Ana içerik

Kalkülüse Hazırlık

Konu: Kalkülüse Hazırlık > Ünite 5

Ders 10: Kutupsal Formdaki Karmaşık Sayılarla Çarpma ve Bölme

Karmaşık sayılarla çarpma işleminin görselleştirilmesi

Karmaşık sayı çarpımının, karmaşık düzlemdeki grafiksel etkisine baktığınızda nasıl davrandığını öğrenin.

Karmaşık sayılarla çarpma işlemi neye benzer

Artık iki karmaşık sayıyı hem kartezyen hem de kutupsal formda çarpmayı biliyoruz. Özellikle, kutupsal formda bizden büyüklükleri çarpmamız ve açıları toplamamız isteniyor:

\begin{aligned} &\phantom{=}r(\cos(\alpha) + i\sin(\alpha)) \cdot s(\cos(\beta) + i\sin(\beta))\\\\ & =rs[\cos(\alpha + \beta) + i\sin(\alpha + \beta)] \end{aligned}

Karmaşık sayılarla çarpma işlemini sayıların kutupsal gösterimiyle düşünmenin avantajlı tarafı, neler olduğunu görselleştirmemizi sağlamasıdır.

Eğer karmaşık düzlemdeki her noktayı bir z karmaşık sayısı ile çarparsak ne olur? Eğer z sayısı r, left parenthesis, cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, right parenthesis kutupsal formunda ise, yukarıda özetlenen kural bize düzlemdeki her noktanın r çarpanıyla ölçekleneceğini ve theta açısıyla döndürüleceğini söyler.

Örnekler

z, equals, square root of, 3, end square root, plus, i, equals, 2, left parenthesis, cosine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis, plus, i, sine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis, right parenthesis ise, z ile çarpmak her şeyi 2 çarpanıyla ölçeklendirecek (2 kat genişletecek) ve 30, degrees döndürecektir. Aşağıdaki örnekte gösterildiği gibi:

Khan Akademi video wrapper

Video metni

z, equals, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, minus, start fraction, i, divided by, 3, end fraction için, z'nin mutlak değeri

square root of, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, right parenthesis, squared, end square root, equals, start fraction, square root of, 2, end square root, divided by, 3, end fraction'tür

ve açısı minus, 45, degrees'dir. Buna göre z ile çarpmak, her şeyi start fraction, square root of, 2, end square root, divided by, 3, end fraction, approximately equals, 0, comma, 471 çarpanıyla ölçeklendirmek (yani küçültmek) ve başlangıç noktası etrafında minus, 45, degrees döndürmek demektir (açı negatif olduğu için döndürme saat yönünde olacaktır).

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Mutlak değeri 2 ve açısı 180, degrees olan z, equals, minus, 2 değeri ile yapılan çarpma işlemi, 2 çarpanıyla büyütürken başlangıç noktası etrafında yarım tur döndürür.

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Bu dönüşümleri ve genel olarak karmaşık çarpmayı anlamanın bir diğer yolu 1 sayısına ve z sayısına bir işaret koyup, z ile çarptıktan sonra noktanın z'nin başladığı yerden 1 birim sürüklendiğini fark etmektir, zira z, dot, 1, equals, z'dir. z, dot, 0, equals, 0 olduğundan, bunu başlangıç noktasını sabitleyecek şekilde yapmalıdır.

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Khan Akademi video wrapper

Video metni

z, dot, 1, equals, z ve z, dot, 0, equals, 0 kadar basit gerçeklerin, karmaşık çarpmayı görselleştirmede bu kadar yararlı olması çok ilginç değil mi?

Karmaşık eşlenikleri görseller yardımıyla anlama

Düzlemi bir z karmaşık sayısıyla çarptığımızda ve sonra sonucu bunun eşleniği z, with, \bar, on top ile çarptığımızda neler olduğuna bakalım:

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Eğer z’nin açısı theta ise, z, with, \bar, on top karmaşık eşleniğinin açısı minus, theta’dır, bu nedenle ardışık çarpma işlemlerinin toplam bir dönüşü yoktur. Bunu, 1'de başlayan noktanın sonuç olarak reel pozitif sayı doğrusunun üzerinde sonlanmasıyla görebiliriz.

Büyüklük hakkında ne söyleyebiliriz? İki sayının mutlak değeri aynıdır, vertical bar, z, vertical bar, equals, vertical bar, z, with, \bar, on top, vertical bar, buna göre z ile ve sonra z, with, \bar, on top ile çarpmanın toplam etkisi, her şeyi vertical bar, z, vertical bar, dot, vertical bar, z, with, \bar, on top, vertical bar, equals, vertical bar, z, vertical bar, squared çarpanıyla germektir.

