Matris Dönüşümleri

Bir matrisi uzayın bir dönüşüm olarak düşünürsek, matris işlemlerini daha derinden anlayabiliriz. Bu bakış açısı, çarpma gibi matris işlemlerinin tanımını motive eder, ve güzel resimler çizmemiz için bize bir bahane verir. Bu materyal lineer cebire (genelde üniversite konusu) değinir.

İlk bakışta ''dönüşüm'' fikri gerçekte olduğundan daha karmaşık gözükebilir, dolayısıyla $2 \times 2$2, times, 2 matrislerin nasıl $2$2-boyutlu uzaya veya $3 \times 3$3, times, 3 matrislerin nasıl $3$3-boyutlu uzaya dönüştüğüne geçmeden önce, düzlemsel eski sayıların (diğer adıyla $1 \times 1$1, times, 1 matrisler) nasıl $1$1-boyutlu uzayın dönüşümleri olarak düşünülebileceğini ele alalım.

"$1$1-boyutlu uzay", basitçe sayı doğrusudur.

Doğrudaki her sayıyı belirli bir değerle örneğin $2$2 ile çarptığınızda ne olur? Bunu göstermenin bir yolu aşağıdaki gibidir:

Referans olması için orijinal doğrunun bir kopyasını koruyoruz, sonra doğrudaki her sayıyı, o sayının $2$2 katına kaydırıyoruz.

Benzer şekilde, $\dfrac{1}{2}$start fraction, 1, divided by, 2, end fraction ile çarpma görsel olarak şöyle gösterilebilir:

Negatif sayılar kendilerini ihmal edilmiş gibi hissetmesin, $-3$minus, 3 ile çarpma işlemi de burada:

Havalı terminolojiye düşkün olanlarınız için söyleyelim, bu animasyonlarda gösterilen hareketler "$1$1-boyutlu uzayın doğrusal dönüşümleri" olarak tanımlanabilir. “Dönüşüm” kelimesi “fonksiyon” ile aynı anlamı taşımaktadır: girdi olarak bir sayıyı alan ve başka bir sayıyı çıktı olarak veren şey, örneğin $f(x) = 2x$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x gibi. Bununla birlikte, genelde fonksiyonları grafiklerini kullanarak gösteririz, oysa “dönüşüm” kelimesini daha çok bir nesnenin hareket etmesini, gerilmesini, büzülmesini, vb. görselleştirmemiz gerektiğinde kullanırız. $f(x) = 2x$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x fonksiyonunun bir dönüşüm olarak görselleştirilmesi, yukarıdaki "$2$2 ile çarpma işlemi" videosunda verilmiştir. Bu dönüşüm, sayı doğrusunda $1$1 noktasını $2$2'nin başladığı yere taşır, $2$2'yi $4$4'e taşır, vb.

$2$2-boyutlu uzaya geçmeden önce, aklımızda tutmamız gereken basit ancak önemli bir gerçek var. Bu dönüşümlerden birisini izlediğinizi düşünün, bunun bir sayıyla çarpma işlemi olduğunu biliyorsunuz, ancak bu sayının ne olduğunu bilmiyorsunuz, bunun gibi:

$\goldE{\text{1'i izleyerek}}$start color #a75a05, start text, 1, apostrophe, i, space, i, z, l, e, y, e, r, e, k, end text, end color #a75a05, doğruda hangi sayının çarpıldığını kolayca bulabilirsiniz. Bu durumda, $1$1 $-3$minus, 3'ün başladığı yere gitmektedir, dolayısıyla animasyonun $-3$minus, 3 ile çarpma işlemini temsil ettiğini söyleyebilirsiniz.

A $2$2-boyutlu bir doğrusal dönüşüm, $2$2-boyutlu $\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]$ vektörünü girdi olarak alan ve çıktı olarak başka bir $2$2-boyutlu vektörü veren özel bir fonksiyon türüdür. Daha önce olduğu gibi, “dönüşüm” kelimesinin kullanılması bir şeyleri (bu durumda $2$2-boyutlu uzayı) dönüştürmeyi düşünmemiz gerektiğini belirtir. Burada bazı örnekler var:

Bir dönüşümü doğrusal kılan şey, şu geometrik kuraldır: Başlangıç noktası sabit kalmalıdır ve tüm doğrular doğru olarak kalmalıdır. Buna göre yukarıdaki animasyondaki dönüşümlerin tümü doğrusal dönüşümlere örnektir, ancak aşağıdakiler böyle değildir:

Örneğin aşağıdaki gibi, belirli bir dönüşümü izlediğinizi düşünün.

