Koşullu Olasılık

Diyelim ki garip şans oyunların oynandığı bir yerdeyiz ve bir masaya yaklaşıyorsunuz ve bu masada boş bir torba var. Masadaki oyun görevlisi şöyle diyor: " Burada birkaç bilye var, 3 yeşil bilye, 2 turuncu bilye ve bunları boş torbaya koyacağım." Ve gerçekten 3 yeşil bilye ve 2 turuncu bilyeyi size gösterip boş torbanın içine koyuyor. Ve şöyle devam ediyor: "Oynamanızı istediğim oyun şöyle. Bakmadan torbaya elinizi daldıracaksınız. Tabi torba şeffaf değil. İki yeşil bilye seçebilirseniz. Mesela bir bilye seçtiniz, yeşilse masaya koyarsınız ve torbadan bir bilye daha seçersiniz ve bu da yeşilse, 1 Lira kazanacaksınız. Siz de şöyle diyorsunuz, "İlginç bir oyuna benziyor peki oynamak için ne ödemem gerekiyor?" Adam diyor ki 35 kuruş. Çok düşük bahisli bir oyun yeri. Şimdi sorum şu oyunu oynamak ister miydiniz? Eğlence etmenini tabi işin içine katmayın. Ekonomik olarak yani aldığınız ve verdiğiniz olarak bu oyunu oynamak mantıklı mı? Biraz olasılıkları düşünelim. Öncelikle birinci bilyenin yeşil olma olasılığı nedir? Birinci bilyenin yeşil olma olasılığı ne, bakalım. Birinci yeşil yazayım. Birincinin yeşil olma olasılığı. Burada eşit olasılıklı 5 bilye var değil mi. Yani 5 olası sonuç var. Bunların 3'ü birinci bilyenin yeşil olma olayını gerçekleştiriyor, sağlıyor. Yani birinci bilyenin yeşil olma olasılığı 3 bölü 5. 5'te 3 şansınız var. 3 bölü 5 olasılık diyelim. Bu olasılıkla oyuna devam ediyorsunuz. Asıl ilgilendiğimiz, oyunu kazanma olasılığınız. Birincinin ve ikincinin yeşil olmasını istiyorsunuz. Şimdi şunu düşünelim. Birincinin ve ikincinin yeşil olma olasılığı nedir? Şöyle diyelim: İkincinin yeşil olma olasılığı da aynı, 3 bölü 5'tir 3 bölü 5 çarpı 3 bölü 5 eşittir 9 bölü 25 değil mi yeterince kolay. Ama ilk yeşil bilyeyle ne yaptığınız fark yaratıyor. Birinci yeşil bilyeyi çektikten sonra rengine bakıp torbaya geri atmıyorsunuz. İkinci seçimi yaparken yani ikinci defa torbadan bilye çekecekken torbada ki yeşil bilyelerin sayısı, birinci seçimde hangi bilyeyi seçtiğinize bağlı. Unutmayın, ilk bilyeyi torbadan çıkardık. Yeşil veya turuncu hangi renkse. İlk seçimden sonra bilyeyi masaya bırakıyoruz ve geri koymayacağız. Yani bunlar bağımsız olmayan olaylar. Bağımsız değil. İkinci seçim birinci seçime bağlı. Birinci seçim yeşilse, torbada üç yeşil bilye kalmıyor. Birinci seçim yeşilse, şimdi torbadaki dört bilyeden ikisi yeşil. İlk seçtiğiniz yeşil çıktıysa şimdi torbadaki dört bilyeden ikisi yeşil. Bu ikisinin birden olma olasılığını bulurken birincinin yeşil olma olasılığı çarpı şimdi yeni bir kavram geliyor, şu küçük çizgi koşullu olasılığı simgeliyor, birincinin yeşil olması koşuluna göre, ikincinin yeşil olma olasılığı, diyoruz. Şimdi birinci bilyenin yeşil olduğunu biliyorsak ikinci bilyenin yeşil olma olasılığı nedir? Bu senaryoyu burada çizmiştik. İlk bilye yeşilse, dört değişik sonuç kalır, beş değil. Bunlardan iki tanesi istediğimiz olaya uyar. Birinci bilye ve ikinci bilyenin yeşil olma olasılığı eşittir birincinin yeşil olma olasılığı ki bu 3 bölü 5 çarpı birincinin yeşil olması koşuluna göre ikincinin yeşil olma olasılığı. Şimdi torbadaki bilye sayısı 1 eksik ve birinci bilyenin yeşil olduğunu varsayıyoruz. Yani sadece iki yeşil bilye kaldı. Sonuç olarak hangi olasılığı elde ederiz? Bakalım. 3 bölü 5 çarpı 2 bölü 4 2 bölü 4 1 bölü 2 demek. Yani bu eşittir 3 bölü 5 çarpı 1 bölü 2 ve bu da eşittir 3 bölü 10. Veya 0,30 olarak da yazabiliriz. Veya birinciyi yerine koymadan iki yeşil bilye çekme olasılığımızın yüzde 30 olduğunu söyleyebiliriz. Peki bu sonuca göre, soruyu tekrar soruyorum. Bu oyunu oynamak ister miydiniz? Bu oyunu böyle çok çok çok çok defa oynadığınızda, ortalama olarak 1 Lira kazanma şansınız yüzde 30. Bunu daha önce yapmadık, ama beklenen değeriniz yüzde 30 çarpı 1 Lira olacak. Ve sonuç 30 kuruş. 1 Lirayı kazanma şansı yüzde 30 olduğu için bu oyunu bu oyunu çok defa oynadığınızda, ortalama olarak, 30 kuruş kazanmayı beklersiniz. Peki ortalama 30 kuruş kazanmak için birisine 35 kuruş ödemek ister miydiniz? Hayır! Demek ki bu oyunu oynamak istemezsiniz. Şimdi şunu düşünelim. Birinci seçimdeki yeşil bilyeyi yani bir defa torbaya elinizi daldırdınız ve yeşil bilyeyi çektiniz peki bunu geri koyabilseydiniz oyunu oynamak ister miydiniz? Oyun böyle olsa oynamak ister miydiniz acaba ve bu soruyu size bırakıyorum.