Ana içerik

Kalkülüse Hazırlık

Konu: Kalkülüse Hazırlık > Ünite 6

Ders 1: Sanal Sayılar

Sanal Birim i Sayısının Kuvvetleri

Sanal birim olarak adlandırdığımız i'nin herhangi bir kuvvetini nasıl sadeleştirebileceğimizi öğrenelim. Örneğin, i²⁷ 'yi -i olarak sadeleştirebiliriz.

i = \sqrt{- 1}

i^{2} = - 1

olduğunu biliyoruz.

Ancak ya

i^{3}

i^{4}

i

'nin diğer tam sayı kuvvetleri? Bunları nasıl hesaplayabiliriz?

$i^{3}$ ‍ ve $i^{4}$ ‍'ü bulma

Üslerin özellikleri burada bize yardımcı olabilir! Aslında,

i

'nin üslerini hesaplarken, üsler tam sayı olduğu sürece, gerçel sayı sisteminde doğru olduğunu bildiğimiz üslere ilişkin özellikleri uygulayabiliriz.

Bunu aklımızda tutarak,

i^{3}

i^{4}

'ü bulalım.

i^{3} = i^{2} \cdot i

olduğunu biliyoruz. Ancak

i^{2} = - 1

olduğundan, bunu görüyoruz:

$\begin{aligned} i^{3} & = i^{2} \cdot i \\ = (- 1) \cdot i \\ = - i \end{aligned}$ ‍

Benzer şekilde,

i^{4} = i^{2} \cdot i^{2}

'dir. Gene

i^{2} = - 1

olduğu gerçeğini kullanarak aşağıdakini elde ediyoruz:

$\begin{aligned} i^{4} & = i^{2} \cdot i^{2} \\ = (- 1) \cdot (- 1) \\ = 1 \end{aligned}$ ‍

$i$ ‍'nin başka kuvvetleri

Bunu devam ettirelim! Benzer bir yöntem kullanarak,

i

'nin sonraki

4

kuvvetini bulalım.

$\begin{aligned} i^{5} & = i^{4} \cdot i & Üslerin özellikleri \\ = 1 \cdot i & Çünkü i^{4} = 1 \\ = i \end{aligned}$ ‍

$\begin{aligned} i^{6} & = i^{4} \cdot i^{2} & Üslerin özellikleri \\ = 1 \cdot (- 1) & Since i^{4} = 1 and i^{2} = - 1 \\ = - 1 \end{aligned}$ ‍

$\begin{aligned} i^{7} & = i^{4} \cdot i^{3} & Üslerin özellikleri \\ = 1 \cdot (- i) & Çünkü i^{4} = 1 ve i^{3} = - i \\ = - i \end{aligned}$ ‍

$\begin{aligned} i^{8} & = i^{4} \cdot i^{4} & Üslerin özellikleri \\ = 1 \cdot 1 & Çünkü i^{4} = 1 \\ = 1 \end{aligned}$ ‍

Sonuçlar tabloda özetlenmiştir.

$i^{1}$ ‍	$i^{2}$ ‍	$i^{3}$ ‍	$i^{4}$ ‍	$i^{5}$ ‍	$i^{6}$ ‍	$i^{7}$ ‍	$i^{8}$ ‍
$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍	$i$ ‍	$- 1$ ‍	$- i$ ‍	$1$ ‍

Ortaya çıkan örüntü

Tabloya göre,

i

'nin kuvvetleri

i

- 1

- i

1

dizisiyle değişmektedir.

Bu örüntüyü kullanarak,

i^{20}

olduğunu bulabilir miyiz? Bunu deneyelim!

Aşağıdaki liste, yineleyen dizideki ilk

20

sayıyı göstermektedir.

i

- 1

- i

1

i

- 1

- i

1

i

- 1

- i

1

i

- 1

- i

1

i

- 1

- i

1

Bu mantığa göre,

i^{20}

1

'e eşit olmalıdır. Bunu üsleri kullanarak destekleyebilir miyiz görelim. Hatırlayın, burada üslerin özelliklerini aynı gerçek sayılarla yaptığımız gibi kullanabiliriz!

