Ana içerik

İvme-Zaman Grafikleri Nedir?

İvmeyle zamanı ilişkilendiren grafiklerden neler öğrenebileceğimizi görün.

Bir ivme grafiğinde düşey eksen neyi temsil eder?

Düşey eksen nesnenin ivmesini temsil eder.

Örneğin, eğer aşağıda gösterilen grafiğin belirli bir zamandaki değerini okursanız, nesnenin bu andaki metre bölü saniye kare cinsinden ivmesini elde edersiniz.

Farklı zamanları seçmek ve ivmenin nasıl değiştiğini görmek için, aşağıdaki grafikte noktayı yatay yönde kaydırmayı deneyin.

Kavram kontrolü: Yukarıdaki grafiğe göre, $t = 4 s$ ‍'de ivme nedir?

Bir ivme grafiğinde eğim neyi temsil eder?

Bir ivme grafiğinin eğimi, "sarsım" olarak adlandırılan bir miktarı temsil eder. Sarsım, ivmenin değişim oranıdır.

Aşağıdaki şemada görüldüğü gibi, bir ivme grafiğinin eğimi böyle bulunabilir:

eğim = \frac{düşey eksende hareket}{yatay eksende hareket} = \frac{a_{2} - a_{1}}{t_{2} - t_{1}} = \frac{Δ a}{Δ t}

İvmenin değişim oranındaki değişimi temsil eden bu eğim, sarsım olarak tanımlanır.

sarsım = \frac{Δ a}{Δ t}

"Sarsım" ismi kulağa garip gelebilir, bununla birlikte bu terim "sarsımlı" hareket olarak adlandıracağımız şeyle çok iyi örtüşür. Kısa zaman aralıklarında ivmenin belirgin şekilde yükseldiği ve azaldığı bir yolculuk yapıyor olsaydınız, hissedeceğiniz hareket ''sarsımlı'' olurdu ve bedeninizi stabil halde tutmak için kaslarınızın farklı miktarlarda kuvvet uygulaması gerekirdi.

Bu bölümü bitirmek için, sarsımı aşağıda gösterilen örnek grafikle görselleştirelim. Farklı anlarda eğimin (yani sarsım) nasıl gözüktüğünü görmek için, noktayı yatay olarak hareket ettirmeyi deneyin.

Kavram kontrolü: Yukarıdaki grafikte gösterilen ivme için $t = 6 s$ ‍'de sıçrama pozitif midir, negatif midir, sıfır mıdır?

Bir ivme grafiğinde alan neyi temsil eder?

Bir ivme grafiğinin altındaki alan, hızdaki değişimi gösterir. Başka bir deyişle, belirli bir zaman aralığı için ivme grafiğinin altındaki alan, bu zaman aralığındaki hız değişimine eşittir.

alan = Δ v

Durumun neden böyle olduğunu görmenin en kolay yolu, 9 s süre boyunca

4 \frac{m}{s^{2}}

sabit ivmeyi gösteren aşağıdaki örnek grafiği incelemektir.

Eğer ivme tanımının

(a = \frac{Δ v}{Δ t})

her iki tarafını süredeki değişim

(Δ t

) ile çarparsak,

Δ v = a Δ t

elde ederiz.

İvme

4 \frac{m}{s^{2}}

ve zaman aralığı 9 s koyarak hızdaki değişimi bulabiliriz:

Δ v = a Δ t = (4 \frac{m}{s^{2}}) (9 s) = 36 \frac{m}{s}

İvmeyi zaman aralığı ile çarpmak, eğrinin altındaki alanı bulmaya denktir. Aşağıdaki şemada görüldüğü gibi, eğrinin altındaki alan bir dikdörtgendir.

Alan yükseklik ile genişlik çarpımıyla bulunabilir. Bu dikdörtgenin yüksekliği

4 \frac{m}{s^{2}}

ve genişliği 9 s'dir. Buna göre, alanı bulmak size yanı zamanda hızdaki değişimi de verir.

alan = 4 \frac{m}{s^{2}} \times 9 s = 36 \frac{m}{s}

Belirli bir zaman aralığı için herhangi bir ivme grafiğinin altındaki alan, o zaman aralığındaki hız değişimini verir.

Güzel soru. Belirli bir zaman aralığı için bir ivme grafiğinin altındaki alanın hızdaki değişimi vereceğini sabit ivme durumu için ispatladık, ancak herhangi bir ivme grafiğinin altındaki alan -ivme sabit olmasa dahi- ivmedeki değişimi verecektir.

Bunun nedeni, değişen bir ivme grafiğinin altındaki alanın, aşağıdaki şemada görüldüğü gibi genişliği çok ince olan küçük dikdörtgenlere bölünebilmesidir. Eğer dikdörtgenlerin genişliği yeterince küçükse, ivme yaklaşık olarak sabit olacaktır. Her küçük zaman aralığında yükseklikle genişliğin çarpımı alanı ve ivmedeki değişim

Δ v = a Δ t

'yı verecektir. Dikdörtgenlerin alanlarını toplamak, verilen zaman aralığı için eğrinin altındaki yaklaşık toplam alanı ve hızdaki toplam değişimi verir.

Eğer dikdörtgenlerin genişlikleri sonsuz küçüklükte alınırsa, tüm dikdörtgenlerin alanlarının toplamı eğrinin altındaki alanı ve hızdaki değişimi tam olarak verecektir. Buna göre, herhangi bir ivme grafiğinin altındaki alan, hızdaki değişimi verir. Eğer bu tartışma size çok fazla matematik içeriyor gibi geliyorsa, bunun sebebi muhtemelen bahsettiğimiz ispatın düzgün şekilde elde edilmesinin analiz kavramlarını gerektirmesidir (analizdeki integral alma, eğrilerin altındaki alanları bulmanızı sağlayan bir işlemdir).

