Ana Kütlenin Varyansı

khan academy çalışanlarının yıl bazında deneyimlerini incelediğimi düşünelim ortalama olarak kaç yıllık deneyimimiz var bir bakalım aritmetik ortalamayı alacağız khan academy daha küçük bir kurumken beş kişi vardı şimdi tüm gruptakilerin, tamamının deneyimlerine bakacağım khan academy'de çalışan hereksin iş tecrübesi beş kişi varken böyleydi şimdi otuzaltı kişi var şöyle diyelim; üniversiteden yeni mezun olmuş bir yıllık iştecrübesi olan biri var üç yıllık iş deneyimi olan birisi var. beş yıllık iş tecrübesi olan çalışanımız var yedi yıllık çalışma deneyimi olan birisi var daha tecrübeli 14 yıllık deneyimi olan birisi var Bu verilere göre kurumda beş kişi olduğunu varsayarsak çalışanların deneyim yıllarının aritmetik ortalaması nedir? bu aritmetik ortalamayı mu ile belirteceğim çünkü artık popülasyon hakkında çıkarımlarda bulunuyoruz bu bir popülasyon parametresidir mu eşittir birinci veriden beşinci veriye kadar verilerin toplamı x 1 artı x 2 artı x artı x 4 artı x 5 bölü 5 bu tüm verilerin toplamını veri sayısına bölmenin fiyakalı havalı bir ifadesi şimdi bunu bulalım hesap makinasını çıkarttım, hepsini topluyorum bir artı 3back to it artı 5 artı yedi artı 14 evet beş veri bu şekilde ve toplamı beş'e böleceğim ve sonuç 6 çıkacak bu ilginç. şimdi aritmetik ortalama etrafındaki dağılımı bilmek istiyorum verilerin bu aritmetik ortalamadan uzaklıkları nedir? isteyene verileri tabiki verebilirim ama bunun yerine bu verileri bu sayıdan ortalama uzaklığını belirten bir parametre bulmak istiyorum buna "varyans" da diyebilirim burada popülasyon varyansından bahsediyoruz bu bir parametre bu popülasyon varyansında yunan alfabesinden sigma'yla belirteceğim bu noktaların her birinin aritmetik ortalamaya uzaklığını bulacağım ve pozitif bir değer elde etmek için uzaklıkların karelerini alacağım sonrada veri sayısına böleceğim yani esas olarak uzaklıkların karesinin ortalamasını bulacağım bu şimdi size karmaşık gelmiş olabilir hadi işlemleri yapalım ilk veriyi alıyorum aritmetik ortalamayı çıkartıyorum bu bana negatif bir sayı verecek ama karesi pozitif olacak yani 1 ile oratalamam arasındaki uzaklığın karesini almış oldum buna 3 ile ortalamam arasındaki uzaklığın karesini ekleyeceğim ve 5 ile ortalamam arasındaki uzaklığın karesini ekleyeceğim karelerini aldığım 5 eksi 6 veya 6 eksi 5 farketmez ne ollursa olsun kare aldığımda pozitif bir sonuç çıkacak ve buna 7 ile ortalamam arasındaki uzaklığın karesini ekleyeceğim 7 eksi 6'nın karesi. burada popülasyon ortalaması ile farkların karesini alıyoruz ve son olarakta 14 ile ortalamanın farkının karesi şimdi bu uzaklıkların karelerinin ortalamasını alıyorum burada beş tane uzaklık ortalaması karesi var yani 5'e böleceğim peki sonuç ne olacak? Bulalım 1 eksi 6 eşittir eksi 5 eksi 5'in karesi 25 3 eksi 6 eşittir eksi 3 bunun karesini aldık 9 buluruz. 5 eksi 6 eşittir eksi 1 karesini aldık artı 1 7 eksi 6 eşittir 1 karesi artı 1 ve 14 eksi 6 eşittir 8 ve bunun kareside 64 ve bunların tamamını 5'e böleceğim. hesap makinası şart değil ama Bu videolarda çok dikkatsizlik yapıyorum o yüzden kullanalım ne olur ne olmaz. 25 artı 9 artı 1 artı 1 artı 64 bölü 5 eşittir 20 yani uzaklık karelerinin ortalaması veya popülasyon ortalamasının uzaklıklarının karelerinin ortalaması eşittir 20 Bunların 20 uzaklıklarının olmadığını söyleyebilirsiniz ama Hatırlayın bunlar uzaklıkların kareleri. Pozitif yapmak için karelerini aldım ileride varyansın daha ilginç özelliklerinide göreceğiz ama Şimdi bunun matematiksel olarak nasıl göstereceğiz? Popülasyon oratalamasının ve örneklem ortalamasının nasıl gösterildiğini anlatmıştık artık, umarım bunlar kokutucu gelmiyordur. peki Burada yaptığımız işlemleri nasıl ifade edebiliriz? Şimdi düşünelim... Popülasyon varyansı için bunların toplamını alıyoruz. yani 1'ninci veriden n'ninci veriye Her veriyi alacağız. Bu veriyi alacağız. Bundan popülasyon ortalamasını çıkaracağız karesini alacağız ve burada yazdığımız şekliyle bu pay olacak. Bunların toplamını alıyoruz. Her veri ile popülasyon ortalaması arasındaki farkın karelerinin toplamı varyansı bulmak için bunların tamamını Veri sayısına bölmem gerekiyor. Buda biraz ürkütücü gelebilir ama yapmanız gereken şey şu; Popülasyon ortalamasını bulun, her veriden ortalamayı çıkartın Farkın karesini alın. Bunları toplayın. ve toplamı veri sayısına bölün. Böylece popülasyon varyansını elde edeceksiniz.