İspat: Sonlu Aritmetik Seriler Formülü

Son videoda tümevarım yöntemiyle ilk n pozitif tamsayının toplamının n çarpı n artı 1 bölü 2'ye eşit olduğunu ispatlamıştık. Bu videoda bu özdeşliğin daha kolay bir ispatını size göstermek istiyorum. Ama tümevarım kullanmayacağız. Böylece tümevarımın tek yöntem olmadığını göreceksiniz. Bir S n fonksiyonu tanımlıyoruz, S n'yi ilk n pozitif tamsayının toplamı olarak tanımlıyoruz. Yani tanımsal olarak bu, 1 artı 2 artı 3, artı n eksi 1 artı n'ye kadar. n'ye kadar, n dahil tüm pozitif tamsayılar için tanımlıyoruz. Tekrardan yazabiliriz. S n toplamını farklı bir sırada yazabiliriz. farklı bir sırada Bu, n artı n eksi 1 artı n eksi 2 artı 2 artı 1'e kadar olan toplamla aynı şey Bu iki satırı toplayabiliriz. S n artı S n, 2 çarpı S n verir. Sol tarafı topladık, şimdi sağ tarafı toplayalım. Bu toplamı iki kez almış oluyoruz. Esas ilginç olan ise, sağ taraftaki toplamı nasıl aldığımız. Bu terimi şu terimle topluyoruz, şu terimi de bu terimle topluyoruz. Bu iki ifadeyi toplamaya çalışıyoruz. İstediğimiz gibi toplarız. 1 artı n, n artı 1 olacak. Ve sonra da 2 artı n eksi 1'i bulacağız. Peki, bu nedir? Şuraya yazayım. 2 artı, n eksi 1 eşittir 2 artı n eksi 1. Bu da eşittir n artı 1. Yani bu, n artı 1 olacak. Buradaki terim, 3 artı n eksi 2 veya n eksi 2 artı 3. Bu da n artı 1 olacak. Bunu buradaki tüm terimler için yapacağız. n eksi 1 artı 2 de n artı 1 olacak. Son olarak, burada da n artı 1 olacak. Bu toplamın tamamı ne olacak? Bu n artı 1'lerden kaç tane var? n tane var. Her bir terim için bir n artı 1 var. Yani 1, 2, 3, n'ye kadar. Yani n tane n artı 1. Bir şeyi kendisiyle n kere toplarsak, bu, n çarpı n artı 1'e eşittir. Yani ilk n pozitif tamsayının toplamının iki katı eşittir n çarpı n artı 1. İki tarafı 2'ye bölersek, pozitif tamsayıların toplamını n çarpı n artı 1 bölü 2 olarak buluruz. İşte size tümevarım kullanılmayan bir ispat. Bu ispatı sadece cebir kullanarak gerçekleştirdik.