Harmonik Harekete Giriş

Merhaba şimdi bir yayın zaman içinde nasıl hareket ettiğini anlayabilmek için bildiklerimizi kullanabilecek miyiz bir bakalım. Ve harmonik hareket hakkında biraz bilgi edineceğimizi umuyorum. Bunu yaparken hatta diferansiyel denklemleri bile kullanacağız. Ama bu durum sizi korkutmasın. Evet her neyse, son birkaç videoda çizdiğim gibi yine bir yay çizdim. X eksenindeki 0dan noktası yayın denge noktası. Bu örnekte, yayın ucuna bağlanmış bir m kütlesi var. m kütlesi.. Yayı çekip uzattım ve şu an m kütleli cisim A noktasına geldi. Sizce bu cisme ne olacak?Bildiğiniz gibi geri çağırıcı kuvvet, K çarpı x e eşittir ve buradaki K sabit bir sayı. Cisim A noktasından harekete başlıyor. Başlangıçta yay bu şekilde geri çekilecek, değil mi? Ve daha da hız kazanacak. Bu noktada, yayda oldukça fazla potansiyel enerji depolandığını biliyoruz. 0 noktasında, yani yay denge noktasına geri geldiğinde, oldukça fazla kinetik enerjiye ve hıza sahip olacak ama potansiyel enerjisi azalacak. Ama cismin momentumu, yani bütün kinetik enerjisi potansiyel enerjiye dönüşene kadar yayı sıkıştıracak.Ve sonrasında aynı süreç baştan başlayacak. Şimdi x'i zamana bağlı bir fonksiyon olarak yazabilecek miyiz bir bakalım. Yani amacımız, x'i t cinsinden yazmak. Bu videoda ve muhtemelen bir sonraki videoda bizim amacımız bu olacak. Şimdi burada tam olarak ne olduğuna bir bakalım. Zamana bağlı bir x grafiği çizeceğim.Zaman bağımsız bir değişken.Ve zamanın 0 olduğu noktadan başlayacağım.Bu eksene şimdi zaman ekseni diyelim. Şimdi x eksenini çizelim. X eksenini dikey çizmem sizin için tuhaf, olağandışı olabilir ama bu durumda x ekseni bağımlı bir değişken olduğu için dikey çiziyorum.X eksenimiz bu sefer bu. Ya da t ye bağlı x fonksiyonu da diyebiliriz.Bu daha güzel. Neyse zaman 0 iken yay ve cisim çizdiğim durumda oluyor. 0 burası. Rengi değiştireceğim.Şimdi zaman 0 iken kütle az önce söylediğim gibi A noktasında.Burası da A noktası olsun. X eksenine paralel bir doğru çizeceğim ve bu sanırım faydalı olacaktır.Şimdi bu doğru da x eşittir A doğrusu. Bu noktaya da A noktası diyelim. Zaman 0 iken cisim bildiğiniz gibi A noktasında.A noktasını işaretliyorum.Şimdi ilginç bir şey yapalım ve periyodu tanımlayalım. Periyodu büyük T ile göstereceğim. Periyod, bu cismin A noktasından hızlanarak 0 noktasına gelmesi ve yavaşlamaya başlayarak A noktasına gelip bütün süreci tekrar ederek A noktasına gelene kadar geçen zamandır. T, bütün sürecin gerçekleşmesi için gereken zaman. 0 zamanında cisim A noktasında ve ayrıca biliyoruz ki zaman T iken cisim yine A noktasında olacaktır. Şu an sadece bildiğim bazı noktaları işaretliyorum ki böylece bu grafiğin analitik olarak nasıl bir şey olacağını anlamaya çalışıyorum. A noktasına gidip A noktasına geri dönmek T saniye alıyor, Peki bu T saniye alıyorsa A noktasına gitmek T bölü 2 saniye alır değil mi?. A noktasına gitmekle buradan tekrar A noktasına dönmek aynı zamanı alıyor. Yani T bölü 2 zamanında cisim nerededir? Yay bu noktaya kadar sıkışmış olur ve T bölü 2zamanında cisim A noktasında olacak. Ve bu noktaların ortasında da cisim 0 noktasında olacak. Umuyorum size mantıklı duyuluyordur söylediklerim. Şimdi bu noktaları biliyoruz ama gerçek fonksiyonun nasıl bir şey olacağı hakkında biraz düşünelim. Grafiği, aşağı doğru düz bir çizgi ve sonra yukarı doğru düz bir çizgi olarak çizebilir miyiz? Eğer grafiğimiz aşağı doğru düz bir çizgi ise bu demek oluyor ki x değeriniz sabit bir oranla değişiyor. Ya da diğer bir şekilde düşünürsek sabit bir hıza sahipsiniz demektir. Peki biz bu zaman içinde sabit bir hıza mı sahibiz? Hayır! Biliyoruz ki 0 noktasında hızımız bayağı fazla. Ve biliyoruz ki A noktasında hızımız çok düşük. Yani 0 ile A