Kombinasyon Örneği: Kağıt Oyunu

36 karttan oluşan bir kağıt oyunu oynanıyor. içinde 4 kupa, 4 maça 4 sinek ve 4 tane de karo var. Her takımda 1'den 9'a kadar numaralandırılmış kartlar var. Bir el 9 karttan oluşuyor. Ve bu el oyuncu tarafından seçiliyor. Kaç tane bir bakalım 36 tane kart var, her takımda her oyuncu da 9 tane sayı var ve 4 tane takım ya da oyuncu var evet. Yani 4 kere 9 eşittir 36. Kartların 1'den 36'ya kadar olduğunu düşünelim evet ve içinden 9 tane seçelim ilk olarak 9 çizgi çizelim evet elimizde 9 kart var 1,2,3 4,5 6,7,8,9 evet Peki bunu 9 tane kart seçeceğim peki seçeceğim ilk kartı kaç olası kart arasından seçmiş olacağım? Kaç olası kart içinden arasından seçmiş olacağım 36 tane kart olduğuna göre, ilk çizgiye yazabileceğimiz 36 tane kart var bu kart şimdi elimin bir parçası olmuş oldu değil mi artık bu kartı seçtik. İkinci çizgi için bir tanesini seçmiş olduğum için bütün deste içinden seçebileceğim 35 tane kart kaldı. Aynen böyle devam ediyoruz üçüncü çizgiye de 34 olası kart kaldı. Dediğim gibi, sayılar her çizgide düşmeye devam ediyor 33'den 32'ye, sonra sırasıyla 31'e, 30, 29 ve 28'e O zaman çarpmaya başlayabiliriz. 36 çarpı 35 çarpı 34 çarpı 33 çarpı 32 çarpı 31 çarpı 30 çarpı 29 çarpı 28 olası el evet. Ama sıralamanın bir önemi yok mesela elimde 15 olsaydı ya da elimde maça 9'lu var diyelim, şuraya yazalım bir sürü kartım olduğunu düşünelim iki elim var diyelim bu birincisi bir de ikinci bir elim var 1,2,3,4,5,6,7,8 evet maçanın yanında 8 kağıdım daha var ikinci elimde ise 1 2,3,4,5 6,7,8 kağıdım ve bir de maça 9'um var maça 9 evet çok önemli bir kağıttır hiç anlamam. Evet kağıt oyunlarından hiç anlamam neyse. Bu iki eli iki farklı el olarak düşünseydik çünkü tüm kartlar aynı, ama sıraları farklı kartlar aynı olduğu için demin yaptığım hesap doğru olurdu çünkü işlem sıralamaya göre yapıldı Ama kartlar oyuncunun isteğine göre seçildiği için, sıranın bir önemi yok. Şimdi hesaplayalım. Aynı sayıdaki kartları kaç farklı yolla dizebiliriz? Fazladan saymamak için 9 kartı kaç şekilde dizebiliyorsak o sayıya bölelim 9 kart peki peki 9 kartı kaç şekilde sıralayabiliriz? Peki 9 kartım var, içlerinden birini ilk çizgiye yerleştireceğim bu da ilk çizgiyi 9 şekilde doldurabilirim demek değil mi. İlk çizgiyi 9 farklı şekilde doldurabilirim. İkinci çizgiye ise ilk çizgiye bir kart kullanmış olduğum için koyabileceğim ikinci çizgiye koyabilceğim 8 kart var. 8 yol var. ve bu sırasıyla yine böyle devam edicek sonra 7 kart kalmış olacak sonra 6,5,4,3 2 ve 1 ve son çizgiye ise koyabileceğim sadece 1 kart kalıyor. O zaman aynen böyle işlem yapıyoruz: 9 çarpı 8 çarpı 7 çarpı 6 çarpı 5 çarpı 4 çarpı 3 çarpı 2 çarpı 1 evet ya da 9. 