Birim Vektörler

Bu videoda birim vektörler hakkında konuşmak istiyorum. Birim vektör, belli bir yönü olan ve uzunluğu 1 olan vektörlere denir. Örnek verecek olursak, bir vektörümüz olsun, vektör a diyelim, hemen. Ve bu vektör yatay düzlemdeki her 3 birim için, dikey düzlemde 4 birim gidiyor olsun. Bu vektör hakkında başka ne biliyoruz? Uzunluğunu bulabiliriz. Vektör a’nın uzunluğunu şu şekilde gösteriyoruz. Vektör a’nın uzunluğu Gelin bunu görselleştirelim, görsel olarak izah edelim. Yatay olarak her 3 birim için, 4 birim dikey yönde gidiyoruz. Yani a vektörü bunun gibi bir şey oluyor. Böyle bir şey işte. Peki vektörün uzunluğu nedir? Uzunluk derken bunun kaç birim ölçüsünde olduğundan bahsediyoruz. Uzunluğunu bulmak için Pisagor teorimini kullanabiliriz. Vektör a’nın uzunluğu, diğer iki kenarın karesinin toplamının kare kökü olacak. Yani vektör a, bu dik üçgenin hipotenüsü Dolayısıyla bu; 3’ün karesi artı, 4’ün karesi ya da şöyle diyelim karekök 9 artı 16 yani 25’in kare kökü olacak ki bu da 5’e eşit Belki pisagor teorimi konusundan da hatırlayacağınız gibi bu aslında 3-4-5 dik üçgenidir. Bu kenarın uzunluğu 5’tir. Yani vektör a’nın uzunluğu eşittir 5. Açıkça görüyoruz ki bu vektör, bir birim vektör değil. Bu vektörün uzunluğu 1’den büyük. Peki biz bu vektör ile aynı yöne sahip olan bir birim vektör yapmak istiyoruz diyelim. Yani vektör a ile aynı yöne sahip olacak ama uzunluğu sadece 1 olacak. Daha doğrusu istediğimiz şey, yönü vektör a ile aynı olan fakat uzunluğu onun uzunluğunun 5’te 1’i olan yani 1 olan bir vektör Peki bunu nasıl yaparız? Eğer elimizdeki tüm bileşenlerin aynı şekilde 5’te 1’ini bulursak burada vektör a’yı belirleyen bileşenlerden bahsediyoruz Ya da başka bir deyişle a’nın bileşenlerinin her birini a’nın uzunluğuna yani 5’e bölersek, bu birim vektörü yaratmış oluruz. Bunun birim vektör olduğunu belirtmek için üstüne bir ok yerine şapka koyuyoruz. Aslında hiç kafamızı karıştırmayalım ve başka bir isim verelim buna. "u" olsun. U’nun birim vektör olduğunu, herhangi bir vektör olmadığını göstermek için de üstüne şapka koyalım. Ok yerine şapka varsa bu demektir ki vektörümüz birim vektör, yani uzunluğu 1. Birim vektörü şöyle yazabiliriz, a’nın her bir bileşenini, a’nın uzunluğuna böleceğiz. Yatay olarak 3 ve dikey olarak 4 ve her ikisini de yine a’nın uzunluğuna bölüyoruz. Bu eşittir. bu arada a’nın uzunluğunu 5 olarak bulmuştuk. Dolayısıyla 3 bölü 5 yatay olarak ve dikey olarak da 4 bölü 5. Bunun sağlamasını da yapabiliriz. Bu iki bileşenle, a’nın bileşenleri aynı orana sahip. Bu nedenle aynı yönde olacaklar. Ama bu sefer u’nun uzunluğu 1 olacak. Sağlamasını yapalım Birim vektör "u" Şapkasını da düzeltelim. Bu birim vektör u’nun uzunluğu nedir? Bu iki bileşenin karelerinin toplamının kare kökü. Yani 3 bölü 5’in karesi : 9 bölü 25 artı 4 bölü 5’in karesi yani 16 bölü 25 Bu ne eder? 9 artı 16 eşittir 25 Yani 25 bölü 25’in karekökü Yani kök 1 olacak Uzunluk zaten sadece pozitif olabilir. Sonucumuz, eşittir 1. Tam olarak bizim beklediğimiz gibi. Vektör a ile aynı yöne sahip ama uzunluğu 1 bu nedenle de birim vektör