Geometrik rassal değişkenin beklenen değerinin ispatı

Merhaba arkadaşlar! Gördüğünüz üzere karşımızda sıradan geometrik rassal bi değişken var. Bu değişkenimizi başarılı olmak için gereken bağımsız deneme sayısı ve ayrıca her bir denemenin başarı olasılığını küçük p olarak tanımlamışız. bunu daha önce geometrik rassal değişkenleri giriş yaptığımız zaman da görmüştük. Bu videodaki amacımız bunun gibi bir geometrik rassal değişkenin beklenen değerini bulmak. Size bunun ne olduğunu söylüycam. İlerdeki videolarda da bunun uygulamalarını yapıcaz, merak etmeyin. Ama bu videoda yanlızca matematiksel kanıtını görücaz. Bir geometrik rassal değişkenin beklenen değeri, verilen sayıdaki denemede 1/ "başarı olasılığı" na eşit olur. Şimdi bunu kanıtlamaya çalışalım. Bir geometrik rassal değişkenin beklenen değeri. Her bir sonucun karşılık gelen olasılıklarıyla olan çarpımının toplamı ile bulabiliriz. Yani şöyle sunu söylemek istiyorum. Rassal değişkenimiz = 1 olduğundaki olasılığı * 1 + rassal değişkenimiz = 2 olduğundaki olasılığı * 2 diye devam ederek beklenen değeri elde edebiliriz. Ve bir geometrik rassal değişken yanlızca bir.. iki.. üç.. dört.. gibi değerler alabilir. Sıfır olamaz çünkü deneme olmadan başarı olasılığından bahsedemeyiz diğil mi? :) Peki, bu işlem sonucunda ne buluyoruz. Bunun için önce ilk denemedeki başarı olasılığımıza bakalım. Burası P olucak değil mi? Peyki.. 2. deneme için ne söyleyebiliriz? İlk denemede başarısız olup 2. denemede başarılı olma olasılığımız nedir? Bunu daa 1-P yani ilk denemede başarısız olma olasılığımız * 2. denemede başarılı olma olasılığımız yani P şeklinde yazabiliriz. Buraya bir kaç terim daha ekleyelim. Şunları silip yerine bir iki terim daha yazayım. Bir sonraki terim x=2 olduğundaki olasılığımız. Pardon burası x=3 olucak. x=3 olduğundaki olasılığımız * 3 diyerek devam edicaz diğil mi... Peeki bu terim için ne söyleyebiliriz? X=3 olduğu zamandaki olasılığı elde etmek içiiiin ilk iki denemenin başarısız olması gerekiyor. İki başarısız denemenin olasılığı 1 - P nin karesi olur öyle değil mi, ardından da bir başarılı deneme olması gerekir. Buradaki genel fikri anladığınızı düşünüyorum. Yazdıklarımızı tekrarda düzgün bir şekilde yazalım. Beklenen değer en azından bu kanıtta kullandığımız x 'in beklenen değeri eşittir.. bunu şöyle yazayım: 1 * p +2 *p * (1-p) + 3 *p *(1-p) ^2 ve bu işlem sonsuza kadar devam eder. Peyykii Bu toplamı nasıl hesaplayabiliriz.. ? Burada biraz matematiğin esnekliğinden faydalanıcağız. Ama yapıcağımız herşey geçerli olucak merak etmeyin :) Eğer içinizde sonsuz geometrik serilerin toplam kanıtını bilenleriniz varsaa burada da çok benzer bir teknik kullanıcağım. Burada düşünmemiz gereken şey şu: 1-p * x in beklenen değeri neye eşit olur. İlk olarak buradaki bütün terimleri 1-p ile çarpmamız gerekiyor. O zaman 1 *p *(1-p) Bu ilk terimimizin yeni hali. 2*p * (1-p) den ne gelicek... o da.. 2 *p*(1-p)*(1-p) olucak yani buradan 2* p*(1-p) ^2 ni elde edeceğiz değil mi Büyük ihtimalle bunun nasıl devam ediceğini anlamışsınızdır. Şimdi ise çok ilginç ve eğlenceli bir şey yapıcağız. En azından matematiksel olarak. Sol tarafın sağ tarafa eşit olduğunu biliyoruz. O zaman her iki taraftan da sol taraftaki ifadeyi çıkaralım. Sol tarafta x'in beklenen değeri / bu yukarıdaki eşitlikten geldi / - yeni eşitlikteki sol taraf (1-p)* x 'in beklenen değeri kalır. Burada tek yaptığımız şey sol tarafın yeni halini eski halinden çıkarmak oldu. Aynı şekilde bunu sağ taraftan da çıkaralım ama bu sefer sol taraftaki ifadeyi olduğu gibi çıkarmak yerine o ifadenin eşit olduğu sağ taraftaki ifadeyi çıkarmayı deniyelim. Nasıl olsa ikisi birbirine eşit öyle diğil mi? Peyyykkii.. Nasıl bir sonuç elde ederiz şimdi bakalım. İlk olarak elimizde 1* p var. Şimdi 2* p * (1-p) den..1*p*(1-p) yi çıkarırsak geriye 1*p*(1-p) kalıyor öyle diğil mi? Benzer şekilde diğer çıkarma işleminden de 1 *p* (1-p) ^2 elde ediyoruz ve toplam bu şekilde sonsuza gidiyor... Şimdi bir de sol tarafı biraz daha sadeleştirelim. Eksiyi parantezin içine dağıtırsak burası p-1 olur. Bir de x'in beklenen değerini parantez içine dağıtalım ve bakalım ne buluyoruz.. Ekranı biraz aşağı kaydırayıımm.. İşlemler buraya sıkışmasın. Şimdi x'in beklenen değeri + p * x' in beklenen değeri - x'in beklenen değeri gördüğünüz gibi bunlar birbirini götürdü Bu da eşittir p+ p*(1-p) + p*(1-p)^2 diye devam eden toplama eşit oldu. Eşitliğin sol tarafında geriye p * x'in beklenen değeri kaldı. X'in beklenen değeri için denklemi çözmek istersek her iki tarafı da p ye bölmemiz gerekir. Ve biraz matematiksel jimnastik sonucunda elde ettiğimiz sonuuuuçç, Her iki tarafı da p ye böldük .. Sol tarafta sadece x'in beklenen değeri kadı. Sağ taraftaki bütün terimleri p ye bölersek İlk terim 1 olur, ikinci terim 1-p oluur. Üçüncü terim de p ye bölününce + (1-p)^2 olur ve bu böyle devam ederek sonsuza gider. Bu eşitliğin en güzel tarafı ortak oranı 1-p olan klasik bir geometrik seri açılımına benzemesi. Buna geometrik rassal değişken denmesinin temel nedenlerinden biri de aslında aynı zamanda bu. Ama eğer bu size yabancı geldiyse Khan Akademi'deki geometrik serileri tekrar etmenizi öneririm. Başka videolarda da az önce kullandığımız tekniğe benzer bir teknik kullanarak kanıtladığımız üzere bu toplamın değeri .. 1/(1- "ortak oranımız " yani p) Peyykii. Bu ifade neye eşit olur. Eksiyi paranteze dağıttığımız zaman 1/ 1-1+p buluruz.. Bu da en başta söylediğimiz 1/ p ifadesine eşit olur. İşte bu kadar arkadaşlar. Bir geometrik rassal değişkenin beklenen değeri matematiksel jimnastik yaparak 1/p olduğunu kanıtlamış olduk Harikayız :D