Ana içerik

Kalkülüse Hazırlık

Konu: Kalkülüse Hazırlık > Ünite 6

Ders 10: Kutupsal Formdaki Karmaşık Sayılarla Çarpma ve Bölme

Karmaşık sayıların kutupsal formu konusunun bir daha gözden geçirilmesi

Karmaşık sayıların kutupsal formu konusunu bir daha gözden geçirin ve bu formu kullanarak karmaşık sayıları çarpın, bölün ve kuvvetlerini bulun.

Kutupsal form nedir?

r (\cos θ + i \sin θ)

Karmaşık sayıların kutupsal formu, bunların grafiksel özelliklerini vurgular:

mutlak değer

(sayının karmaşık düzlemde başlangıç noktasından uzaklığı) ve

açı

(sayının pozitif gerçel eksenle oluşturduğu açı). Bunlar aynı zamanda

modül

argüman

olarak adlandırılır.

Eğer kutupsal gösterimde parantezleri açarsak, sayının dikdörtgensel formunu elde ettiğimize dikkat edin:

Kutupsal formdaki karmaşık sayılara ilişkin daha fazla şey öğrenmek ister misiniz? Bu videoyu izleyin.
Karmaşık sayıların değişik formlarına ilişkin daha fazla şey öğrenmek ister misiniz? Bu makaleyi okuyun.
Dikdörtgensel ve kutupsal formları birbirine çevirmeye ilişkin daha fazla şey öğrenmek ister misiniz? Bu makaleyi okuyun.

Alıştırma seti 1: Kutupsal formda çarpma ve bölme

Kutupsal form, karmaşık sayıları çarparken ve bölerken gerçekten yararlıdır:

\begin{aligned} z_{1} & = r_{1} (\cos θ_{1} + i \sin θ_{1}) \\ z_{2} & = r_{2} (\cos θ_{2} + i \sin θ_{2}) \\ ⇓ \\ z_{1} z_{2} & = r_{1} r_{2} [\cos (θ_{1} + θ_{2}) + i \sin (θ_{1} + θ_{2})] \\ \frac{z_{1}}{z_{2}} & = \frac{r_{1}}{r_{2}} [\cos (θ_{1} - θ_{2}) + i \sin (θ_{1} - θ_{2})] \end{aligned}

Kutupsal formda çarpma ve bölmeye ilişkin daha fazla şey öğrenmek ister misiniz? Bu videoyu izleyin.

Problem 1,1

w_{1} = 5 [\cos (15^{\circ}) + i \sin (15^{\circ})]

w_{2} = 3 [\cos (45^{\circ}) + i \sin (45^{\circ})]

w_{1} \cdot w_{2} =

Cevabınız kutupsal formda olmalıdır. Açı, derece cinsinden verilmelidir.

Buna benzer başka problemlerle daha fazla alıştırma yapmak ister misiniz? Bu alıştırmayı yapın.

Alıştırma seti 2: Kutupsal formda karmaşık sayıların kuvvetleri

\begin{aligned} z_{1} & = r_{1} (\cos θ_{1} + i \sin θ_{1}) \\ ⇓ \\ (z_{1})^{n} & = (r_{1})^{n} [\cos (n \cdot θ_{1}) + i \sin (n \cdot θ_{1})] \end{aligned}

Örnek 1

(1 + \sqrt{3} i)^{6}

'yı bulalım. Önce, kutupsal forma çeviriyoruz:

(1 + \sqrt{3} i) = 2 (\cos 60^{\circ} + i \sin 60^{\circ})

[Tüm hesaplamayı göster.]

Şimdi, yukarıdaki kuralı kullanıyoruz:

\begin{aligned} [2 (\cos 60^{\circ} + i \sin 60^{\circ})]^{6} \\ = (2)^{6} [\cos (6 \cdot 60^{\circ}) + i \sin (6 \cdot 60^{\circ})] \\ = 64 (\cos 360^{\circ} + i \sin 360^{\circ}) \\ = 64 (1 + i \cdot 0) \\ = 64 \end{aligned}

Örnek 2

z^{3} = 27

denkleminin çözümlerini bulalım. Önce,

r

θ

'yı,

z

'nin mutlak değeri ve açısı olarak tanımlarız. Buna göre,

z^{3}

r^{3} [\cos (3 \cdot θ) + i \sin (3 \cdot θ)]

'dır.

27

sayısı

27 [\cos (k \cdot 360^{\circ}) + i \sin (k \cdot 360^{\circ})]

olarak tekrar yazılabilir.

Ana denklemden (

z^{3} = 27

) iki denklem elde ediyoruz:

r^{3} = 27

3 \cdot θ = k \cdot 360^{\circ}

Birinci denklemin çözümü

r = 3

'tür. İkinci denklemin çözümü

θ = k \cdot 120^{\circ}

'dir ve bunun üç farklı çözümü vardır:

0^{\circ}

120^{\circ}

240^{\circ}

. Bunlar, aşağıdaki üç çözüme karşılık gelir:

\begin{aligned} z_{1} & = 3 \\ z_{2} & = - \frac{3}{2} + \frac{3 \sqrt{3}}{2} i \\ z_{3} & = - \frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3}}{2} i \end{aligned}

Problem 2,1

(\sqrt{2} + \sqrt{2} i)^{6} =

Buna benzer başka problemlerle daha fazla alıştırma yapmak ister misiniz? Bu alıştırmayı yapın.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.