If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Matris skaler çarpımının özellikleri

Matris skaler çarpımının özelliklerini (değişme özelliği gibi) ve bunun gerçek sayılarla çarpma işlemiyle ilişkisini öğrenin.
Aşağıdaki tabloda A ve B boyutları eşit olan matrislerdir, c ve d skalerdir ve O sıfır matrisidir.
ÖzellikÖrnek
Çarpmada birleşme özelliğileft parenthesis, c, d, right parenthesis, A, equals, c, left parenthesis, d, A, right parenthesis
Dağılma özelliği c, left parenthesis, A, plus, B, right parenthesis, equals, c, A, plus, c, B
left parenthesis, c, plus, d, right parenthesis, A, equals, c, A, plus, d, A
Çarpmada etkisiz eleman özelliği 1, A, equals, A
Sıfırın çarpma işlemindeki özelliği0, dot, A, equals, O
c, dot, O, equals, O
Çarpmada kapalılık özelliğic, A, A ile aynı boyutlara sahip bir matristir.
Bu makale, bu özellikleri incelemektedir.

Matrisler ve skaler çarpım

Bir matris, sayıların satır ve sütunlar şeklinde dikdörtgensel düzenlenmesidir.
Matrislerle işlem yaparken, gerçek sayıları skaler olarak adlandırırız.
Skaler çarpım terimi, bir gerçek sayıyla bir matrisin çarpımını belirtir. Skaler çarpımda, matristeki her giriş verilen skalerle çarpılır.
2[5231]=[25222321]=[10462]\begin{aligned}\goldD{2}\cdot{\left[\begin{array}{rr}{5} &2 \\ 3& 1 \end{array}\right]}&={\left[\begin{array}{ll}{\goldD2 \cdot5} &\goldD2\cdot 2 \\ \goldD2\cdot3& \goldD2\cdot1 \end{array}\right]}\\\\\\ &={\left[\begin{array}{rr}{10} &4 \\ 6&2 \end{array}\right]}\end{aligned}
Eğer bu konu sizin için yeniyse, devam etmeden önce aşağıdaki makalelere göz atmalısınız:

Boyutlara ilişkin dikkat edilmesi gerekenler

Bir skaler çarpı bir 2, times, 2 matrisin, başka bir 2, times, 2 matris olduğuna dikkat edin. Genel olarak, bir matrisin skaler bir katı, aynı boyuta sahip başka bir matris olacaktır. Skaler çarpımın kapalılık özelliği ile ifade edilen budur!

Matris skaler çarpım ve gerçek sayı çarpım

Skaler çarpım büyük ölçüde gerçek sayılarla çarpma işlemiyle benzer olduğundan, gerçek sayılarda doğru olduğunu bildiğimiz çarpım özelliklerinin çoğu skaler çarpım için de doğrudur.
Her bir özelliği tek tek bakalım.

Çarpmanın birleşme özelliği: left parenthesis, c, d, right parenthesis, A, equals, c, left parenthesis, d, A, right parenthesis

Bu özellik, bir matrisin iki skalerle çarpılması durumunda, önce skalerleri çarpabileceğinizi ve sonra matrisle çarpabileceğinizi söyler. Buna alternatif olarak, matrisi skalerlerden birisiyle çarpabilir ve sonra elde ettiğiniz matrisi diğer skalerle çarpabilirsiniz.
Aşağıdaki örnek, bunu start color #11accd, c, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, start color #e07d10, d, end color #e07d10, equals, start color #e07d10, 3, end color #e07d10 ve A=[5481]\greenD A={\left[\begin{array}{rr}{\greenD5}&\greenD4 \\ \greenD8& \greenD1\end{array}\right]} için göstermektedir.
Her sütunda birim matrisin bir tarafını tek bir matris olarak sadeleştirdik. Gerçek sayıların toplama işlemindeki birleşme özelliği sayesinde, elde edilen iki matrisin denk olduğuna dikkat edin. Örneğin, left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #e07d10, 3, end color #e07d10, right parenthesis, dot, start color #1fab54, 5, end color #1fab54, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, left parenthesis, start color #e07d10, 3, end color #e07d10, dot, start color #1fab54, 5, end color #1fab54, right parenthesis.
Bu, iki orijinal ifadenin de birbirine denk olması gerektiğini gösterir!

