Ana içerik
Kalkülüse Hazırlık
Konu: Kalkülüse Hazırlık > Ünite 6
Ders 10: Kutupsal Formdaki Karmaşık Sayılarla Çarpma ve Bölme- Kutupsal ve Üstel Gösterimdeki Karmaşık Sayılarda Bölme
- Karmaşık sayılarla çarpma işleminin görselleştirilmesi
- Karmaşık Sayıların Kuvvetleri
- Karmaşık Sayı Denklemleri: x³=1
- Karmaşık kuvvetleri görselleştirme
- Karmaşık sayıların kutupsal formu konusunun bir daha gözden geçirilmesi
© 2023 Khan AcademyKullanım ŞartlarıGizlilik PolitikasıÇerez Politikası
Karmaşık sayılarla çarpma işleminin görselleştirilmesi
Karmaşık sayı çarpımının, karmaşık düzlemdeki grafiksel etkisine baktığınızda nasıl davrandığını öğrenin.
Karmaşık sayılarla çarpma işlemi neye benzer
Artık iki karmaşık sayıyı hem kartezyen hem de kutupsal formda çarpmayı biliyoruz. Özellikle, kutupsal formda bizden büyüklükleri çarpmamız ve açıları toplamamız isteniyor:
Karmaşık sayılarla çarpma işlemini sayıların kutupsal gösterimiyle düşünmenin avantajlı tarafı, neler olduğunu görselleştirmemizi sağlamasıdır.
Eğer karmaşık düzlemdeki her noktayı bir karmaşık sayısı ile çarparsak ne olur? Eğer sayısı kutupsal formunda ise, yukarıda özetlenen kural bize düzlemdeki her noktanın çarpanıyla ölçekleneceğini ve açısıyla döndürüleceğini söyler.
Örnekler
ve açısı 'dir. Buna göre ile çarpmak, her şeyi çarpanıyla ölçeklendirmek (yani küçültmek) ve başlangıç noktası etrafında döndürmek demektir (açı negatif olduğu için döndürme saat yönünde olacaktır).
Mutlak değeri ve açısı olan değeri ile yapılan çarpma işlemi, çarpanıyla büyütürken başlangıç noktası etrafında yarım tur döndürür.
Bu dönüşümleri ve genel olarak karmaşık çarpmayı anlamanın bir diğer yolu sayısına ve sayısına bir işaret koyup, ile çarptıktan sonra noktanın 'nin başladığı yerden birim sürüklendiğini fark etmektir, zira 'dir. olduğundan, bunu başlangıç noktasını sabitleyecek şekilde yapmalıdır.
Karmaşık eşlenikleri görseller yardımıyla anlama
Düzlemi bir karmaşık sayısıyla çarptığımızda ve sonra sonucu bunun eşleniği ile çarptığımızda neler olduğuna bakalım:
Eğer ’nin açısı ise, karmaşık eşleniğinin açısı ’dır, bu nedenle ardışık çarpma işlemlerinin toplam bir dönüşü yoktur. Bunu, 'de başlayan noktanın sonuç olarak reel pozitif sayı doğrusunun üzerinde sonlanmasıyla görebiliriz.
Büyüklük hakkında ne söyleyebiliriz? İki sayının mutlak değeri aynıdır, , buna göre ile ve sonra ile çarpmanın toplam etkisi, her şeyi çarpanıyla germektir.
Tabii, bu gerçek formüllerle görülecek kadar kolaydır, zira 'dir, ancak bunu yapılırken görmek aydınlatıcıdır!
Karmaşık bölme neye benzer
Karmaşık düzlem üzerinde yer alan her sayıyı 'ye bölersek ne olur? Eğer ’nin açısı ve mutlak değeri ise, o zaman bölme işlemi çarpmanın tersini yapar: Her şeyi ile döndürür ve çarpanıyla çarpar (yani çarpanıyla azaltır).
Örnek 1: 'ye bölme
Örnek 2: 'e bölme
Buna göre, şimdi her şey döner ve çarpanıyla çarpılır.
Bu bölme işlemlerinin aynı zamanda nin üstünde duran noktayı alma ve 'in üzerine koyma olarak görülebileceğini fark etmiş olabilirsiniz.
Karmaşık sayılarla bölme görselleştirmesini formülle ilişkilendirme
Başka şekilde ifade edecek olursak, 'ye bölmek ile çarpmakla aynıdır. Bunu anlamanın görsel bir yolu var mı?
Örneğin, doğrudan ile bölmek böyle gözükür:
İlk olarak eşleniğiyle çarpmak şöyle olur; ve sonra büyüklüğünün karesine bölmek ise şöyle olur; .
Her ikisinin de sonucu aynıdır.
Tartışmaya katılmak ister misiniz?
Henüz gönderi yok.