Ters Çevrilebilir Matrisleri Belirleme

Bir matrisin tersini bulmaktansa, tersi olup olmadığını belirlemek bulmak daha ilginçtir. Buna, tersinin ne zaman tanımsız olduğunu bulmak da diyebiliriz. Tersi olmayan veya tersi tanımsız olan bir kare matrise tekil matris denir. Tekil matris. Şimdi, bir tekil matrisin neye benzediğini ve tekil matrislerin incelediğimiz sorulara nasıl uygulandığını bulalım, düşünelim, çalışalım. Kolay bir örnek olduğu için, 2'ye 2 matrislere bakalım. Aslında, her boyuttan bir kare matrise uygulayabilceğimizi göreceğiz. Şimdi 2'ye 2 matrisini ele alalım. Öğeleri a, b, c ve d olsun. Peki, bu matrisin tersi nedir? Umarım, bunu bulmak, artık, sizin için çok basit bir şey haline gelmiştir. 1 bölü a'nın determinantı çarpı a'nın ekmatrisi Bu durumda, şu iki terimi değiş tokuş ediyoruz d ve a oluyor. Ve, bu iki terimin eksilerini alıyoruz. Eksi c ve eksi b. Şimdi size sorum şu: Bu ifadeyi ne tanımsız kılar? Hangi sayı olursa olsun, eğer a tanımlı ise, değiş tokuş etmek veya eksi ile çarpmak, ifadenin bu kısmını değiştirmez. Ama şurayı 0'a bölmeye çalışsak bu, bu problem yaratırdı. Yani, A matrisinin determinantı 0 olsaydı. Buna göre, ancak ve ancak, A'nın determinantı sıfır ise, A'nın tersi tanımsızdır. Şöyle de diyebiliriz, bir matrisin determinantı 0 ise, o matris tekildir ve tersi yoktur, tersi tanımsızdır. Şimdi kavramsal olarak düşünelim. Daha önce çözdüğümüz iki soruda, 0 determinant ne anlama gelirdi. Buna göre, matrisin tersinin neden olmadığını anlamaya çalışalım. 0 determinant nedir? Bu 2'ye 2 matrisinin determinantı nedir? A'nın determinantı a, d ,eksi b, c'ye eşit. Bu ifade 0'a eşit olursa, matris tekil olur. Bunu şuraya yazayım. Eğer a d, b c'ye eşitse iki tarafı b ve d'ye bölerek a bölü b eşittir c bölü d de diyebiliriz. Yani a'nın b'ye oranı, c'nin d'ye oranına eşitse o zaman matrisin tersi yoktur. Veya ifadeyi şöyle de yazabiliriz. İki tarafı c ve d'ye bölersek a bölü c eşittir b bölü d. Bu ikisi de aslında doğru. Aslında, ikisi de aynı. Evet, benim yaptığım sadece biraz cebirsel el çabukluğu. a'nın c'ye oranı, b'nin d'ye oranına eşitse siz bu iki orantının neden aynı olduğunu daha isterseniz ayrıntılı düşünebilrsiniz. Neyse, kafanızı karıştırmak istemiyorum şuan. Şimdi, bu durumun çözdüğümüz sorulara nasıl uyarlandığına bakalım. Örneğin, bir lineer denklem sistemini gösteren şu matrise bakalım. Bu, iki duruma da uyar. Yani a, b, c, d çarpı x, y eşittir e ve f daha önce kullanmadığımız iki sayı. Eğer bu matris denklemi, lineer denklem sorusunu temsil ediyorsa, doğru denklemleri şöyle yazılabilir: a çarpı x artı b çarpı y eşittir e. Ve, c çarpı x artı d çarpı y eşittir f. Bu doğruların kesiştiği noktayı bulmak isteriz. Bu da, bu matris denkleminin vektör çözümü olur. Bu iki doğruyu görsel olarak anlamak için denklemleri, eğim-kesim noktası formuna çevirelim. Burada, y neye