İspat: Sinüs Teoremi

Bu videoda, hep birlikte, sinüs teoremini ispatlayacağız. İşe, gelişigüzel bir üçgen çizerek başlayalım.Bu, bir kenarı, bu ikincisi, bu da sonuncu kenar, üçüncü kenar. Sinüs teoreminin her üçgene uygulanabileceğini gösterebilmek için böyle garip bir üçgen seçtim. Diyelim ki, bize, bu açıyı vermiş olsunlar. Ya da şöyle yapalım, bize neyin verilip neyin verilmediğini bir kenara bırakıp, sinüs teoremini, farklı açılar ve farklı kenarlar arasındaki ilişki olarak düşünelim. Bu alfa açısı olsun. Bu kenar, A, Uzunluğu A. Bu açı, beta, buradaki kenar da B. Beta da büyük bir B harfine benzer, ama bu ucu B den biraz daha uzundur, aşağıya doğru. Evet, üçgen hazır. O halde, şimdi, A, B, alfa ve beta arasındaki ilişkiyi bulmaya çalışacağız. Ve bu ilişkinin sinüs teoremi olmasını ümit edelim. Yoksa videonun ismini değiştireceğiz. Haha Evet, sizce, bunu nasıl yapabiliriz? Önce, üçgenin yüksekliğini çizelim. Bu köşeden, bu kenara dimdik inen bir doğru parçası. Buraya isim vermemiştik ama, bu A, bu da B olduğu için, bunun da C olacağı gayet açık, değil mi? Dediğim gibi, bu açı, 90 derecelik bir açı. Yüksekliği bilmiyoruz. Yüksekliğin derinliğini bilmiyoruz. Tekrar ediyorum, bu köşeden, bu kenara inen, ve kenarla 90 derecelik bir açı yapan bir doğru parçası çizdik. Acaba bunu bir şekilde kullanabilir miyiz? Ne dersiniz? Bunun uzunluğunada X diyelim. Ve şimdi, sizce, x, A ve beta arasında bir ilişki bulabilir miyiz? Tabi ki! Önce güzel bir renk seçelim şöyle. Mesela, bu güzel. Peki.. Buradaki açıyı yani betayı baktığınızda ne görüyorsunuz? Bu üçgende, X, karşı kenar. A da hipotenüs. Peki, karşı kenar ve hipotenüsü kim kullanır? Hangi trigonometrik oran kullanır. Hemen SKAH KOKOH TAKAKO’yu hatırlayalım. Neydi? SKAH , sinüs eşittir karşı bölü hipotenüstü. KOKOH, kosinüs eşittir komşu bölü hipotenüstü. TAKAKO da tanjat eşittir karşı bölü komşuydu. Evet neymiş sinüs. Zaten sinüs teoreminin ispatını yapıyoruz, öyle değil mi? Sinüs Beta eşittir, karşı bölü hipotenüs yani, karşı kenar, X bölü, hipotenüs A. Burada, x’in neye eşit olduğunu bulmak istiyoruz, çünkü az sonra işimize yarayacak. İki tarafı da A ile çarpalım, ve A sinüs beta’nın, X’ e eşit olduğunu bulalım. Şahane! Şimdi, aynı şeyi, alfa, B ve x için yapıp, bunların arasında da bir ilişki bulmak istiyorum. Burada da dik bir üçgen var. Ve alfaya göre, X, yine karşı kenar. Ama bu sefer hipotenüs, B! O zaman başka bir renkle, sinüs alfayı da yazalım. Sinüs alfa eşittir, karşı bölü hipotenüs yani, karşı kenar, X bölü, hipotenüs B. Ve bunu da yine x’e eşitleyelim, iki tarafı B ile çarpalım ve, B sinüs alfa eşittir x diyelim. Bu da şahane! Peki, şu ana kadar ne yaptık ya da ne bulduk? X adını verdiğim, x dediğimiz yüksekliği iki farklı şekilde ifade ettik, değil mi? A sinüs beta, x’e eşit, B sinüs alfa da yine x'e eşit! Eğer bunların ikisi de x’e eşitse, o zaman birbirlerine de eşittirler, değil mi? Hemen yazalım. Başka bir renk seçelim, A sinüs beta eşittir B sinüs alfa. Şimdi, bu eşitliğin iki tarafını da A’ya bölelim. Buradaki A’lar birbirini götüreceği için, Sinüs beta eşittir B sinüs alfa bölü A! İki tarafı bir de B’ye bölelim! Sinüs beta bölü B, eşittir, sinüs alfa bölü A! Ve karşınızda, sinüs teoremi. Betanın sinüsü ile karşısındaki kenarın oranı, alfanın sinüsü ile, karşısındaki kenarın oranına eşit! Bu açıya teta, bu kenara da C dersek, bunlar, Sinüs teta bölü C’ye de eşittir. Evet, Sinüs teta bölü C’ye de eşittir. Aynen böyle! Bunu kitaplarda da görebilirsiniz. C ve tetayı eklemek için, buna çok benzeyen bir ispat yapmamız gerekir. Yani, bunun aynısını teta ve C için de yapabilirdik. Farklı yapmamız gereken tek şey, bu yükseklik yerine, diğer yüksekliklerden birini kullanmak! Evet, isterseniz, bunu kendi başınıza siz deneyin. Evet, bu oranı bulduk. Ve bu bir oran olduğu için, İsterseniz, B bölü sin beta eşittir, A bölü sinüs alfa olarak da kullanabilirsiniz. Peki, bu neden faydalı? Çünkü eğer bir kenarı, karşısındaki açıyı ve başka bir kenarı biliyorsanız, diğer kenarın karşısındaki açıyı kolaylıkla bulabilirsiniz! Kısacası, bunlardan üç ünü biliyorsanız, dördüncüyü bulabilirsiniz! Sinüs teoremini faydalı yapan özellik de bu! Evet, artık, sinüs teoremiyle ilgili birkaç örnek yapabiliriz! Ama merak etmeyin bu örnekleri bu videoya sıkıştırmayacağım. Şimdilik bu kadar yeter.