Birim Vektör Gösterimi ile Nokta ve Çapraz Çarpımın Hesaplanması

Şimdiye kadar skaler çarpım ve vektörel çarpımdan bahsettim ve tanımlarını büyüklük. çarpı aralarındaki açının ya da kosinüsü olarak vermiştim. Ama diyelim ki vektörler görsel olarak verilmemiş. Ve aralarındaki açıyı da bilmediğinizi farz edin. O zaman skaler ve vektörel çarpımı nasıl hesaplayabiliriz? Daha önce verdiğim tanımı tekrar söyleyeyim. Diyelim ki a ile b'nin skaler çarpımı isteniyor. Bu, a'nın büyüklüğü çarpı b'nin büyüklüğü çarpı aralarındaki açının kosinüsüdür. a ve b'nin vektörel çarpımı a'nın boyu çarpı b'nin boyu çarpı aralarındaki açının sinüsüne eşittir. Yani onların dik izdüşümleri çarpı her ikisine dik olan normal vektörü. Her iki vektöre dik olan birim normal vektörü sağ el kuralıyla bulabilirsiniz. Ama tetayı bilmiyorsak yani aralarındaki açıyı bilmiyorsak ne yaparız? Diyelim ki elimde vektör a var, a yı teknik simgesiyle şimdi yazıyorum.Teknik notasyonda, vektörü sadece x, y, z bileşenlerine ayıralım. a vektörü şöyle olsun 5i i sadece x yönündeki birim vektördür ufak bir hatırlatma 5i eksi 6j artı 3k. Şimdi burada ki i, j ve k sadece x, y, z yönündeki birim vektörlerdir. Ve 5, x yönündeki uzunluk miktarıdır. Eksi 6, y yönündeki ve 3'de, z yönündeki uzunluk. b de şöyle olsun,bu sayıları tamamen uyduruyorum bu arada. b eşittir eksi 2i, şuan 3. boyutta çalışıyoruz bu arada, eksi 2i artı 7j artı 4k. Bu arada bunu da çizebilirsiniz.Eğer bu problemi bilgisayar simülasyonunda modellemek isterseniz bir deneyin. Evet şimdi vektör toplamı için, x,y ve z bileşenlerine ayırın ve bunları sadece sırasıyla toplayın. Peki skaler çarpımı ya da vektörel çarpımı nasıl buluruz? Bunun kanıtını yapmayacağım ama yalnızca size nasıl yapıldığını göstereceğim. Eğer notasyon bu şekilde verilmişse skaler çarpım gayet basit. Bu gösterimi diğer bir şekilde yazmanın yolu paranteze almaktır.Bazen parantez içinde 5, eksi 6, 3 olarak da yazılabilir. Sadece x,y,z yönündeki değerler bunlar. Bütün gösterim çeşitlerine aşına olmalısınız yani alışmalısınız. O yüzden göstermek istedim. Şimdi b'yide (eksi 2, 7 ve4) olarak yazabilirsiniz.Bunların hepsi aynı şey. Yani bunların herhangi birini gördüğünüzde şaşırmayın. Sonuç olarak a ve b'nin skaler çarpımı nedir? Kolayca bulabilirsiniz. Bütün yapacağınız i bileşenlerini çarpıp onu j bileşenleri çarpımına eklemek ve bunu da k bileşenlerini çarpımına eklemek. Sonuç 5 çarpı eksi 2 artı eksi 6 çarpı 7 artı 3 çarpı 4 bu da ne eder ? eksi10 artı eksi 42 artı 12 dir. Eksi 52 artı 12 den cevap eksi 40 olur. Ve sonuç budur. Sadece bir sayı.Şimdi grafiği 3 boyutlu grafikerimizde çizmek ve nasıl eksi 40 olduğunu görmek için hakikaten meraklanıyorum. Zıt yönlerde olmalılar. Ve birbirlerinin üzerine izdüşümleri de zıt yönde olmalı. Yani eksi bir sayı bulmamızın nedeni budur. Bunu yapmamızın amacı kanıtlarla uğraşmak yerine sadece nasıl hesaplandığını görmek ve bu gayet açık. Şimdi x bileşenlerini çarptınız. y bileşenleri çarpımına eklediniz ve bu toplamıda z bileşenleri çarpımına eklediniz. Çok kolay. Şimdi vektörler teknik gösterimde ya da parantez içinde verilip skaler çarpımı bulmam istendiğinde hatasız ve kolayca yapılabilir Ama göreceksiniz ki vektörel çarpımı almak o kadar açık ve kolay değil. Şimdi