En Az Bir Tura Gelme Olasılığı

Evet, artık daha ilginç problemler yapmaya başlayabiliriz. Olasılıklarda her zaman daha ilginç problemlere rastlayabilirsiniz. Mesela hilesiz bir madeni para alıp üç kere yazı tura atıyorum. En az bir kere tura gelme olasılığını bulmak istiyorum. 3 atışta 1 tura. Bunu bulmanın en kolay yolu kaç olası sonuç vardır diye bakmak. Son videoda parayı 3 kez attığımızda 8 olası sonuç çıkıyordu. İlk atış için 2 olasılık ikinci atış için 2 olasılık ve üçüncü atış için yine 2 olasılık var. Eğer parayı 3 kez atıyorsam 8 olasılık var. Bu olasılıkların hangisinde en az bir tura var? Şimdi tüm olasılıkları yazdığımıza göre sayarak bulabiliriz. 1, 2, 3 4 5, 6, 7. Olasılıkların 7 tanesinde en az 1 tura var. 8 olasılıktan 7'sinde en az bir tura var. Olasılıkları yazarak bulabilirsiniz ama eğer 20 atışta en az bir tura deseydim bu zor olurdu. Hemde çok zor olurdu. Burada kullanabildik çünkü sadece 3 atış yaptık. Ve bu 3 atış için olasılık tablomuz. 20 atış için bunu yapmaya kalksaydık ohooo bayağı büyük zaman kaybı olurdu. Peki bunun kısa bir yolu var mı? Bunu tura gelme olasılığı çarpı tura gelme olasılığıdır. Çünkü ilk atışta tura gelirse ikincide de gelmek zorunda değildir gibi bir basit düşünce ile bulamazsınız. Ama burada bu metodu kullanarak kolay yoldan yapabiliriz. Bunlar sınavlarda çok çok daha zormuş gibi gösteriliyorlar. Ama konuya doğru bakış açısından bakarsanız her şey çok daha kolay bir hal alacaktır. Başka bir bakışla 3 atışta en az bir tura gelme olasılığı, hepsinin yazı gelmeme olasılığı ile aynıdır. Eğer hepsi yazı gelseydi hiç tura gelmemiş olacaktı. O zaman bu ikisi eşit. 3 atışta 1 tura ile hepsinin yazı gelmemesi olasılığı birbirine eşit. Peki hepsinin tura gelmeme olasılığı kaç? Bu, 1 eksi Hepsinin yazı gelme olasılığı'dır. Çünkü diğer her durumda en az 1 tura olacak. Bu da tüm olasılıklar. Bu da kalan tek olasılık. İkisini toplarsanız 1 edecek. Şimdi bunların nereden geldiğini anlamanız için yazıyorum. Hepsinin yazı gelmeme olasılığı artı hepsinin yazı gelme olasılığı tüm olasılıklar bunlar. Bunlar bu arada ayrık olaylar. O zaman toplayabiliriz. Hepsinin yazı gelmeme olasılığı ya da hepsinin yazı gelme olasılığının toplamı 1'dir. Bunlar ayrık olaylar. Ya hepsi yazı olmayacak yani tura da işin içine girecek ya da hepsi yazı olacak. İkisi aynı anda olamaz. Ayrık olaylar oldukları için ya birinin ya da diğerinin gerçekleşeceğini söylüyoruz. O zaman olasılıkları toplayınca tüm olasılıkları elde ederiz, değil mi? Bunları toplayınca herhangi bir olayın olma olasılığını elde ediyoruz ki bu da 1 ya da yüzde 100'dür. Başka bir şekli hepsinin yazı olmaması. Bu da 1 eksi hepsinin yazı olma olasılığı. Burada yaptığımız da bu. Hepsinin yazı olma olasılığı çok açık 1 bölü 2. Çünkü her atışta yazı gelme olasılığı, 1 bölü 2. 1 eksi hepsinin yazı gelme olasılığı. İlk atışta yazı gelme olasılığı 1 bölü 2. İkinci de de yazı üçüncüde de yazı. 1 bölü 2 çarpı 1 bölü 2 çarpı 1 bölü 2 eşittir 1 bölü 8. 1 eksi 7 bölü 8 ya da 8 bölü 8 eksi 1 bölü 8 eşittir 7 bölü 8. Şimdi bunu tek tek yazması zor olan bir probleme uygulayalım. Mesela 10 atış. 10 atışta en az 1 tura gelme olasılığı nedir? Aynı şekilde bu da hepsinin yazı gelmeme olasılığına eşit olacak. Her atışta yazı gelmemesi olasılığı. Bunu da 1 eksi 10 kere yazı atma olasılığı. Evet, bu da ne edecek? 1 eksi 1 bölü 2 çarpı 1 bölü 2 çarpı 1 bölü 2. Evet 10 kere çarpıyoruz. 5, 6 7, 8 9, ve 10. Evet, pay 1 olacak. Sonuç 1 eksi pay 10 kere kendisi ve payda da öyle. Buda 2 çarpı 2, 4. 4 çarpı 2, 8. 16, 32, 64 128, 256, 512 ve 1024. 1 bölü 1024. Bu da şu demek: 1024 bölü 1024 eksi 1 bölü 1024. Bu da ne eder? 1023 bölü 1024 eder. Ortak bir paydamız var. Hilesiz bir madeni parayı 10 kez art arda atarsanız en az bir kere tura gelme olasılığı çok yüksek. 1023 bölü 1024. Yani 1024'te 1023. Evet, bunu bir hesap makinesiyle yüzde olarak da hesaplayabiliriz. 1023 bölü 1024 ne ediyormuş? Yüzde 99 nokta 9. Evet, yüzde 99, 9 olasılıkla en az bir kez tura gelecek. Bu yuvarlanmış hali. Tabii aslında bundan birazcık daha fazla. Evet, bu iyi bir bakış açısı. Çünkü tüm olasılıkları yazmak sonsuza kadar sürerdi. 1024 tane yazılabilecek olasılık var. Hepsini yazmak imkansız. Ama başka bir açıdan yaklaşıp 10 atışta en az bir tura gelmesi hepsinin yazı gelmemesi ile aynı olasılıktır diye düşünürseniz çok daha kolay olur. Bu da 1 eksi hepsinin yazı gelme olasılığıdır. Bu, işinizi çok çok kolaylaştırır.