Ana içerik

Konu: İstatistik ve Olasılık > Ünite 9

Ders 3: Binom Rassal Değişkenleri

Binom Olasılık (Temel)

Problem 1: Serbest Atışlar ile Kavramı Anlayalım

Semih'in attığı serbest atış denemelerinin %

90

'ı isabetli. Semih

3

serbest atış yapacaktır. Serbest atışlarının sonuçlarının birbirinden bağımsız olduğunu varsayın.

$3$ ‍ serbest atıştan tam olarak $2$ ‍ tanesinin isabetli olmasının olasılığını bulmak istiyor.

Problemi anlamak için, problemi parçalara bölelim.

problem A

Eğer serbest atışlardan $2$ ‍ tanesi isabetli olursa, bu kaç tane serbest atışı kaçırmış olduğu anlamına gelir?

problem b

İlk $2$ ‍ serbest atışın isabetli olmasının ve üçüncü serbest atışı kaçırması olasılığını bulun.
Eğer gerekirse, cevabınızı en yakın yüzde birliğe yuvarlayın.

P (atma, atma, kaçırma) =

problem c

Semih'in

3

serbest atış denemesinde

2

'sinin isabetli olmasının tek yolu ''isabet, isabet, ıska'' değildir.

İlk serbest atışın isabetli olması, ikinciyi ıskalaması ve sonra üçüncü serbest atışın isabetli olmasının olasılığını bulun.
Eğer gerekirse, cevabınızı en yakın yüzde birliğe yuvarlayın.

P (atma, kaçırma, atma) =

problem d

Eğer sonuçları ''ıska, isabet, isabet'' ise, Semih yine

2

atış yapabilir.

İlk serbest atışı ıskalaması ve sonraki $2$ ‍ serbest atışın isabetli olmasının olasılığını bulun.
Eğer gerekirse, cevabınızı en yakın yüzde birliğe yuvarlayın.

P (ıska, isabet, isabet) =

problem E

Kombinasyon formülünü kullanarak, bu $3$ ‍ yolun, $3$ ‍ denemede $2$ ‍ isabeti düzenleyebileceğimiz yolların tümünü temsil ettiğini teyit edin.

_{n} C_{k} = \frac{n!}{(n - k)! \cdot k!}

_{3} C_{2} =

yol

problem f

Şimdi, $3$ ‍ serbest atıştan tam olarak $2$ ‍ tanesinin isabetli olmasının olasılığını bulmak için hepsini bir araya getirin.
Eğer gerekirse, cevabınızı en yakın yüzde birliğe yuvarlayın.

P (3 serbest atıştan 2 tanesi isabetli) = P (S S F) + P (S F S) + P (F S S)

P (3 serbest atıştan 2 tanesi isabetli) =

1. Problemi genelleştirelim: Kullanabileceğimiz bir formül elde edelim

Problem 1'de, aynı sonucun farklı düzenlemelerinin her birinin aynı olasılığa sahip olduğunu gördük.

Binom düzeni olarak adlandırılan bu problem türü için bir formül geliştirebiliriz. Bir binom olasılık probleminin özellikleri:

belirli bir deneme sayısı $(n)$ ‍ olması
her denemenin, ''başarı'' veya ''başarısızlık'' olarak sınıflandırılabilmesi
her denemenin başarı olasılığının $(p)$ ‍ eşit olması
her denemenin sonucunun, diğer denemelerden bağımsız olması

Binom olasılık için genel stratejimizin özeti şöyledir:

\begin{aligned} P (\overset{tam olarak #}{atış yapma}) \\ = (\overset{#}{durum}) \cdot {(\overset{başarı}{olasılığı})}^{(\overset{#}{başarı})} \cdot {(\overset{başarısızlık}{olasılığı})}^{(\overset{başarısızlık}{#})} \end{aligned}

Problem 1'deki örneği kullanarak:

$n = 3$ ‍ serbest atış
her serbest atış bir ''isabet'' (başarı) veya ''ıska'' (başarısızlık) ile sonuçlanır.
bir serbest atışın isabetli olmasının olasılığı $p = 0, 90$ ‍'dır
serbest atışların birbirinden bağımsız olduğunu varsayın

\begin{aligned} P (3 serbest atışın 2 tanesi isabetli) & =_{3} C_{2} \cdot (0, 90)^{2} \cdot (0, 10)^{1} \\ = 3 \cdot 0, 81 \cdot 0, 10 \\ = 3 \cdot 0, 081 \\ = 0, 243 \end{aligned}

Genel olarak...

P (tam olarak k başarı) =_{n} C_{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}

Başka bir problemi çözmek için bu stratejileri kullanmayı deneyin.

Problem 2

Semih'in erkek kardeşi Lütfü'nün attığı serbest atışın isabetli olmasının olasılığı sadece

20 %

'dir. Lütfü

4

serbest atış yapacak.

$4$ ‍ serbest atışın tam olarak $2$ ‍ tanesinin isabetli olmasının olasılığı nedir?

P (tam olarak 2 isabet) =

Zor problem

Semih eğer

4

serbest atıştan

3

veya daha fazlasında isabeti bulursa Lütfü'ye dondurma almaya söz verir.

$4$ ‍ serbest atıştan $3$ ‍ veya daha fazlasının isabetli olmasının olasılığı nedir?

P (3 veya daha fazla atma) =

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.