Not: Bir problemi çözerken veya bir soruyu cevaplarken alanı bulmak için bir eğriyi gerçekten dikdörtgenlere ayırmak zorunda değiliz. Eğrinin altındaki alanın hızdaki değişime eşit olduğunu bildiğimiz için, eğrinin altındaki alanı bize en uygun gelen yolla bulabiliriz. Başka şekilde ifade edersek, yukarıda gösterilen grafikte alanı ve hızdaki değişimi bulmak için üçgenin alanı formülünü yani

\frac{1}{2} t y

'yi kullanabilirdik.

İvme ile süre grafiğine ilişkin çözülmüş örnekler neye benziyor?

Örnek 1: Yarış arabasının ivmelenmesi

Kendisine güvenen bir yarış arabası sürücüsü, 20 m/s sabit hızla araba kullanmaktadır. Bitiş çizgisine yaklaşırken, yarış arabası ivme kazanmaya başlar. Aşağıda gösterilen grafik, yarış arabasının hızlanmaya başladığındaki ivmesini göstermektedir. Yarış arabasının

t = 0 s

anındaki ivmesinin 20 m/s olduğunu varsayın.

Yarış arabasının grafikte gösterilen 8 saniyelik ivmelenme sonucundaki hızı nedir?

İvme grafiğinin altındaki alanı bularak hızdaki değişimi bulabiliriz.

Δ v = alan = \frac{1}{2} t y = \frac{1}{2} (8 s) (6 \frac{m}{s^{2}}) = 24 m/s (Üçgen alanı formülünü kullanın: \frac{1}{2} t y .)

Δ v = 24 m/s (Hızdaki değişimi hesaplayın.)

Ancak bu, sadece zaman aralığı sırasında hızdaki değişimdir. Bizim son hızı bulmamız gerekiyor. Bunu bulmak için, hızdaki değişim tanımını yani

Δ v = v_{f} - v_{i}

'yi kullanabiliriz,

Δ v = 24 m/s

v_{s} - v_{i} = 24 m/s (Δ v için v_{s} - v_{i} girin.)

v_{s} - 20 m/s = 24 m/s (Başlangıç hızı v_{i} için 20 m/s girin.)

v_{s} = 24 m/s + 20 m/s (v_{f} ’yi hesaplayın.)

v_{s} = 44 m/s (Hesaplayın ve kutlayın!)

Yarış arabasının son hızı 44 m/s idi.

Örnek 2: Yelkenlide rüzgarlı yolculuk

Bir yelkenli düz bir rota izleyerek 10 m/s hızla yol almaktadır. Daha sonra

t = 0 s

anında kuvvetli bir rüzgar çıkar ve yelkenlinin aşağıdaki şemada gösterildiği gibi ivme kazanmasına neden olur.

Rüzgar 9 s estikten sonra yelkenlinin hızı nedir?

Grafiğin altındaki alan hızdaki değişimi verir. Grafiğin alanı, aşağıdaki şemada görüldüğü gibi bir dikdörtgen, bir üçgen ve bir üçgene bölünebilir.

t = 0 s

t = 3 s

arasındaki mavi dikdörtgen pozitif alan kabul edilmektedir zira yatay eksenin yukarısındadır.

t = 3 s

t = 7 s

arasındaki yeşil üçgen de pozitif alan kabul edilmektedir zira yatay eksenin yukarısındadır. Bununla birlikte,

t = 7 s

t = 9 s

arasındaki kırmızı üçgen negatif alan kabul edilmektedir zira yatay eksenin aşağısındadır.

t = 0 s

t = 9 s

arasındaki toplam alanı bulmak için, bu alanları toplayacağız (dikdörtgen için

y g

ve üçgenler için

\frac{1}{2} t y

kullanacağız).

Δ v = alan = (4 \frac{m}{s^{2}}) (3 s) + \frac{1}{2} (4 s) (4 \frac{m}{s^{2}}) + \frac{1}{2} (2 s) (- 2 \frac{m}{s^{2}}) (Dikdörtgenin ve iki üçgenin alanlarını toplayın.)

Δ v = 18 m/s (Hızdaki toplam değişimi bulmak üzere hesaplayın.)

Ancak bu hızdaki değişimdir, dolayısıyla son hızı bulmak için, hızdaki değişim tanımını kullanacağız.

v_{s} - v_{i} = 18 m/s (Hızdaki değişim tanımını kullanın.)

v_{s} = 18 m/s + v_{i} (Son hızı hesaplayın.)

v_{s} = 18 m/s + 10 m/s (İlk hızı girin.)

v_{s} = 28 m/s (Hesaplayın ve kutlayın!)

Yelkenlinin son hızı

v_{s} = 28 m/s

'dir.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Ali İhsan Bülbül
4 yıl önce önce paylaşıldı. Ali İhsan Bülbül kullanıcısının ''"Yarış arabasının ... anı'...' gönderisini görmek için direkt link
"Yarış arabasının ... anındaki ivmesinin 20 m/s olduğunu varsayın."
Görülüyor ki, bu cümle yanlış ve ivmesinin yerine hızının ifadesi olacak...
Bu düğme kayıt sayfasına yönlendirirBu düğme kayıt sayfasına yönlendirir
(10 oy)
Cevap
Cem Ceylan
8 yıl önce önce paylaşıldı. Cem Ceylan kullanıcısının ''Türkçe olmaması büyük eks'...' gönderisini görmek için direkt link
Türkçe olmaması büyük eksiklik.
Bu düğme kayıt sayfasına yönlendirirBu düğme kayıt sayfasına yönlendirir
(4 oy)
Cevap

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.

9. Sınıf Fizik