Koşullu Olasılık ve Bağımsız Olaylar

Olasılık konusunda iki olayın bağımsız olduğunu söylediğimizde, bir olayın olmasının diğer olayın olasılığını değiştirmediğini söylüyoruz.

Örneğin, hilesiz bir paranın yazı tura atışında "tura" gelmesinin olasılığı $1/2$‍'dir. Peki ya yazı tura atılan günün Salı günü olduğunu bilseydik? Bu, "tura" gelmesi olasılığı değiştirir miydi? Tabii ki değiştirmezdi. Salı olduğu bilindiğinde, paranın "tura" gelmesinin olasılığı hala $1/2$‍'dir. O zaman, yazı tura atışının sonucuyla günün Salı olması bağımsız olaylardır; Salı olduğunu bilmek, paranın "tura" gelmesinin olasılığını değiştirmez.

Ancak her durumun anlaşılması bu kadar kolay olmayabilir. Ya cinsiyet veya hangi elin kullanıldığı (solak ve sağlak)? Bir kişinin cinsiyetiyle solak veya sağlak olması tamamen bağımsız olaylar gibi görünmektedir. Yine de olasılıklara baktığımızda, tüm kişilerin $\mathrm{\%}10$‍'unun solak, ama erkeklerin yaklaşık $\mathrm{\%}12$‍'sinin solak olduğunu görürüz. O zaman, bu olaylar bağımsız değildir, çünkü rasgele bir kişinin erkek olduğunu bilmek o kişinin solak olmasının olasılığını artırır.

Buradaki püf noktası, bağımsızlık durumuna olasılıklara bakarak karar vermektir.

Eğer $P(\text{A }|\text{ B})=P(\text{A})$‍ ve $P(\text{B }|\text{ A})=P(\text{B})$‍ ise, iki olayın bağımsız olduğunu söyleyebiliriz.

Araştırmacılar, iki üniversitenin son dönemdeki mezunlarıyla yıllık gelirleriyle ilgili bir anket yaptı. Aşağıdaki iki yönlü tablo bu ankete katılan $300$‍ öğrenciden elde edilen veriyi göstermektedir.

Bu veriden rasgele bir mezun seçtiğimizi varsayın.

"Gelirin "40.000 TL ve üstü" olması ve "B Üniversitesi"nden mezun olma olayları bağımsız mıdır?

Koşullu olasılıkla kontrol edelim.

İşte önceki örnekteki veriler:

Bu veriden rasgele bir mezun seçtiğimizi varsayın.

Koşullu olasılıkla kontrol edelim.

Gerçek veri setlerindeki olayların bağımsızlığına baktığımızda, eşit olasılıklar elde etmek çok nadir görülür. Şans oyunları içermeyen neredeyse tüm gerçek olaylar bir derece bağımlıdır.

Pratikte, genelde olayların bağımsız olduğunu varsayarız ve örneklem verisi ile bu varsayımı test ederiz. Olasılıklar çok farklıysa, olayların bağımsız olmadığı sonucuna varırız. Çıkarımsal istatistik konusunda bu süreç hakkında daha çok şey öğreneceğiz.

Son olarak, veriler iyi tasarlanmış bir deneyden gelmediği sürece, neden sonuç ilişkisi hakkında bir sonuca varmaktan kaçının. Soruyu zorlaştırmak için, 2. Örnekteki iki üniversite mezununun gelirleri arasındaki farkı yaratabilecek başka dış etkenler —üniversiteler dışında— aklınıza geliyor mu?