Ana içerik

Kalkülüse Hazırlık

Konu: Kalkülüse Hazırlık > Ünite 6

Ders 9: Karmaşık Sayıların Kutupsal Gösterimi

Tekrar: Karmaşık Sayıların Formları

Karmaşık sayıları temsil edebileceğimiz farklı formları bir daha gözden geçirin: dikdörtgensel, kutupsal ve üstel formlar.

Çeşitli karmaşık sayı formları nelerdir?


Dikdörtgensel	$a + b i$ ‍
Kutupsal	$r (\cos θ + i \sin θ)$ ‍
Üstel	$r \cdot e^{i θ}$ ‍

Dikdörtgensel Form

a + b i

Bir karmaşık sayının dikdörtgensel formu, bu sayının

gerçel

kısmını ve

imajiner

kısmını verir. Sayıya, bu iki parçanın toplamı gibi davranır.

Dolayısıyla, karmaşık sayıları toplamak ve çıkarmak için gerçekten yararlıdır.

Ayrıca, dikdörtgensel formda verilmiş olan bir karmaşık sayıyı karmaşık düzlemde çizebiliriz. Gerçel ve imajiner kısımlar, sayının gerçel ve imajiner koordinatlarını belirler.

Karmaşık sayı dikdörtgensel formuna ilişkin daha fazla şey öğrenmek ister misiniz? Karmaşık düzleme ilişkin bu videoyu ve karmaşık sayıları toplama ve çıkarmaya ilişkin bu videoyu izleyin.

Kutupsal form

r (\cos θ + i \sin θ)

Kutupsal form, karmaşık sayıların grafiksel özelliklerini vurgular:

mutlak değer

(sayının karmaşık düzlemde başlangıç noktasından uzaklığı) ve

açı

(sayının pozitif gerçel eksenle oluşturduğu açı). Bunlar aynı zamanda

modül

argüman

olarak adlandırılır.

Eğer kutupsal gösterimde parantezleri açarsak, sayının dikdörtgensel formunu elde ettiğimize dikkat edin:

Özel davranışları dolayısıyla, bu form karmaşık sayıları çarparken ve bölerken gerçekten çok yararlıdır: mutlak değerleri

r_{1}

r_{2}

ve açıları

θ_{1}

θ_{2}

olan iki sayının çarpımının mutlak değeri

r_{1} r_{2}

ve açısı

θ_{1} + θ_{2}

olacaktır.

Karmaşık sayıların kutupsal formuna ilişkin daha fazla şey öğrenmek ister misiniz? Bu videoyu izleyin.

Üstel form

r \cdot e^{i θ}

Üstel form kutupsal formla aynı özellikleri kullanır,

mutlak değer

açı

. Ancak, bunları daha derli toplu olan başka bir yolla gösterir. Örneğin, çarpma özelliği artık aşağıdaki gibi yazılabilir:

(r_{1} \cdot e^{i θ_{1}}) \cdot (r_{2} \cdot e^{i θ_{2}}) = r_{1} r_{2} \cdot e^{i (θ_{1} + θ_{2})}

Bu form, Euler'in

e^{z}

üstel fonksiyonunu herhangi bir

z

karmaşık sayısına açmasından kaynaklanmaktadır. Arkasında yatan mantık oldukça ileri düzey olmakla birlikte, anlamı basittir: herhangi bir

x

gerçek sayısı için,

e^{i x}

\cos (x) + i \sin (x)

olarak tanımlarız.

Bu tanımı kullanarak, üstel ve kutupsal formların denkliğini elde ederiz:

r \cdot e^{i θ} = r (\cos θ + i \sin θ)

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.