eşit? y eşittir eksi a bölü b x artı e bölü b. Bazı çözüm adımlarını atladım burada. İki taraftan a x'i çıkaralım. Ve, iki tarafı da b'ye bölelim. Bu denklemi elde ederiz. Şimdi, bu denklemi de aynı formda ifade etmek için, y'yi tek başına bırakalım. y eşittir eksi c bölü d artı f bölü d. Şimdi düşünelim.Farklı bir renk kullanayım şurada. Bu durum, bu iki denklem için ne anlama gelir? Eğer bu doğruysa, determinantımız 0 demiştik. Bu tekil bir matris olur ve tersi tanımsızdır. Tersi olmadığından, matris denklemini çözemeyiz. Çünkü, denklemin iki tarafını matrisin tersiyle çarpmamız gerekiyordu. Pekala, şimdi düşünelim. Determinantın 0 olması, bu denklemler hakkında ne söylüyor? Eğer a bölü b, c bölü d'ye eşitse bu iki doğrunun eğimi aynı olacaktır. Eğimleri aynı olacaktır. Şu iki ifade farklıysa, peki o zaman ne diyebiliriz? doğrunun eğimi aynı, y kesenleri İki farklıysa, bu iki doğru paraleldir ve hiçbir zaman kesişmezler. Şu yukarıdaki doğruyu çizelim. Sayılar pozitif olmak zorunda değil, ama burada eksi işareti olduğundan, eksi bir eğim çizeyim. Bu, birinci doğru ve y keseni e bölü b. Şuradaki doğru. İkinci doğru farklı bir renkte çizeyim. Öteki doğrunun aşağısında mı, yukarısında mı bilmiyorum. Ama paralel olduklarını biliyorum. O zaman şöyle görünecek. Bu doğrunun y-keseni de f bölü d. Eğer e bölü b ve f bölü d farklıysa ama iki doğrunun eğimi aynıysa, doğrular paraleldir ve hiç kesişmezler. Yani, çözüm kümesi boş olur. Yerine koyma veya eliminasyon yöntemleri ile lineer denklemleri eskiden çözerken de a bölü b, c bölü d'ye eşitse, çözüm bulamazdınız. Dolayısıyla, tekil matrisi, paralel doğrularla özdeş tutabiliriz. Diyebilirsiniz ki, e bölü b f bölü d'ye eşitse, doğrular kesişiyor. y kesenleri aynı olursa, bu iki doğru birbirinin aynıdır. Sadece kesişmekle kalmazlar, sonsuz adet noktada kesişirler. Ama yine de, tek bir çözümümüz olamaz. Bir adet çözüm değil, doğrunun bütün x ve y değerleri çözüm kümesindedir. Bu soruya matrisleri uyguladığımızda, tekil matris durumunda, paralel veya birbirinin aynı iki doğru gösterdiğimizi anlamışsınızdır. Doğrular birbirine paralel ve hiç kesişmiyorlar. Veya doğrular birbirinin aynı ve sonsuz sayıda noktada kesişiyorlar. Dolayısıyla, A'nın tersinin tanımsız olması, mantıklı bir durum. Şimdi, bu konuyu vektörlerin lineer birleşimi bağlamında düşünelim. Vektörlerin lineer birleşimini şöyle değerlendirelim. Bu lineer birleşim şununla aynı: a c vektörü çarpı x artı b d vektörü çarpı y eşittir e f vektörü. Şimdi durup düşünelim. a c vektörü ile b d vektörünün, e f vektörüne eşit bir lineer birleşimi var mı, sorumuz bu. Ama, biraz önce ters matris tanımsız ve determinant 0, dedik. Eğer determinant 0 ise, bu durumda a bölü c'nin b bölü d'ye eşit olduğunu biliyoruz. Yani a bölü c eşittir b bölü d. Bu bize neyi gösterir? Çizeyim. Sayı kullanmak faydalı olurdu. Ama, anlayacağınızı