noktası arasında cisim zaman içinde hızlanıyor. Aslında bu konu hakkında biraz daha düşündüğümüzde azalan bir ivmeye sahip olduğumuzu anlarız. Ama zaman içinde hızlanıyoruz. Sonrasında da zaman içinde hızı kesip yavaşlıyoruz. Yani x sabit bir oranla değişmiyor ve bu durumda zikzaklı bir yol izleyemezsiniz, değil mi? Cisim bir süre sonra tekrar 0 noktasına gelecek ve bu noktayı da işaretliyorum. Harekete başladığınızda çok yavaş gideceksiniz. Bu durumda X'deki değişim çok yavaş. Ve sonrasında hızlanmaya başlıyorsunuz. Ve bu noktaya geldiğinizde hız kesip bu sefer yavaşlamaya başlayacaksınız. Bu noktada hızınız tam olarak 0'dır. Yani değişim oranı ya da eğim 0. Ve sonrasında geriye doğru hızlanmaya başlayacaksınız. Hızınız daha da artacak. Ve bu notada geçekten bayağı büyük bir hıza sahip olacaksınız. Bu noktadan sonra yine hız kesmeye başlayacaksınız. Bu nokta A noktası yani bu durumda başladığınız noktaya geri dönmüşsünüz demektir. Bu noktada hızınız yeniden 0 oluyor. Yani x' deki değişim oranı 0'dır. Ve bu noktadan sonra hızlanmaya başlıyorsunuz. Eğiminiz artar. Ve bu nokta en yüksek kinetik enerjiye sahip olduğunuz noktadır. Ve sonra hızınız azalmaya başlar. Bu noktalarda eğimin 0 olduğuna dikkat edelim. Bu demek oluyor ki bu noktalarda kinetik enerjiniz yok. Ve bu şekilde harekete devam edersiniz. Peki sizce bu grafik neye benziyor? Bunu size henüz ispatlamadım ama bu grafik bildiğim bütün fonksiyonların arasından trigonometrik fonksiyona benziyor. Ve eğer seçmek zorunda olsaydım, kosinüs fonksiyonunu seçerdim. Peki neden? Çünkü cos(0) 1' e eşittir ve t, 0 iken bu fonksiyonda A noktasındadır. Ve bu fonksiyon muhtemelen Acos(wt) fonksiyonuna benziyor. w bu arada : omega Ve birkaç saniye içinde, çizdiğim grafiğin tam olarak bu fonksiyonun grafiğine benzediğini göreceğiz. Ama sadece benim söylediklerime bakmayın. Bunu şimdi size bir ispatlamak gerekiyor. Şimdi (w) omegayı nasıl hesaplayacağımızı görelim. Tahminen omega, cismin kütlesine ve yay sabitine bağlı bir fonksiyon, ama bundan tam olarak emin değilim. Şimdi biraz kalkülüs kullanacağız. Ve aslında biraz da diferansiyel denklem kullanacağız. Eğer kafanızın karışmasını istemiyorsanız türevin ne olduğunu anlatan bir kalkülüs videosu izlemesini tavsiye ediyorum. Şimdi bu basit görünen denklemi yazalım ya da bildiğimiz şekilde yeniden yazalım. Kuvvetin tanımı nedir? Kuvvet, kütle çarpı ivmedir, değil mi? Hooke yasasını, kütle çarpı ivme eşittir K(yay sabiti) çarpı x şeklinde yeniden yazabiliriz, değil mi? Ve aslında x'i t'ye bağlı bir fonksiyon olarak yazabiliriz. X'in bağımsız bir değişken olmasına alışkınız ve bu yüzden x'i t'ye bağlı bir fonksiyon olarak yazmasaydım, bu karışıklığa sebep olabilirdi. X'i bağımsız bir değişken olarak düşünmüş olabilirsiniz. Ama hayır! Biz bu fonksiyonun zamana bağlı olarak değerlerini hesaplamak istiyoruz. Bu aslında parametrik denklemlerin güzel bir tekrarı olabilir. İvme nedir? Pozisyonum t'ye bağlı x fonksiyonu, değil mi? Parantez içinde t yazıyorum ve bu fonksiyon benim pozisyonumu veriyor. Sahip olduğum hız ise bu fonksiyonun türevi. . Yani herhangi bir noktadaki hızım bu fonksiyonunu türevine eşit, yani t'ye bağlı değişim oranı değil mi? Yani x fonksiyonunun t'ye göre türevini alacağım. Ve bunu dx, dt şeklinde yazabilirim. Peki bu durumda ivme nedir? Bu durumda ivme nedir? İvme, hızdaki değişim oranıdır, değil mi? Yani hızın türevine eşittir diyebilirim ya da başka bir şekilde ifade edersek x fonksiyonunun ikinci türevidir de diyebilirim. Bu durumda ivmeyi x'in t'ye göre ikinci türevi şeklinde gösterebiliriz ya da d kare x bölü dt kare şeklinde de yazabiliriz. Bu arada konuyu çok uzattım video yine çok uzadı..Bir sonraki videoda görüşmek üzere.Hoşçakalın.