$\begin{aligned} i^{20} & = (i^{4})^{5} & Üslerin özellikleri \\ = (1)^{5} & i^{4} = 1 \\ = 1 & Sadeleştirin \end{aligned}$ ‍

Her şekilde,

i^{20} = 1

olduğunu görüyoruz.

$i$ ‍'nin daha büyük kuvvetleri

i^{138}

'i bulmak istediğimizi varsayın.

i

- 1

- i

1

,... dizisini

138

. terime kadar kullanabilirdik, ancak bu çok fazla zaman alırdı!

Dikkat ederseniz, bununla birlikte,

i^{4} = 1

i^{8} = 1

i^{12} = 1

, vb., veya başka şekilde ifade edersek,

i

'nin $4$ ‍'ün bir katına yükseltilmesi

1

'dir.

i^{138}

'i sadeleştirmemize yardımcı olması için, bu bilgiyi ve üslerin özelliklerini kullanabiliriz.

Örnek

i^{138}

'i sadeleştirin.

Çözüm

138

4

'ün bir katı değildir, ancak

136

öyledir!

i^{138}

'i sadeleştirmemiz yardımcı olması için, bunu kullanalım.

$\begin{aligned} i^{138} & = i^{136} \cdot i^{2} & Üslerin özellikleri \\ = (i^{4 \cdot 34}) \cdot i^{2} & 136 = 4 \cdot 34 \\ = (i^{4})^{34} \cdot i^{2} & Üslerin özellikleri \\ = (1)^{34} \cdot i^{2} & i^{4} = 1 \\ = 1 \cdot - 1 & i^{2} = - 1 \\ = - 1 \end{aligned}$ ‍

Buna göre,

i^{138} = - 1

Şimdi, neden

i^{138}

i^{136} \cdot i^{2}

yazmayı seçtiğimizi sorabilirsiniz.

Eğer orijinal üs

4

'ün bir katı değilse, bu durumda

4

'ün bundan küçük ve buna en yakın kuvvetini bulmak, sadece

i^{4} = 1

olduğu gerçeğini kullanarak üssü

i

i^{2}

veya

i^{3}

'e sadeleştirmemizi sağlar.

Orijinal üssü

4

ile bölerseniz, bu sayıyı bulmak kolaydır. Bu sadece bölüm (kalansız) çarpı

4

'tür.

[Bana bir örnek gösterebilir misiniz?]

[Hala aklım karışık. Daha fazla örnek görebilir miyim?]

Şimdi birkaç soruyla alıştırma yapalım

Problem 1

$i^{227}$ ‍'yi sadeleştirin.

[Yardıma ihtiyacım var!]

Problem 2

$i^{2016}$ ‍'yı sadeleştirin.

[Yardıma ihtiyacım var!]

Problem 3

$i^{537}$ ‍'yi sadeleştirin.

[Yardıma ihtiyacım var!]

Zor Problem

Aşağıdakilerden hangisi $i^{- 1}$ ‍ ile denktir?

[Yardıma ihtiyacım var!]

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.

Kalkülüse Hazırlık

Konu: Kalkülüse Hazırlık > Ünite 6

i3‍ ve i4‍ 'ü bulma

i‍ 'nin başka kuvvetleri

Ortaya çıkan örüntü

i‍ 'nin daha büyük kuvvetleri

Örnek

Çözüm

Şimdi birkaç soruyla alıştırma yapalım

Problem 1

Problem 2

Problem 3

Zor Problem

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

$i^{3}$ ‍ ve $i^{4}$ ‍'ü bulma

$i$ ‍'nin başka kuvvetleri

$i$ ‍'nin daha büyük kuvvetleri