Poisson Süreci 2

o Pekala devam etmek için ihtiyacımız olan her şey Elimizin altında bir önceki videoda bir sokakta bir saatte kaç araba geçeceğinin olasılığını modellemeye çalışıyorduk yaptığımız ilk şey sokağa yerleşik birkaç saat araba sayarak rassal değişken imiz için iyi bir beklenen değer bulmaktır asal değişkenin ne olduğunu da hemen hatırlayalım ekstra sal değişkeninin sokağın belirli bir noktasından Belirli bir zaman aralığında Yani bir saatte geçen araba sayısı olarak tanımlamıştı kaz önce de söylediğim gibi birkaç saat sokakta oturup arabaları saymış ve bunun için oldukça iyi tahmini bir değer elde etmiştik bu değeri dayland da olarak adlandırılmıştır sonra bunu bir 1010 dağılımıyla modeller Sen ne olur diye düşünmeye başlamıştı bu Eğer 1010 dağılımına sahip selam da deneme sayısı çarı başarı olasılığına eşit olur bizim örneğimizde ki denemeyi de belirli bir zaman aralığı olarak belirlemişti bir saat içerisindeki başarı sayısı Evet bu daha kısa bir zaman aralığındaki başarı sayısı olur burada daha kısa Aralık'taki başarı sayısı Bir önceki videoda bunun denemesini de yapmıştık aralığı bir saat yerine bir dakika olarak belirlemişti o zaman bu da bir dakika içindeki başarı sayısı olmuştum ne demek istediğimi daha iyi anlayabilmeniz için bir dakika içinde geçen araba sayısı dersem Belki daha iyi olacak Sonra bu da yetmemiş ve bunun dakika yerine saniye Bunu da saniyede geçen araba sayısı olduğunu değerlendirmeye başlamıştık Tabii ki de her şey bulunmadı bitmemişti Çünkü bir saniye içinde bile bir arabadan fazla araba geçebilmesi olasılığından bahsedebilir dik Bu yüzden de bu sonsuza giderken limit alıp Sonuç olarak nasıl bir şey elde edeceğimizi görmemiz gerekiyor şimdi Hadi devam edelim bunun bu sonsuza giderken limitini alacağımız bir binom dağılımı olduğunu düşüneceğiz Evet böyle demiştik x belirli bir sayıya eşit olacak Örneğin bir saatte tanıtım 13 araba geçme olasılığını bulmak istiyor olabiliriz Evet eşittir en sonsuza giderken enden Kağıthane seçeceğiz neden diyecek olursanız bu zaman aralığında başarılı olduğumuz Kağıthane durum olacak öyle değilim ve en sonsuza giderken bu aralıklar çok ama çok küçük aralıklar olmaya başlayacak demek istediğim Bunlar çok ama çok küçük anlardan başka bir şey olmayacak bunun sonsuz sayıda küçük an bunun da bu anlardan başarılı olanlar olduğunu düşünün örnek olarak 3 araba geçmesinin olasılığını bulmak istediğimiz için arabanın geçtiği 3 an olduğunu söyleyebiliriz 7 arabada olabilir zaman içerisinde arabanın geçtiği ve başarılı olduğumuz 7 anten tane andan Kağıthane başarılı olduğumuz anı seçeceğiz ve bunu başarılı olasılığı ile çarpacağız Peki başarılı olma olasılığınız nedir buraya geri dönerim p neye eşittir lan da bölüne o öyle değil ne çarpıp Elon da eşitse şuraya yazıyım veranda bölü neye eşittir Bu durumda başarı olasılığını buraya lan da bölüne olarak yazabilirim Kağıthane başarı elde etmemiz in olasılığı dediğimizde de bunun kuvvetini alacağız başarısız olmamızın olasılığı ise bir eksi başarı olasılığı Yani bir eksi lan da bölü en üzeri bu zaman aralığında araba geçmeyen alanların sayısı yani ne eksik şimdi ne yapabiliriz dersiniz bir kere daha renklendirerek