Atış için En Uygun Açı Bölüm 4: En Uygun Açı ve Uzaklığı Kalkülüs ile Bulma

Uzaklık formülünü, cismi atarken yatayla yaptığı açı cinsinden yazdık. Şimdi, cismin en uzak mesafeyi kat etmesini sağlayacak atış açısını hesaplamak için biraz kalkülüs kullanacağız. 0 ile 90 derece arasındaki açılarla ilgileniyoruz o zaman kendimizi sınırlandıralım. Teta, 0'dan büyük ya da 0'a eşit ve 90'dan küçük ya da 90'a eşit olmalı. Şimdi nasıl hesaplayacağımızı görelim. Şimdi size ufak bir hatırlatma yapayım: türev aldığımızda, bir doğrunun anlık eğimini buluyorduk. Eğer uzaklık fonksiyonun grafiğini çizseydiniz az sonra çizeceğim grafiğe benzer bir şey çıkacaktı ortaya ki tahminen bu grafiği kendi başınıza çizebilirsiniz. Evet çizdiğim eksene yani dik olan eksene, açı cinsinden yazılmış olan uzaklık ekseni diyelim ve diğerine de yatay eksenimize de yani açı ekseni diyelim. Unutmayalım ki 0 ile 90 derece arasındaki açılarla ilgileneceğiz. Orjini, 0 derece olarak işaretlerim ve tam olarak bu noktayı da yani orjinin biraz ilerisini 90 derece olarak işaretlerik. Şimdi uzaklık fonksiyonun grafiğini çizdiğimde, yaklaşık olarak yarım çembere benzediğini görürüz. 0 ile 90 derece arasında bize en uzak mesafeyi verecek bir açı var ve yapmak istediğimiz şey, yani bulmak istediğim şey bu açı. Bu açının değeri. Açı eksenindeki çemberin tepe noktasına denk gelen noktayı işaretleriz ve ona karşılık gelen uzaklık değerini de 'en uzak mesafe' deriz. Peki çizdiğimiz grafikte uzaklık ve açı değerlerinin kesiştiği noktada anlık eğim nasıl olur? Bu noktaya teğet yatay bir doğru çizeriz ve bu noktada eğim 0'dır. Yapmam gereken şey uzaklık fonksiyonunun türevini almak ve bu türevin ya da anlık eğimin 0 olduğu açıyı hesaplamak. Ve böylece cismi hangi açıyla atmamız gerektiğini buluruz. Şimdi uzaklık fonksiyonunun türevini alalım. s ve g'nin sabit olduğunu varsayıyoruz ve bu durumda 2(s2) bölü g de sabittir. Cos(teta) çarpı sin(teta) nın türevini almak için şimdi çarpım kuralını uygulayacağız. Çarpım kuralına göre önce, ilk fonksiyonun türevini alıp ikinci fonksiyon ile çarparız. Cos(teta)nın türevi eksi sin(teta) dır . Çarpma işlemini de yaptığımızda sonucu eksi sin(teta) çarpı sin(teta) buluruz değil mi. ? Sonrasında ikinci fonksiyonun türevini alırız. sin(teta)nın türevi cos(teta)dır ve cos(teta)yı da ilk fonksiyonla çarparız. Sonuç olarak cos(teta) çarpı cos(teta) buluruz Ve bu iki sonucu toplayacağız. Böylece uzaklık formülünün açıya göre türevinin, (2s2) bölü g çarpı parantez içinde eksi sin(teta) çarpı cos(teta) artı cos(teta) çarpı cos(teta) ya eşit olduğunu görürüz. Bunun biraz kafa karıştırıcı olduğunu biliyorum. Neyse şimdi bir özetleyelim: ilk fonksiyonunun türevini alıp ikinci fonksiyonla çarptım ve ikinci fonksiyonun türevini alıp ilk fonksiyonla çarptım ve bu iki sonucu topladım. Şimdi elde ettiğimiz sonucu sadeleştirebiliriz. Uzaklığın açıya göre türevi eşittir (2s2) bölü g çarpı parantez içinde eksi sin(teta)nın karesi artı cos(teta)nın karesi. Bu türevi 0 yapan açı değerini hesaplamak istiyorduk değil mi. ? Şimdi o zaman bulduğumuz sonucu 0'a eşitleyelim ve açıyı bulalım. Kolay. İlk olarak, eşitliğin her iki tarafını da (2s^2) bölü 2' ye böleriz. (2s^2) bölü g'nin tabi 0 olmadığını varsayıyorum. Eşitliğin sol tarafında (2s^2) bölü g'ler birbiriyle sadeleşir ve sağ taraf ise hala 0'a eşittir.