Ana içerik

Konu: Kalkülüse Hazırlık > Ünite 6

Ders 1: Sanal Sayılar

i Sayısı ve Sanal Sayılar

Sanal (imajiner) birim i'yi, sanal sayıları ve negatif sayıların kareköklerini öğrenelim.

Matematik çalışmalarınızda, ikinci dereceden bazı denklemlerin hiç gerçek sayı çözümü olmadığını fark etmiş olabilirsiniz.

Örneğin, isterseniz deneyebilirsiniz,

x^{2} = - 1

denklemi için asla gerçek sayı bir çözüm bulamayacaksınız. Bunun nedeni, bir gerçek sayının karesi alındığında negatif bir sayı elde etmenin imkansız olmasıdır!

Bununla birlikte,

x^{2} = - 1

denklemi için karmaşık sayı sistemi olarak adlandırılan yeni bir sayı sisteminde bir çözüm bulunmaktadır.

İmajiner birim

Bu yeni sayı sisteminin belkemiği imajiner birim yani

i

sayısıdır.

i

sayısına ilişkin olarak aşağıdaki ifade doğrudur:

$i = \sqrt{- 1}$ ‍
$i^{2} = - 1$ ‍

İkinci özellik, bize

i

sayısının gerçekten

x^{2} = - 1

denkleminin bir çözümü olduğunu gösterir. İmajiner birimin eklenmesiyle, daha önce çözülemez olan denklem artık çözülebilmektedir!

Yalın İmajiner Sayılar

i

sayısı yalnız değildir! Bu imajiner birimin katlarını alarak, sonsuz sayıda çok yalın imajiner sayı yaratabiliriz.

Örneğin,

3 i

i \sqrt{5}

- 12 i

, veya

b

'nin sıfır harici gerçek sayı olduğu

b i

formundaki sayıların hepsi yalın imajiner sayılara örnektir.

Bu sayıların karesini almak, bunların gerçek sayılarla ne şekilde ilişkili olduğunu biraz aydınlatır.

3 i

sayısının karesini alarak bunu biraz araştıralım. Tam sayı üslerin özellikleri aynı kalır, dolayısıyla

3 i

'nin karesini aynen düşündüğümüz gibi alabiliriz.

$\begin{aligned} (3 i)^{2} & = 3^{2} i^{2} \\ = 9 i^{2} \end{aligned}$ ‍

i^{2} = - 1

olduğu gerçeğini kullanarak, bunu aşağıda gösterildiği gibi daha fazla sadeleştirebiliriz.

$\begin{aligned} = 9 i^{2} \\ = 9 (- 1) \\ = - 9 \end{aligned}$ ‍

(3 i)^{2} = - 9

olması,

3 i

'nin

- 9

'un karekökü olduğu anlamını taşır.

Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin

$(4 i)^{2}$ ‍ nedir?

Aşağıdakilerden hangisi $- 16$ ‍'nın bir kareköküdür?

Bu yolla, yalın imajiner sayıların, negatif sayıların karekökleri olduğunu görebiliriz!

Yalın imajiner sayıları sadeleştirme

Aşağıdaki tablo, yalın imajiner sayılar için hem sadeleştirilmiş hem sadeleştirilmemiş formda örnekler göstermektedir.

Sadeleştirilmemiş form	Sadeleştirilmiş form
$\sqrt{- 9}$ ‍	$3 i$ ‍
$\sqrt{- 5}$ ‍	$i \sqrt{5}$ ‍
$- \sqrt{- 144}$ ‍	$- 12 i$ ‍

Ancak, bu yalın imajiner sayıları nasıl sadeleştiriyoruz?

Birinci örneğe daha yakından bakalım ve sadeleştirmeyi düşünebilir miyiz görelim.

Orijinal denklik	Düşünme süreci
$\begin{array}{r} \sqrt{- 9} = 3 i \end{array}$ ‍	$- 9$ ‍'un karekökü imajiner bir sayıdır. $9$ ‍'un karekökü $3$ ‍'tür, buna göre negatif $9$ ‍'un karekökü $3$ ‍ imajiner birim veya $3 i$ ‍'dir.

Aşağıdaki özellik, yukarıdaki ''düşünme sürecini'' matematiksel terimlerle açıklar.

$a > 0$ ‍ için, $\sqrt{- a} = i \sqrt{a}$ ‍

Eğer bunu köklü sayıları sadeleştirmeye ilişkin bildiklerimizle birleştirirsek, tüm yalın imajiner sayıları sadeleştirebiliriz. Bir örneğe bakalım.

Örnek

\sqrt{- 18}

'i sadeleştirin.

Çözüm

Önce,

\sqrt{- 18}

'in bir imajiner sayı olduğuna dikkat edin, çünkü bu negatif bir sayının kareköküdür. Dolayısıyla,

\sqrt{- 18}

i \sqrt{18}

olarak tekrar yazarak başlayabiliriz.

Sonra, köklü ifadeleri sadeleştirmeye ilişkin bildiklerimizi kullanarak

\sqrt{18}

'i sadeleştirebiliriz.

İş aşağıda gösterilmiştir.

\begin{aligned} \sqrt{- 18} & = i \sqrt{18} & a > 0, \sqrt{- a} = i \sqrt{a} için \\ = i \cdot \sqrt{9 \cdot 2} & 9, 18 ’in tam kare olan bir çarpanıdır \\ = i \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} & \sqrt{a b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} burada a, b \geq 0 \\ = i \cdot 3 \cdot \sqrt{2} & \sqrt{9} = 3 \\ = 3 i \sqrt{2} & Çarpma işlemi yer değişme özelliğine sahiptir \end{aligned}

Buna göre,

\sqrt{- 18} = 3 i \sqrt{2}

'dir.

Şimdi birkaç soruyla alıştırma yapalım

Problem 1

\sqrt{- 25}

'i sadeleştirin.

Problem 2

\sqrt{- 10}

'u sadeleştirin.

Problem 3

\sqrt{- 24}

'ü sadeleştirin.

Neden imajiner sayılar var?

Cevap basittir. İmajiner birim

i

, gerçek sayı çözümü olmayan pek çok denklemin çözümünü bulmamızı sağlar.

Bu saçma gelebilir, ancak aslında denklemlerin bir sayı sisteminde çözülemez olması ancak daha genel bir başka sayı sisteminde çözülebilmesi oldukça yaygındır.

Burada daha aşina olabileceğiniz birkaç örnek bulunuyor.

$x + 8 = 1$ ‍'i sadece sayma sayılarıyla çözemeyiz; bunun için bize tam sayılar lazım!
$3 x - 1 = 0$ ‍'ı sadece tam sayılarla çözemeyiz; bunun için bize irrasyonel sayılar lazım!
$x^{2} = 2$ ‍'yi sadece rasyonel sayılarla çözemeyiz. İrrasyonel sayılara ve gerçel sayı sistemine girin!

Böylece, sadece gerçek sayılarla

x^{2} = - 1

'i çözemeyiz. Bunun için bize imajiner sayılar gerekiyor!

Matematik alanındaki bilginiz arttıkça, bu sayıların önemini görmeye başlayacaksınız.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.