bunları aklınızda tutmanızı istiyorum ve bunu hesaplamanın diğer yolu, ayrı ayrı büyüklüklerini hesaplayabilirsiniz ve tetayı hesaplamak için biraz trigonometriyi kullanır ve bunu tanımda yerine koyarsınız. Bence bu kolay yolu çok daha fazla seveceksiniz. Skaler çarpım eğlencelidir. Şimdi vektörel çarpıma bakalım.Kanıtı yine yapmayacağım. Sadece nasıl hesaplandığını göstereceğim. Gelecek videolarda,eminim kanıtları yapmam istenir ben de o zaman kanıtı yaparım gerekirse. Peki şimdi vektörel çarpım biraz daha karışık dedik. a ve b'nin vektörel çarpımı için teknik gösterimi kullanmayacağım. a ile b'nin vektörel çarpımı. Bu şuna eşittir. Bir matris uygulaması. Yapacağınız determinantı bulmak; büyük bir determinant çizgisi çizeceğim. Bu sadece nasıl ezberleyeceğinizin bir yolu. Size pek fazla bilgi vermez ama bilgiler tanımın içinde saklı. Vektörlerin ne kadarı birbirine diktir? Uzunluklarını çarp. Evet sonra yönünü bulmak için sağ el kuralını kullan. Teknik gösterimde verildeyse bunu yapmanın yolu, i, j, k birim vektörlerini en üste yaz. i, j, k. Sonra ilk vektörü vektörel çarpıma yaz çünkü sıra önemli. 5, eksi 6 ve 3. Sonra 2.vektör b'yi al eksi 2,7,4. 3 e 3 matrisin determinantını bul, peki bunu nasıl hesaplarız? Determinant i'nin alt determinantına eşit. i'nin alt determinantını bulmak için bu sütun ve satırdan kurtulun,geriye kalan eksi 6,3,7,4 ün determinantını bulun, determinantın nasıl bulunduğunu tabi, umarım hatırlıyorsunuzdur şimdi hafızanıza bir kazıyalım şunu. Bunun artı bunun eksi bunun artı olduğunu hatırlayalım. Sonra eksi j için alt determinantı bulalım. j için alt determinant neydi? j'nin olduğu satırı ve sütunu kapatalım. Elimizde 5,3, eksi 2 ve 4 var. Sadece j'nin satır ve sütununu kapattım. Geriye kalan her şey alt determinantın içinde. Söylediğim bu. j artı bu arasa bunların hepsini tek seferde yapmak istiyorum çünkü böyle daha düzgün olacak, j artı k'nin alt determinantı. k'nın satır ve sütununu kapatalım. Geriye 5, Eksi 6,eksi 2 ve 7 çarpı k kaldı. Şimdi onları hesaplayalım. Bunları siliyorum çünkü çok büyük yazmışım. Artık bunlara ihtiyacım yok zaten. Peki bakalım elimde ne var? Bunu yukarı yazayım. Bunlar 2 ye 2 determinant ve hesaplaması gayet kolay.Bu 6 çarpı 4 eksi 7 çarpı 3. Burada hep dikkatsizlik yaparım. eksi 24 eksi 21 çarpı i eksi 5 çarpı 4 eşittir 20, eksi 2 çarpı 3 eksi 6, artı 5 çarpı 7, eksi eksi 2 çarpı 6.Bu eksi 12k. Şimdi eksi 24'le eksi 21'i sadeleştirelim. Bu eksi 45 tir.Paranteze yazmak zorunda değilim çarpı i, sonra 20 eksi eksi 6 ne eder? 26 olur değil mi. ? Şimdi dışarıda da bir eksi var. Bu yüzden eksi26 oldu. 35 eksi 12 eşittir 23. Yani artı 23k. Evet vektörel çarpım bu. Bunu 3 boyutlu grafik olarak çizersek ilginç olan şu ki, matematiksel işlemlerim doğruysa eksi 45i ,eksi 26j ve artı 23k her iki vektöre de diktir. Ve bu arada videonun sonuna geldik, diğer sunumda görüşürüz. Ve umarım diğer sunuma kadar bir vektör grafik programı bulabilirim. Çünkü bu program hem skaler hem vektörel çarpımı bu metodlarla hesaplamak ve sonra grafiğini çizmek için inanın çok eğlenceli olur. Ve bunun işe yaradığını göstermek daha da eğlenceli olur. Bu vektör her iki vektöre dik ve yönü sağ el kuralında tahmin ettiğiniz yön. Bir sonraki videoda görüşelim.