yazayım en sonsuza giderken limit şu 1010 katsayısını yazayım en faktöryel bölümü en eksik a faktöryel çarpık a faktörler sıralarını değiştirip de yazabiliriz ama aynı oldukları için böyle yazmam da herhangi bir sorun yok o lamda üzeri K bölümü en üzeri K Evet bunu da bir ek Sealand da bölümü en üzeri en çarpı bir eksi lan ta bölü en üzeri eksik a olarak yazabilirim Öyle değil mi tabağın aynı olduğunda Kuvvetleri bu şekilde ayırabiliriz şimdi biraz daha basit değiştirebilir miyim Ne dersiniz bu ikisinin yerini değiştirdi Bu ikisini tek bir kesir olarak kabul edersek bunların yerlerinde değiştirebiliriz buradan devam ediyorum ve Mehmet en sonsuza giderken renk çok daha iyi olmadığı bir önceki videoda buna benzeyen bir şey göstermiştim ve Buna ihtiyacımız olacağını söylemiştim hatırlıyorsunuz bu ne eşittir en faktöryel bölüğe Meksika faktöryel en çarpıcı en -1 çarpı en -2 şeklinde başlayıp en eksik a artı bire kadar mi Evet buraya kadar devam ediyor bu mesela 7 -2 faktörler olsaydı sonuç7 çarpı 6'ya eşit olacak 7 -2 artı 16 eder Öyle değil Bu bir önceki videoda zaten görmüştük ve Buna ek olarak burada tamı tamına Kağıthane Terim olacağını da görmüştük Bu şekilde sayarsak 1 2 3 ve bunun kanunu Maralı Terim olacağını söyleyebiliriz Evet bunu bu şekilde yazdıktan sonra az önce de söylediğim gibi bunların yerlerini değiştirelim bölümü en üzeri K yazıyorum Evet çarpılan da üzeri Kanka Bölük a faktör yer ve bakalım geriye ne kaldı buraya yazayım bir eksi lan da bölü en üzeri en çarpı bir eksi lamda bölü en üzeri eksik ve artık limit almaya hazır hadi bakalım size limit ile ilgili bir özellik daha bu istiyorum x aya giderken efix çarpı geleceksin limitini x aya giderken epik sin limiti çarpık x aya giderken gereksin limiti olarak yazabilir başka bir de içine iki fonksiyonun çarpımının limitini fonksiyonların limitlerinin çarpımı olarak yazabileceğim Söylüyorum Evet bu şekilde yap yazıyor düzgün bir renk seçeceğim ve en sonsuza giderken Burası Yani en çarpıcı en -1 çarpı eksi iki çarpı en eksik a artı bir neye benzer bir polinoma öyle değil birden fazla 1010 var Ve bunları birbiriyle çarpıyoruz bunu da K defa yapıyoruz bu da en büyük derecede Terim'in üzerinin kan olacağı anlamına gelir Evet Buradan en üzeri K artı bir şey çarpı en güzeli k -1 gibi şeyler gelir K dereceli bir Polo bu yeterli olur bu en sonsuza giderken limit en üzeri K artı bir şeyler onları nokta nokta olarak bırakacağım bunların çarpımından buna benzeyen bir şey elde edeceğiz bölüne üzeri kayıda unutmayalım Evet bu kısım bitti çarpı limit en sonsuza giderken Bu arada bunun için endişelenmenize gerek yok çünkü bu bir sabit başa bile alabilirim Öyle değil mi çarpılan da üzeri K Bölük a faktör yer burada en olmadığı için bu ona göre bir sabit olarak kabul edin öyle değil çarpı limit en sonsuza giderken bir eksi lamda bölümü en üzeri en çarpı bir eksi lamda bölümü en üzeri eksik Ahmet Peki yazamadım yani bunları okuması biraz zor farkındayım ama ne olur idare edin Şimdi gelelim bunun limitine en sonsuza giderken bir polinomun Limited 350k ile başlayan ve devamında derecesi kağıdından daha küçük bir sürü terim olan bir polinom Evet bundan bahsediyorum