Tabii, bu gerçek formüllerle görülecek kadar kolaydır, zira left parenthesis, a, plus, b, i, right parenthesis, left parenthesis, a, minus, b, i, right parenthesis, equals, a, squared, plus, b, squared, equals, vertical bar, a, plus, b, i, vertical bar, squared'dir, ancak bunu yapılırken görmek aydınlatıcıdır!

Karmaşık bölme neye benzer

Karmaşık düzlem üzerinde yer alan her sayıyı z'ye bölersek ne olur? Eğer z’nin açısı theta ve mutlak değeri r ise, o zaman bölme işlemi çarpmanın tersini yapar: Her şeyi minus, theta ile döndürür ve start fraction, 1, divided by, r, end fraction çarpanıyla çarpar (yani r çarpanıyla azaltır).

Örnek 1: square root of, 3, end square root, plus, i'ye bölme

square root of, 3, end square root, plus, i'nin açısı 30, degrees ve mutlak değeri 2'dir. Bu yüzden her şey saat yönünde minus, 30, degrees döner ve start fraction, 1, divided by, 2, end fraction çarpanıyla çarpılır (yani 2 çarpanıyla azalır).

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Örnek 2: start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, minus, start fraction, i, divided by, 3, end fraction'e bölme

start fraction, 1, divided by, 3, end fraction, minus, start fraction, i, divided by, 3, end fraction'ün açısı minus, 45, degrees ve mutlak değeri;

Buna göre, şimdi her şey plus, 45, degrees döner ve start fraction, 3, divided by, square root of, 2, end square root, end fraction, approximately equals, 2, comma, 121 çarpanıyla çarpılır.

Khan Akademi video wrapper

Video metni

Bu bölme işlemlerinin aynı zamanda z nin üstünde duran noktayı alma ve 1'in üzerine koyma olarak görülebileceğini fark etmiş olabilirsiniz.

Karmaşık sayılarla bölme görselleştirmesini formülle ilişkilendirme

start fraction, z, divided by, w, end fraction'yi hesaplamak için z, equals, a, plus, b, i ve w, equals, c, plus, d, i olduğunu varsayalım, w, start overline, w, end overline, equals, c, minus, d, i karmaşık eşleniğiyle hem payı hem de payı çarpmayı öğrendik.

start fraction, z, divided by, w, end fraction, equals, start fraction, a, plus, b, i, divided by, c, plus, d, i, end fraction, equals, start fraction, a, plus, b, i, divided by, c, plus, d, i, end fraction, dot, start fraction, c, minus, d, i, divided by, c, minus, d, i, end fraction, equals, start fraction, left parenthesis, a, plus, b, i, right parenthesis, left parenthesis, c, minus, d, i, right parenthesis, divided by, c, squared, plus, d, squared, end fraction, equals, start fraction, z, dot, start overline, w, end overline, divided by, vertical bar, w, vertical bar, squared, end fraction

Başka şekilde ifade edecek olursak, w'ye bölmek start fraction, start overline, w, end overline, divided by, vertical bar, w, vertical bar, squared, end fraction ile çarpmakla aynıdır. Bunu anlamanın görsel bir yolu var mı?

w'nun açısının theta ve mutlak değerinin r olduğunu varsayalım, bu durumda w ile bölmek için minus, theta ile döndürmeli ve start fraction, 1, divided by, r, end fraction ile ölçeklendirmeliyiz. start overline, w, end overline olduğundan eşleniği w'nun tersi açıya sahiptir, start overline, w, end overline ile çarpmak bunu istediğimiz gibi minus, theta ile döndürecektir. Bununla birlikte, start overline, w, end overline ile çarpmak her şeyi r çarpanıyla ölçeklendirir, bizim ise diğer yöne gitmemiz gerekiyor, dolayısıyla düzeltmek için r, squared, equals, vertical bar, w, vertical bar, squared ile böleriz.

Örneğin, doğrudan 1, plus, 2, i ile bölmek böyle gözükür:

Khan Akademi video wrapper

Video metni

İlk olarak eşleniğiyle çarpmak şöyle olur; 1, minus, 2, i ve sonra büyüklüğünün karesine bölmek ise şöyle olur; vertical bar, 1, plus, 2, i, vertical bar, squared, equals, 5.

Khan Akademi video wrapper