9'la başlayıp 9'dan küçük olan her sayıyla çarpıyoruz. Aslında 9'dan küçük her doğal sayıyla çarpıyoruz. Buna 9 faktöryel diyebiliriz yanına ünlem işareti konularak ifade ediliyor. Elimiz için yapabileceğimiz tüm farklı kombinasyonları düşünecek olursak sıraya önem verseydik sayılar böyle görünecekti ama faktöryel ile yazarsak işlem hatası yapmamış oluruz Bu şekilde doğru yanıta ulaşabiliriz. Evet çarpacağımız sayı oldukça büyük bir sayı. Evet ne kadar büyük olduğuna bakalım şimdi. Birinci sayı 36 36 çarpı 35 çarpı 34 çarpı 33 çarpı 32 çarpı 31 çarpı 30 çarpı 29 çarpı 28 bölü 9. şöyle de yapabilirim bir parantez açayım, bölü parantez 9 çarpı 8 çarpı 7 çarpı 6 çarpı 5 çarpı 4 çarpı 3 çarpı 2 çarpı 1 evet umarım hesap makinesi işlemi doğru yapar. Evet eşittir eşittir evet Doksan dört milyon yüz kırk üç bin iki yüz seksen evet. Şuradan çekelim de şunu yazılar okunsun. Evet 36'dan başlayan bu sayıların çarpımı Doksan dört milyon yüz kırk üç bin iki yüz seksen ediyor. Yani bu sorunun cevabı bu. Doksan dört milyon yüz kırk üç bin iki yüz seksen tane olası el yaratılabilir. Bizim kullandığımız yol demek ki gayet mantıklı Ama mantıklı ama bir de bize tam olarak aynı cevabı verecek bir formül var. Onu da şöyle anlatalım: Şimdi, elimize 36 tane şey var şey ve içinden 9'unu bu 9 şeyi seçeceğiz. Sırayı önemsemiyoruz, dolayısıyla N veya K olarak yazılabilir. Evet şimdi peki burada ne yaptık? Şöyle anlatayım 36 sayı var 9'unu seçtik 36 faktöryel yazalım ama 36 faktöryel 27, 26, 25 diye küçülmeye ve çarpılmaya devam eder ama biz 9 sayı sonra yani 9 sayı seçtikten sonra duracağız yani bu gruba toptan 36 faktöryel diyebiliriz ama işlemi 36 faktöryel bölü 36 eksi 9 faktöryel diye yapacağız 36 faktöriyel bölü 36 eksi 9 faktöriyel evet 36'dan 9 çıkarsa 27 yani 27 faktöryel oluyor. 36 faktöryeli açarsak 36 çarpı 35 çarpı 34'ten ta 1'e ulaşana kadar çarpmaya devam ederiz. Bu 36 faktöryel ise 36 eksi 9 27 faktöryel eder. 27 faktöryel ile bölmeye başlayabiliriz O da aynı 36 gibi 27'den 26'ya, 25'e yani sırasıyla küçülerek çarpılacak. 1'e kadar inecek böylece. Deminki işlem de son yaptığımız işlem de bizi aynı sonuca götürüyor. 27 kere 26, bu ve bu birbirini götürüyor. 36 bölü 36 eksi 9 faktöryel işleminde 36 faktöryelin en büyük ilk 9 terimi bulunuyor. Yani burada yaptığımızın aynısı işte bu kadar 9 faktöryel ile böldüğümüzde de şuraya yazalım Bu gösterdiğime de 36'nın 9'lu kombinasyonu diyebiliriz. Evet bazen bu formül n'in r'li kombinasyonu olarak da yazılır. Yani, n'in r'li kombinasyonu eşittir, n faktöryel bölü n eksi k faktöryel ve bölende bir k faktöryel daha var. Eğer sıralama önemli değilse ve işlemde 'n' varsa, ve bu N'lerden K'lar seçiliyorsa kullanılan genel formül budur. Sadece seçilen k'lar önemlidir, seçim esnasındaki sıralama önemli değil. Bizim yaptığımız da aynen bu.