en yüksek derecede Terim bu ve ayrıca paydada ne üzeri kavar başka bir değişle en yüksek dereceli terimlerin dereceleri Bu da limitin 1'e eşit olacağı anlamına gelir isterseniz şöyle düşünebilirsiniz pay ve paydayı en güzeli Kaya bölelim buradan bir artı paydasında en olan terimler gelir Burası da bir eder ve en sonsuza giderken buradaki diğer tüm terimler sıfır olacağı için de geriye bir bir Yani bir kalır nasıl düşünürseniz düşünün ay ve payda derecesi aynı olan terimler olduğunda katsayılarının oranı limidir yani burada bir arka bir çarpılan da üzeri K Bölük a faktör yer sıra geldi en sonsuza giderken bunun limiti Bu bir eksi lan da bölümü en üzeri en bundan önceki videoda gördüğümüz gibi isterseniz isterseniz buraya bir kere daha not değil limit en sonsuza giderken bir artı ama bölümü en üzeri enine üzeri aya eşit olduğunu söylemiştim Bunlar birbirine çok benziyor aradaki Tek fark buradaki a yerine eksi Londra olması öyle değil o halde bu da Ee üzeri eksi Lambaya eşit olur Mehmet A yerine eksi lampa yazdım bu da hepsini Excel ama eşit oldu son olarak bir de bu var bir kere daha yazayım Break Sealand da bölümü en üzeri eksik en sonsuza giderken onu limiti ne olur lan ta sabit bu Eğer sonsuza giderse Terim sıfır olur yani geriye bir üzeri eksik kalır birim kuvveti ne olursa olsun sonuç bir olduğu için 11 eşit olacağını söyle de bir tane daha bir geldi işte bu kadar rassal değişken imizin yani Belirli bir zaman aralığında geçen araba sayısının belirli bir değere eşit olmasının olasılığı ki bu bir saatte yedi tane araba geçmesi olabilir limit en sonsuza giderken enden Kağıthane seçiyoruz çarpılan ta bölüp en üzeri K çarpı bir eksi Land A bölümü en üzeri en eksik A burada gördüğümüz ya da bulduğumuz diyeyim Evet burada buz gibi rampa üzeri K Bölük a faktöryel çarpı e üzeri eksi lamda Evet bunun buna eşit olduğunu biliyoruz harika bir sonuç öyle değil mi Bunu bu şekilde ifade etmenin de faydalı olduğunu düşünüyorum Çünkü bu ifadeyi bu şekilde tek başına gördüğünüzde bunun 1010 teoremine bir şekilde bağlı olduğu Ak ve sonucundan bile geçmez Düşünsenize içinde e var faktöryel var böyle bir ifade Evet bunun bir 10 Teoremi ile ilişkili olduğu hiç açık değil zaman aralıkları giderek küçülürken Bu aralıklardaki başarı olasılığı da küçülür ve limit aldığımızda da elde ederiz biraz düşünürseniz aslında mantıklı olduğunu göreceksiniz eğlenin tanımlarından biri bileşik faiz den geliyordu Ve burada yaptığımız da aslında Bileşik faizle çok benziyor çok çok küçük aralıklarda faiz aldık ve aralıklarla uyguladığımız yüzlere giderek küçülür limit aldık ve Eyüp diye düşünebiliriz buradaki formülle zaten bu mantıklı geliyor Her neyse artık bunu nereden geldiğini biliyorsunuz Şimdi de trafik mühendisi olduğunu ve bir saatte ortalama Dokuz araba geçtiğini bulduğumu düşünelim bu beklenen değer Evet belirli bir saatte sokaktan Dokuz araba geçiyor bende de belirli bir saatte iki araba geçmesinin olasılığını bulmak istiyor Bu 9 üzere 12 bölü iki faktöryel çarpı e üzeri eksi dokuza eşittir 81/2 çarpı e üzeri -9 isterseniz tam değerinde hesaplayabilirsiniz ya daha ya da bunu ben yapayım Siz yapıp bir sonraki videoda görüşmek üzere bu