}(\cos\purpleC{60^\circ}+i\sin\purpleC{60^\circ})]^6 \\\\ &=(\goldD 2)^6[\cos(6\cdot\purpleC{60^\circ})+i\sin(6\cdot\purpleC{60^\circ})] \\\\ &=64(\cos360^\circ+i\sin360^\circ) \\\\ &=64(1+i\cdot 0) \\\\ &=64 \end{aligned}

Örnek 2

z, cubed, equals, 27 denkleminin çözümlerini bulalım. Önce, r ve theta'yı, z'nin mutlak değeri ve açısı olarak tanımlarız. Buna göre, z, start superscript, start color #11accd, 3, end color #11accd, end superscript r, start superscript, start color #11accd, 3, end color #11accd, end superscript, open bracket, cosine, left parenthesis, start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, theta, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, theta, right parenthesis, close bracket'dır.
27 sayısı 27, open bracket, cosine, left parenthesis, k, dot, 360, degrees, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, k, dot, 360, degrees, right parenthesis, close bracket olarak tekrar yazılabilir.
Ana denklemden (z, cubed, equals, 27) iki denklem elde ediyoruz:
r, start superscript, start color #11accd, 3, end color #11accd, end superscript, equals, 27
start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, theta, equals, k, dot, 360, degrees
Birinci denklemin çözümü r, equals, 3'tür. İkinci denklemin çözümü theta, equals, k, dot, 120, degrees'dir ve bunun üç farklı çözümü vardır: 0, degrees, 120, degrees ve 240, degrees. Bunlar, aşağıdaki üç çözüme karşılık gelir:
z1=3z2=32+332iz3=32332i\begin{aligned} z_1&=3 \\\\ z_2&=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{3\sqrt 3}{2}i \\\\ z_3&=-\dfrac{3}{2}-\dfrac{3\sqrt 3}{2}i \end{aligned}
Problem 2,1
  • Akım
left parenthesis, square root of, 2, end square root, plus, square root of, 2, end square root, i, right parenthesis, start superscript, 6, end superscript, equals

Buna benzer başka problemlerle daha fazla alıştırma yapmak ister misiniz? Bu alıştırmayı yapın.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.