Kosinüs Çift Açı Formülü

Şekilde ABC üçgenini görüyoruz ve ABC üçgeni dik bir üçgene benziyor. Aslına bakarsanız benzemekle kalmıyor, ABC üçgeni bir dik üçgen. Neden mi? 3’ün karesi artı 4’ün karesi, 5’in karesine eşittir. Yani, bu bir 3-4-5 üçgeni. Soruda bizden istenen ise, ABC açısının 2 katının kosinüsünü bulmamız. ABC açısı burada. Bu ifadenin sonucunun ne olacağını hemen söyleyemeyiz ama ABC açısının kosinüsünün ne olduğunu biliyoruz. Evet, kosinüs ABC açısı... Kosinüs neydi? Kosinüs, komşu bölü hipotenüse eşitti. O halde, kosinüs ABC, 3 bölü 5’tir. Peki, ABC açısının sinüsü nedir, diye soracak olursam, ne dersiniz? Karşı bölü hipotenüs dersiniz, değil mi? Karşı bölü hipotenüs... Yani, 4 bölü 5 dersiniz. Eğer, ABC açısının 2 katının kosinüsünü, kosinüs ve sinüs ifadeleri şeklinde yazabilirsek, sorunun cevabını da böyle kolayca verebiliriz. Sorunun kolayca cevabını da böyle kolayca verebiliriz ve evet, elimizde bize tam da bu istediğimizi verebilecek trigonemetrik bir özdeşlik var. Bir açının iki katının kosinüsü yani kosinüs 2 teta kos kare teta, eksi sin kare teta’ya eşittir. Başka bir videoda bunu kanıtlamıştık. Evet, bu soruda ise bizi cevaba ulaştıracak özdeşlik, bizi kurtaracak olan özdeşlik olarak kullanacağız kendilerini. Bu özdeşliği soruya uyarlayacak olursak, başka bir renk kullanayım, kos ABC eşittir... Bir saniye, kos 2 ABC olarak düzeltmeliyim, değil mi? Az önce yanlış yazdım. Evet, güzel... Eşittir kos kare ABC, eksi, sin kare ABC. Kos kare ABC ve sin kare ABC’nin değerlerini biliyoruz, öyle değil mi? Kos kare ABC, 3 bölü 5’in karesine, sin kare ABC ise, 4 bölü 5’in karesine eşit. Buradan da, 9 bölü 25 eksi 16 bölü 25 elde ederiz. Bu işlemin sonucu ise, 7 bölü 25 eder. Yine saçmaladım, 16, 9’dan büyüktür. O halde bu işlemin sonucu 7 olamaz. Sonuç eksi 7 olacak. Evet, eksi 7 bölü 25. Tabi şimdi, kosinüsü pozitif bir sayı olan bir açının 2 katını aldığımızda sonucun neden negatif çıktığını merak ediyor olabilirsiniz. Evet, bize bu sorunun cevabını birim çember verecek. Burada bu soruları çözerken kullandığımız trigonometrik formüllerin hepsi, birim çemberden geliyor. x ekseni, bu da y ekseni. Birim çemberi de çizelim. İşte böyle! Birim çember üzerinde, ABC açısını şu şekilde gösterebiliriz. Gördüğünüz gibi, x koordinatı, yani kosinüsü pozitif. Şimdi bu açıyı iki katına çıkaralım. Ne olacak? Buraya bir yere gelir ve işte, şimdi, açının x koordinatının yani kosinüsünün negatif olduğunu görüyoruz. Evet, soruyu zaten çözmüştük. Buradaki bu küçük birim çember çizim ise, soruda kosinüsün pozitifken nasıl negatife dönüştüğünü, nasıl negatif bir değer aldığını bize daha iyi anlatmak içindi. Hepsi bu kadar! Dağılabilirsiniz...