Şimdi mavi ile yazalım. Yani eksi sin(teta)nın karesi artı cos(teta)nın karesi 0. Eşitliğin her iki tarafına da sin(teta)nın karesini ekleriz ve böylece cos(teta)nın karesinin, sin(teta) nın karesine eşit olduğunu görürüz. Eşitliğin iki tarafı da 0 ile 90 derece arasında pozitiftir o zaman yani bundan dolayı her iki tarafın pozitif karekökünü alabiliriz ya da he iki tarafın asıl köklerini bulabiliriz. Aslında her iki tarafı cos(teta)nın karesine bölmek ilk yoldan bence daha ilginçtir. Bunun için şimdi cos(teta)nın 0 ile 90 arasında 0 değerini almadığını varsayıyoruz. Her iki tarafın karekökünü ya da asıl kökünü alarak da sonuca ulaşabilirsiniz ama ikinci yöntem biraz önce söylediğim gibi bence daha ilginç. Her iki tarafı da cos(teta)nın karesine bölersek evet sin(teta) nın karesi bölü cos(teta)nın karesinin 1'e eşit olduğunu buluruz. Daha basit bir şekilde ifade edelim: sin(teta) bölü cos(teta)nın karesi 1'e eşittir. Sin(teta) bölü cos(teta)nın tan(teta)ya eşit olduğunu biliyoruz değil mi. ? Yani elimizde tan(teta)nın karesi eşittir 1 denklemi var. Tanjant, 0 ile 90 derece arasında hep pozitif değer aldığından dolayı her iki tarafın pozitif karekökünü alabiliriz ve bu işlemi yaparsak tan(teta)nın 1'e eşit olduğunu buluruz. Şimdi her iki tarafa arctan fonksiyonunu uygulayalım. Ve böylece tetanın, arctan(1) e eşit olduğunu görürüz. Açıyı bulmak için isterseniz hesap makinenizi kullanabilirsiniz ya da hafızanıza başvurabilirsiniz. Bu eşitliği sağlayan açı 45 derecedir. Radyan cinsinden yazarsak, açımız pi bölü 4 e eşit olur.Her ikisi de işimize yarar. Yani, en uzak mesafeye gidebilmesi için, cismin, attığımız cismin attığımız anda yatayla yaptığı açı 45 derecedir. Peki cismi 45 derece ile atarsak cismin gideceği en uzak mesafe nedir? Bunu öğrenmek için orijinal formülümüze geri dönelim. Sin(45),karekök iki bölü 2'ye eşittir değil mi. ? Bunu hesaplamak için hesap makinesi kullanabilirsiniz ya da belki birim çemberden hatılıyorsunuzdur. Cos(45) de zaten karekök 2 bölü 2'ye eşittir. Eğer sin(teta)nın karesi bölü cos(teta)nın karesi eşittir 1 denkleminin karekökünü alsaydık, sin(teta) bölü cos(teta)nın sadece 45 derecede 1' e eşit olduğunu görücektik.. Evet şimdi elimizde olan değerleri uzaklık formülünde yerine koyalım. Cismi, yatayla 45 derece açı yapacak şekilde attığımızda gidebileceği en uzak mesafenin, (2s2) bölü g çarpı karekök 2 bölü 2 çarpı karekök 2 bölü 2 ye eşit olduğunu buluruz. Karekök 2 çarpı karekök 2 ne yapar ? 2 eder. 2'ler birbiriyle sadeleşir. Sonuç olarak, cisim yatayla 45 derece açı yapacak şekilde atılırsa ulaşacağı en uzak mesafe (s2) bölü g' dir. Tabii ki hava direncinin olmadığını ve ideal bir durumda olduğumuzu 2 'ye eder ve varsayıyoruz. Hava direncinin olmadığını varsayarsak hangi gezegende olduğunuz ya da hangi hızla gittiğiniz önemli değildir, her halükarda açı 45 derece çıkar ve cismi bu açı ile atarsanız, (s^2) bölü 2 kadar mesafe kat edersiniz. Şimdi orjinal probleme geri dönersek, diyelim ki s, 10 metre bölü saniye olsun. Ve diyelim ki yer çekimi ivmesi de 10 metre bölü saniye kare. Evet böyle bir Dünyada, böyle bir Gezegende yaşıyoruz. Verileri yerine koyalım: s'nin karesi 100'dür ve 10'a böldüğümüzde elimizde 10 kalır.Tabi s'nin birimi metre bölü saniyedir ve bunun karesini alırsak metre kare bölü saniye kare buluruz. İvmenin birimi naydi ? metre bölü saniye karedir. Bu ikisini sadeleştirirsek de sonucu metre olarak buluruz.Yani en uzak mesafe 10 metreymiş. Şahane !