İleri Seviye Geometrik Diziler

Geometrik diziler aynen diğer diziler gibi bir sayıyla başlar, ama takip eden tüm sayılar, Bir önceki sayının aynı çarpanla çarpılmasıyla elde edilir. Peki bu ne demek? Hemen açıklayalım. A’yı, r ile çarpalım. İkinci terim ne olur? A r olur. Üçüncü terim için, İkinci terimi r ile çarpacağız, yani a r kare elde edeceğiz. dördüncü terimi bulmak için r ile bir daha çarptığımızda, A r üzeri 3 bulup, bu şekilde devam edeceğiz. Görmüş olduğunuz şekliyle, Bu, sonsuz bir geometrik dizidir. Böyle sonsuza kadar devam eder. Tabi bunu göstermenin başka yollarıda var. Mesela, daha açık bir ifade olan, An dizisi, birinci terimden yani n 1’ den, sonsuza kadar, An.. Yani genel terim eşittir, bütün terimler için, A çarpı.. Bu arada, daha iyi anlamanız için, buradaki a’nın, A çarpı r üzeri sıfır olduğunu da söyleyelim. R üzeri sıfır 1 olduğu için, İlk terim a oluyor. İkinci terim, A çarpı r üzeri 1, Ve üçüncü terim, A çarpı r kare olduğuna göre, N’inci terim, A çarpı r üzeri n eksi 1 olmalı. İşte bu yüzden buraya, A çarpı r üzeri n eksi 1 yazıyorum. İsterseniz doğru olup olmadığını kontrol edebiliriz. Mesela, ikinci terim, A çarpı r üzeri 2 eksi 1, Yani a çarpı r üzeri 1’dir! Aynen burada olduğu gibi! Bu açık olan gösterimiydi. Bir de özyinelemeli gösterimden bahsedelim. A n, N eşittir 1’den sonsuza kadar, A1 eşittir a, Buradaki durumdan bahsediyorum, Birinci terim yani a1, A çarpı r üzeri sıfır olduğu için, A’ya eşit oluyor. Buraya n eşittir 1’i ekliyorum. Devam edelim, A eşittir, Aslına bakarsanız bunu yazmama bile gerek yok, Çünkü a1’in a’ye eşit olduğu gayet açık ve net. O zaman, genel terimi, yani a n’i, bir önceki terim olan A n eksi 1 çarpı r olarak yazabiliriz! Buradaki n, 2’den büyük ya da 2’ye eşit olmak zorunda. Burada, birinci terim a, çünkü a r üzeri sıfır, A eder. Bundan sonra gelecek olan terim, Bir önceki terimle r’nin çarpımı. Yani aynı burada yazdığım gibi! Şimdi, geometrik dizilere bazı örnekler verelim. a n, N eşittir 1’den, sonsuza kadar, Genel terim eşittir, İlk terim ne olsun? 20. 20 diyelim. Evet, 20 artı, r, yani ortak çarpanda, bir sonraki terimi elde etmek için kullandığımız sayı da,1 bölü 2 olsun. 1 bölü 2 üzeri n eksi 1. Şimdi, gelin, bu dizinin neye benzediğine bakalım! 20 çarpı, n, 1’se, bu, 1 bölü 2 üzeri sıfır yani 1, 20 çarpı 1’de, 20 eder. Yani birinci terim, 20’ymiş. Bir sonraki terim için ne yapacağız? 1 bölü 2 ile çarpacağız! 20 çarpı 1 bölü 2, 10, 10 çarpı 1 bölü 2, 5, 5 çarpı 1 bölü 2, 2 virgül 5, Ya da kesir olarak yazalım, 5 bölü 2, 5 bölü 2 çarpı 1 bölü 2’de, 5 bölü 4 eder, Ve bu şekilde devam ederiz! İşte size geometrik bir dizi! Şimdi, size bir dizi vereceğim ve bana geometrik olup olmadığını söyleyeceksiniz. 1’le başlıyorum, 2, 6, 24, 120, Evet, böyle devam eden bir dizi olsun. Sizce, bu geometrik mi? Bir düşünelim. 1’den 2’ye geçmek için, 2’yle çarptık. 2’den 6’ya geçmek için, 3’le çarptık. 6’dan 24’e geçmek için 4'le. Gördüğünüz gibi, bir sonraki terimi elde etmek için, her zaman aynı çarpanı kullanmadık. Bir dizinin geometrik olabilmesi için, Aynı çarpanı kullanmanız gerekir. Burada durum böyle değil. Oluşturduğum dizide, birinci terim bu, İkinci terim için, birinci terimi 2’yle çarpıyoruz, Üçüncü terim için, ikinciyi 3’le, Yani 3 çarpı 2 çarpı a. Dördüncü terim, 4 çarpı üçüncü terim yani, 4 çarpı 3 çarpı 2 çarpı a, Evet, aynen böyle devam ediyor. Bu dizi geometrik değil, Ama bunu da, az önceki gibi gösterebiliriz! A n, N eşittir 1’den sonsuza kadar, Genel terim eşittir, bir bakalım, Dördüncü terim, 4 faktöriyel çarpı a’ya eşit, öyle değil mi? Ve buradaki a’yı düşündüğümüzde, A aslında 1’e eşit, Yani bu 1, Bu, 2 çarpı 1, Bu, 3 çarpı 2 çarpı 1, Bu da, 4 çarpı 3 çarpı 2 çarpı 1 olduğuna göre, O zaman, Genel terim, N faktöriyeldir! Tekrar ediyorum, Bu, geometrik olmayan bu dizinin açık gösterimi. Son olarak, konuya ve bu gösterimlere iyice alışmanız için, açık gösterimini yaptığımız bu dizinin, Bir de yinelemeli gösterimini yapalım. Haydi bakalım. A n, N eşittir 1’den sonsuza kadar, A1, 1’e, Takip eden terimler de, Bir önceki terim çarpı n’e eşit! İkinci terim, Birincisi çarpı 2, N’inci terim de, Bir önceki çarpı n olacak! Bu, diziyi tanımlamanın ve göstermenin başka bir yolu!