İspat: Kosinüs Açı Toplam Formülü

Bir önceki videoda, sinüsü bilinen iki açının toplam formülünü kanıtlamıştık. Tahmin edebileceğiniz gibi, bu videoda da, kosinüsü bilinen 2 açının toplam formülünü kanıtlayacağız. Hemen formülü yazalım. Kosinüs x artı y eşittir, kosinüs x çarpı kosinüs y, eksi, burada artı varsa, bu eksi olur, evet, eksi sinüs x çarpı sinüs y. Sinüslü versiyonunu kanıtlamak için kullandığım yönteme çok benzeyen bir yöntem kullanacağım. Şimdi, sinüs için düşündüğümüz gibi, şekil üzerinde kosinüs x artı y’nin neye eşit olduğunu bulmaya çalışalım. x artı y, buradaki açıdır. ADF dik üçgenine baktığımızda, kosinüs, komşu bölü hipotenüs olduğundan, AF bölü hipotenüs olarak yazılabilir. Hipotenüs 1 olduğu için de, kosinüsü AF olarak buluruz. Kosinüs x artı y, AF kenarının uzunluğu. Evet, burası, buna eşit. Şunu kopyalayalım ve yapıştıralım. Evet, AF uzunluğu, kosinüs x artı y’ye eşit. Peki, bunu nasıl elde edebiliriz? Bu, buna eşit olduğuna göre, şekildeki diğer dik üçgenleri de kullanarak, AF’yi, AB uzunluğu, yani tüm bu uzunluk, eksi FB uzunluğu olarak yazabiliriz, değil mi? Yazarız. Yukarıdaki satıra bakarak, AB ve FB’nin nelere eşit olacağını da anladığınızı düşünüyorum. Evet, AB’nin buna, FB’nin de, buna eşit olduğunu kanıtlayabilirsek, istediğimizi elde ederiz. Neden? Çünkü AF’nin, AB eksi FB olduğunu biliyoruz. Kısacası, bu, eksi bunun, buna eşit olduğunu kanıtlayacağız. Tamam... Şimdi, size bir soru, AB nedir? ACB dik üçgenine bakalım. Bir önceki videodan, ADC üçgeninin hipotenüsünün 1, AC’nin de kosinüs x’e eşit olduğunu biliyoruz. Peki, AB nedir? Biraz düşünün, bulacağınızı biliyorum. AB, ölçüsü y olan açıya, komşu olan kenar, değil mi? O zaman, ekranı biraz aşağı kaydıralım. Kosinüs y, komşu bölü hipotenüsten, AB bölü kosinüs x’e eşit olur. İki tarafı da kosinüs x’le çarparsak, AB uzunluğunun, kosinüs x çarpı kosinüs y olduğunu bulduk. Gördünüz değil mi? Kanıtlayacağız dediğimizi şeyi kanıtladık! Güzel... Evet, bu uzunluk, kosinüs x’le, kosinüs y’nin çarpımına eşit. O halde geriye, FB’nin sin x çarpı sin y olduğunu kanıtlamak kalıyor. FB tuhaf bir doğru parçası. Açılarını bildiğimiz herhangi bir üçgenin bir kenarı gibi de durmuyor. Ama şekle baktığımızda, ECBF’nin bir dikdörtgen olduğunu görebiliriz. Hatta sinüslü toplam açı formülünü kanıtlarken de bu dikdörtgeni kullanmıştık. O zaman, bir daha kullanalım. Neden mi? Bakın, buradaki açı y’ye eşit. EC, y’nin karşısında olduğu için, sinüs kullanacağız. Sinüs y eşittir, karşı kenar yani EC, bölü hipotenüs, yani sinüs x. Bunu da bir önceki videoda bulmuştuk. Burası x’se, karşı kenarı, hipotenüsün 1 olduğu bir üçgende, sinüs x’e eşittir. Buraya geri dönelim. İki tarafı da sinüs x’le çarparsak, EC’yi, sinüs x çarpı sinüs y olarak buluruz ve EC, FB’ye eşit olduğu için de, FB de sinüs x çarpı sinüs y’ye eşit olur. Evet, bunun da, buna eşit olduğunu bulduk. Şahane! Kosinüs x artı y’nin AF uzunluğu olduğunu söylemiştik. AF, AB eksi FB uzunluğu olduğuna göre, AB yani kosinüs x çarpı kosinüs y, eksi FB, yani sin x çarpı sin y, AF’ye, yani kos x artı y’ye eşittir. Bu kadar.