Merkezcil İvme Formülünün Görsel Anlatımı

Diyelim ki bunun gibi bir çember üzerinde hareket eden bir objemiz var.Bende bu çember üzerindeki farklı noktalarda hız vektörünü çiziyorum. Buradaki V1 olsun, hız vektörü 1. Bu ikinci hız vektörümüz. Bu da üçüncü hız vektörümüz olsun. Bu videoda hız vektörlerinin büyüklüğünün sabit olduğunu varsayalım.Başka bir açıdan düşünürsek, yani buradaki hızlar sabit. Şimdi sadece şunu söylüyorum aslında üzerinde ok işareti olmayan V skalar bir sayıya eşit olacak.Ben buna hız diyeceğim ama siz bu vektörlerin büyüklüğü diyebilirsiniz ve bu büyüklük sabit olacak. Bu birinci vektöre eşit olacak ki o da ikinci vektöre eşit olacaktır. Yönleri değişiyor ama büyüklükleri üçüncü de dahil olmak üzere aynı. Objenin çember bir patika üzerinde yol aldığını söyleyebiliriz, bu çember ise yarıçapı r olan bir çember olsun.Peki şuan ne yapıyorum? Her noktaya bir konum vektörü çiziyorum. Birinci vektörünkine r1 diyelim. Ikinci konum vektörü r2 olsun. Konumun değiştiği açık bir şekilde belli değil mi? r2 konum vektörü ve bu da r3 üçüncü konum vektörü. Konum vektörlerinin eşit büyüklükte oldukları da belli. Dolayısıyla ben konum vektörümüze r diyeceğim. Buradaki uzaklık yani çemberin yarıçapı. Ve r1 r2 r3 'ün büyüklükleri r 'ye eşit olacak. Bu videoda yapmak istediğim şey aslında verilen hız ve yarıçapta merkezcil ivmeyi kanıtlamak. a m diyeceğim ben bu merkezcil ivmeye. Üzerinde bir ok yok çünkü bu skalar bir sayı. Ve bu merkezcil ivmenin büyüklüğü hızın karesi bölü çemberin yarıçapına eşit olacak, işte kanıtlamak istediğim bu. Video sonunda bu formülü gördüğünüzde kendinizi iyi hissedeceksiniz. Şimdi bunu görmek için başka bir çember içine tekrar aynı hikayeyi oluşturacağım. Vektörlerin nasıl değiştiğini şimdi düşünmenizi istiyorum. Sadece kopyalayıp yapıştıracağım , V1'i kopyalayıp yapıştırayım. Kopyalayıp merkezden itibaren yerleştiriyorum. Aynı şeyi V2 için de yapalım. Kopyalayayım ve yapıştırayım. Bu da V2. V3 için de yapalım aynı şeyleri yapalım. Sadece vektör kısımlarını alıyorum. Kopyala ve yapıştır. Buradaki vektör V3. Sileyim bunları.Çünkü zaten V2 olduğu belli daha fazla etiketlemeye ihtiyaç yok . V2'nin turuncu olduğunu biliyoruz. V2 turuncu. Peki buradaki çemberin yarıçapı ne olacak? Çemberin yarıçapı hız vektörlerinin büyüklüğü kadar olacak. Hız vektörlerinin büyüklüğünü zaten biliyoruz, V. Dolayısıyla bu çemberin yarıçapı V dir. İlk Çemberin yarıçapının r olduğunu biliyorduk. Hız vektörleri gibi, vektörlerin yönlerinin de zamanla değiştiğini gösteriyordu bize. Peki buradaki vektörler zaman içerisinde bize neyin değiştiğini gösteriyor? Bize ivmenin değişimini verecek. Bazı ivmelerimiz var, değil mi? Şimdi bunları A1 A2 A3 olarak kodlayalım. Aralarındaki benzerliği anladığınıza emin olmak istiyorum. Bu çember üzerinde hareket ettiğimiz sürece önce sola sonra yukarı sanki saat 11'miş gibi ve sonrada en tepede olmak üzere böyle saat gibi farklı şekiller aldı. Peki burada hareket eden şey ne? Konum vektörünün zamanla değişimi ki onlarda bu hız vektörleri. Hız vektörü burada