Aynı animasyonu seyretmeyen bir arkadaşınıza bunu nasıl tanımlarsınız? Bunu artık sadece bir sayıyı kullanarak, bir boyutlu uzayda $1$1 sayısını takip ettiğimiz gibi tanımlayamazsınız. Her şeyi izleyebilmemize yardımcı olması için, $\greenD{\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right]}$ vektörünün üstüne bir yeşil ok , $\redD{\left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]}$ vektörünün üstüne bir kırmızı ok koyalım ve arka planda ağın bir kopyasını sabitleyelim.

Şimdi her şeyin nereye gittiğini izlemek çok daha kolay. Örneğin, animasyonu tekrar izleyin ve $\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right]$ vektörüne odaklanın, bunun $\left[\begin{array}{c} 4 \\ -2 \end{array} \right]$ vektörüne hareket ettiğini çok daha kolay izleyebiliyoruz.

Bu gerçeği, aşağıdaki gösterimle temsil edebiliriz:

Dikkat ederseniz $\left[ \begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array} \right]$ gibi yeşil okun $2$2 katında başlayan bir vektör, dönüşümden sonra da yeşil okun $2$2 katı olmaya devam eder. Yeşil ok $\greenD{\left[ \begin{array}{c} 1 \\ -2 \end{array} \right]}$'ye geldiğinden,

$\left[ \begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array} \right] \rightarrow 2 \cdot \greenD{\left[ \begin{array}{c} 1 \\ -2 \end{array} \right]} = \left[ \begin{array}{c} 2 \\ -4 \end{array} \right]$ sonucuna varabiliriz.

Genel olarak,

Benzer şekilde, bütün $y$y-ekseninin gideceği yer kırmızı ok $\redD{\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]}$'in gideceği yer ile belirlenir, bu dönüşüm için bu $\redD{\left[ \begin{array}{c} 3 \\ 0 \end{array} \right]}$'dır.

Aslında, $\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right]$ ve $\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]$'in nereye gittiğini bildiğimizde, düzlemdeki her noktanın nereye gitmesi gerektiğini belirleyebiliriz. Örneğin, animasyonumuzda $\left[ \begin{array}{c} -1 \\ 2 \end{array} \right]$ noktasını izleyelim:

$-1$minus, 1 çarpı yeşil ok artı $2$2 çarpı kırmızı okta başlar, ancak aynı zamanda $-1$minus, 1 çarpı yeşil ok artı $2$2 çarpı kırmızı okta biter, bu dönüşümden sonra

$-1 \cdot \greenD{\left[ \begin{array}{c} 1 \\ -2 \end{array} \right]} + 2 \cdot \redD{\left[ \begin{array}{c} 3 \\ 0 \end{array} \right]} = \left[ \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array} \right]$ olduğu anlamını taşır.

Bir vektörü dönüşümden hem önce hem sonra bileşenlerine ayırabilme, doğrusal dönüşümlerin özgün bir özelliğidir.

Genel olarak, her $\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]$ vektörü aşağıdaki gibi ayrılabilir:

Eğer yeşil ok $\greenD{\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right]}$ herhangi bir $\greenD{\left[ \begin{array}{c} a \\ c \end{array} \right]}$ vektörünün üstüne geliyorsa, ve kırmızı ok $\redD{\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]}$ herhangi bir $\redD{\left[ \begin{array}{c} b \\ d \end{array} \right]}$ vektörünün üstüne geliyorsa, bu durumda $\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]$ vektörü şunun üstüne gelmelidir:

Bunların tümünü tanımlamanın gerçekten hoş bir yolu, verilen bir doğrusal dönüşümü

$\textbf{A} = \left[\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right]$ matrisi ile temsil etmektir,

burada birinci sütun bize $\greenD{\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right]}$'ın nereye gittiğini ve ikinci sütun $\redD{\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]}$'in nereye gittiğini anlatır. Şimdi herhangi bir $\textbf{v} = \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]$ vektörünün nereye gittiğini

$\textbf{Av} = \left[\begin{array}{c} ax + by \\ cx + dy \end{array}\right]$ matris-vektör çarpımı ile tanımlayabiliriz.

İşin aslı, bir matris-vektör çarpımı tanımının geldiği yer, tam olarak budur.

$1$1-boyutlu doğrusal dönüşümlerin bir sayıyla çarpımı, yani $1$1'in geleceği sayı şeklinde tanımlanabileceği gibi, $2$2-boyutlu doğrusal dönüşümler bir $2 \times 2$2, times, 2 matrisiyle, aslında birinci sütunu $\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right]$'ın geldiği yeri, ve ikinci sütunu $\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]$'in geldiği yeri belirttiği matrisle tanımlanabilir.