düşünüyorum. Birinci çeyrek düzlemde çiziyorum. İki vektöründe bu çeyrek düzlemde olduğunu varsayıyorum. Evet çizelim. a c vektörü. Bu a diyelim. Farklı bir renk kullanayım. a c vektörünü çiziyoruz. Bu a, bu da c ise a c vektörü buna, buna benzer, değil mi? Evet, şöyle düzgün görünsün. a c vektörü bu şekilde. Ve, işte oku. Peki, b d vektörü nasıl görünür? b d vektörünü herhangi bir yere çizebilirim. Ama, determinantının 0 olduğunu varsayıyoruz. Matrisin determinantının 0 olduğunu varsayıyoruz. Eğer determinant 0 ise, a bölü c'nin b bölü d'ye eşit olduğunu biliyoruz. Veya, c bölü d eşittir a bölü b de diyebiliriz. Bu da bize, bu iki vektörün eğimlerinin aynı olduğunu söyler. İkisi de 0 noktasını başlangıç olarak alırsa, aynı doğrultuda uzanırlar. Uzunlukları farklı olabilir, ama doğrultuları aynıdır. Bu b koordinatı, bu da d koordinatı ise, b d vektörü şurada olacak. Bu size mantıklı gelmiyorsa şimdi niye aynı doğrultuda olacaklarını düşünmeye çalışın. Bu vektör diğeriyle üstüste gelecek, ama farklı bir uzunluğu olacak.. Uzunluğu aynı da olabilir tabii. Peki, e f vektörünün nerede olduğunu bilmiyoruz. Herhangi bir nokta alalım. Diyelim ki, bu e, bu da f. Yani, e f vektörü şurada. Farklı bir renkle yapalım bunuda. Diyelim ki, e f vektörü burada. Şimdi size sorum şu: Bu iki vektörün doğrultusu aynıysa, uzunlukları belki farklı. Bu iki vektörün lineer birleşimi ile şu vektörü elde edebilir miyiz? Bu vektörlerin uzunluklarını değiştirip toplayabilirsiniz, ama elde edeceğiniz tek sonuç, bu doğru üzerinde hareket etmek olur. Bu vektörlerin katları olan vektörlere ulaşabilirsiniz. Ama, bu iki vektörden farklı bir yöndeki bir vektöre ulaşamazsınız. Dolayısıyla, bu vektör farklı bir yöndeyse burada çözüm kümesi boştur. Eğer bu vektör, şuradakiyle aynı doğrultudaysa, o zaman uzunluk değiştirerek çözebiliriz. Aslında sonsuz sayıda x, y çözümü olur. Ama, vektör, yönü açısından biraz farklı olsa, çözüm olmaz. Bu vektörün ve şu vektörün hiçbir lineer birleşimi, bu vektörü vermez. Bunu şimdi tekrar düşünmenizi istiyorum. Size çok alışa gelmiş olabilir. Şöyle de düşünülebilir: farklı yönde bir vektöre ulaşmak için, biraz bu yönde, biraz başka yönde vektörlerin toplamını almak gerekiyor. İki vektörünüzün de doğrultusu aynıysa, farklı bir doğrultuya ulaşamazsınız. Neyse, sanıyorum anlattıklarım iyice sizin için karmaşık olmaya başladı. Umarım, yine de, tekil matrisin ne demek olduğunu anlamaya başlamışsınızdır. Tekil matris, tersi tanımsız olan matris idi. Determinant 0 ise, matrisin tersini bulamıyorduk. Ve umarım, bunun nedenini anlamışsınızdır. Bu videonun en canalıcı kısmı buydu. Vektör sorusuna bakarsak, ya hiç, ya da sonsuz lineer birleşim bulabiliyorduk. Aynı durum, iki doğrunun kesişimi için de geçerliydi. Determinant 0 ise, doğrular ya paralel, ya da aynıydı. Evet neyse, bir sonraki videoda görüşürüz. Hoşçakalın.