sanki bir saat içerisindeymiş gibi hareket ediyor. Burada hareket edenlerse ivme vektörleri. Hız vektörleri çember patikaya teğetler. Yani yarıçapa dikler. Geometriden de öğrendiğiniz gibi, çizgi bu çembere teğet ise yarıçapa diktir.Burası içinde aynı şey geçerlidir. Merkezcil ivmenin yönüyle ilgili öğrendiklerimizi hatırlarsak, Mesela A1 vektörü aynen bu şekilde olacak, merkeze doğru. A2 yine merkeze doğru. A3 yine merkeze doğru. Aslında bunların hepsi merkezi arayan vektörlerdir. Dolayısıyla buradaki vektörlerin hepsi merkezcil ivme. Burada sadece büyüklüklerinden bahsediyoruz.Ve biz hepsinin aynı büyüklükte olduğunu varsayabiliriz. O zaman, merkezcil ivmemizi de.. a m diye kodladığımız büyüklüğe eşittir. A m , a1'e a2'ye ve a3'e eşittir.Buradaki vektörün tepeye gelmesi için gerekli sürenin şimdi ne olduğunu düşünmenizi istiyorum. Bunu çözmenin bir yolu hareket edilen arkın yada kavisin ne uzunlukta olduğunu bulmaktan geçer. Kavisin Uzunluğu çemberin dörtte birine eşit. Bu da çemberin çevresinin dörtte birine eşit. Çemberin çevresi 2 pi r , bunun dörtte birine eşit olacak. O zaman kavisin uzunluğunu bu formülle ifade ederiz. Şimdi tekrar süreyi bulmaya çalışalım, ne kadar sürecek? Kavisin uzunluğunu asıl hıza böleriz. Bu yol üzerinde aldığımız hızın büyüklüğüne böleceğiz. Hıza değil, hızın büyüklüğüne. Artık vektör değil, bu bir skalar. Sonuç zamana eşit olmalı, bu kavis üzerinde hareket edilen süre. Bu patikadaki yani kaviste geçen sure ile diğer patikanın kavisindeki aynı olmalı. Hız vektörü için, burası konum vektörünün gideceği yol, burası hız vektörünün. Buradaki zaman ne olacak o zaman ? Yani bu patikanın uzunluğu nedir? Yarıçapı v olan bir çemberden bahsediyoruz, sadece biraz geometri yapıyoruz. O zaman bu patikanın uzunluğu 2 çarpı pi çarpı yarıçapı v'nin dörtte biri olacak. Benzerliği görebilmeniz için aynı renkte yazıyorum. Diğer çemberle buradaki benzerlik nedir? Oradaki hızın büyüklüğü ile burada benzer olan nedir? İvmenin büyüklüğüdür. Dolayısıyla zaman kavisin uzunluğu bölü a m yani merkezcil ivmeye eşit olacak. Hız vektörünün buraya gelmesi için harcadığı süreyle buradaki sure eşittir. Dolayısıyla biz bu iki şeyi birbirine eşitleyebiliriz. Buradan elde ettiğimiz şey bir bölü 4 çarpı 2 çarpı pi çarpı r bölü v. Bir taraftan elde ettiğimiz şey 1 bölü 4 çarpı 2 pi r bölü v. Diğer taraftan elde ettiğimiz ise bir bölü 4 çarpı 2 pi v bölü a m. Şimdi biraz sadeleştirelim. 2 pi ye bölüp ondan da kurtulalım. Şimdi tekrar yazalım; r bölü v eşittir v bölü a m. İçler dışlar çarpımı yaptığımızda, v çarpı v , yani v kare çıktı v kare eşittir a m çarpı r oldu. İçler dışlar çarpımı aynı zamanda her tarafı her iki paydayla da çarpmak demekti. V çarpı a m çarparsak, çok süpriz birşey değil, bir yanda V'ler gidecek, diğer yanda a'lar gidecek. Sonuç olarak V'nin karesi , a m çarpı r'ye eşit oldu. Merkezcil ivmenin büyüklüğünü bulmak gerekirse, her tarafı r ' ye böleriz. A m 'i yani merkezcil ivmenin büyüklüğünü yanlız bırakırsak, sabit hızımızın büyüklüğünün karesi bölü r ye eşit oldu. Hoşçakalın.