Dağılma özellikleri:

c, left parenthesis, A, plus, B, right parenthesis, equals, c, A, plus, c, B

Bu özellik, bir skalerin bir matris toplamaya dağıtılabileceğini söyler.
Burada start color #11accd, c, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, A=[5231]\greenD A=\left[\begin{array}{rr}{\greenD5} &\greenD2\\ \greenD3& \greenD1\end{array}\right] ve B=[3426]\goldD B=\left[\begin{array}{rr}{\goldD3} &\goldD4\\ \goldD2& \goldD6\end{array}\right] olan bir örnek var:
Eğer her sütundaki son matrisi karşılaştırırsak, gerçek sayılardaki dağılma özelliği dolayısıyla bunların denk olduğunu görürüz. Örneğin, start color #11accd, 2, end color #11accd, left parenthesis, start color #1fab54, 5, end color #1fab54, plus, start color #e07d10, 3, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #1fab54, 5, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #e07d10, 3, end color #e07d10.
Buna göre, orijinal iki ifade de birbirine denk olmalıdır!

left parenthesis, c, plus, d, right parenthesis, A, equals, c, A, plus, d, A

Bu özellik, bir matrisin bir skaler toplamaya dağıtılabileceğini söyler.
Burada start color #11accd, c, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, start color #1fab54, d, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54 ve A=[6974]\goldD A=\left[\begin{array}{rr}{\goldD6} &\goldD9 \\ \goldD7&\goldD4\end{array}\right] olan bir örnek var:
Bir kez daha, her sütundaki son matrisin denk olduğunu görüyoruz; bunun nedeni gerçek sayılardaki dağılma özelliğidir, bu özellik orijinal ifadeleri arzu edilen şekilde denk kılar!

Çarpmada etkisiz eleman özelliği: 1, A, equals, A

Bu özellik, herhangi bir A matrisini 1 skaleriyle çarptığınızda, sonucun basitçe orijinal A matrisi olduğunu söyler.
Buna göre, örneğin eğer A=[2517]A= \left[\begin{array}{rr}{2} &5 \\ 1&7 \end{array}\right] ise, bunu elde ederiz:
1[2517]=[12151117]=[2517]\begin{aligned}\greenD1 \left[\begin{array}{rr}{2} &5 \\ 1&7 \end{array}\right]&=\left[\begin{array}{rr}{\greenD1\cdot {2}} &\greenD1\cdot 5 \\\greenD1\cdot 1&\greenD1\cdot 7 \end{array}\right]\\ \\ &=\left[\begin{array}{rr}{2} &5 \\ 1&7 \end{array}\right] \end{aligned}
Herhangi bir a gerçek sayısı için 1, dot, a, equals, a olduğundan, 1 skaleri her zaman skaler çarpımda etkisiz eleman olacaktır!

Sıfırın çarpma işlemindeki özellikleri:

0, dot, A, equals, O

Bu özellik, skaler çarpımda, 0 çarpı herhangi bir m, times, n A matrisinin, m, times, n sıfır matrisi olduğunu belirtir.
Gerçek sayı sistemindeki çarpma işleminin özellikleri nedeniyle, bu doğrudur. Eğer a bir gerçek sayıysa, 0, dot, a, equals, 0 olduğunu biliyoruz. Aşağıdaki örnek bunu göstermektedir.
0[3867]=[03080607]=[0000]\begin{aligned}\greenD0 \left[\begin{array}{rr}{3} &8 \\ 6&7 \end{array}\right]&=\left[\begin{array}{rr}{\greenD0\cdot 3} &\greenD0\cdot 8 \\ \greenD0\cdot 6&\greenD0\cdot 7 \end{array}\right]\\ \\ &=\left[\begin{array}{rr}{0} &0 \\ 0&0 \end{array}\right] \end{aligned}

c, dot, O, equals, O

Bu özellik, herhangi bir skaler çarpı bir sıfır matrisinin, aynı sıfır matrisi olduğunu belirtir.
Gene, bu özellik gerçek sayı sisteminde sıfır sayısının çarpma işlemindeki özelliği dolayısıyla doğrudur. Burada c, equals, 3 ve O'nun 2, times, 2 sıfır matrisi olduğu bir örnek bulunuyor.
3[0000]=[30303030]=[0000]\begin{aligned}\greenD 3 \left[\begin{array}{rr}{0} &0 \\ 0&0 \end{array}\right]&=\left[\begin{array}{rr}{\greenD 3 \cdot 0} &\greenD 3\cdot 0 \\ \greenD 3\cdot 0&\greenD 3\cdot 0 \end{array}\right]\\ \\ &=\left[\begin{array}{rr}{0} &0 \\ 0&0 \end{array}\right] \end{aligned}

Konuyu ne kadar anladığınızı kontrol edin

Artık skaler çarpım özelliklerinin hepsini öğrendiğinize göre, bunları denk matris ifadelerini belirlemek için kullanıp kullanamayacağınızı görelim.
Aşağıdaki problemler için, A ve B 2, times, 2 matrisler olsun ve c ve d skalerler olsun.
1) Aşağıdakilerden hangileri c, left parenthesis, 1, A, plus, B, right parenthesis ile denktir?
Doğru olan tüm cevapları seçin:

2) Aşağıdakilerden hangileri left parenthesis, c, d, right parenthesis, A, plus, 0, A ile denktir?
Doğru olan tüm cevapları seçin:

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.