Bernoulli Denklemi Nedir?

İlk bakışta, bir sıvının süratiyle sıvının basıncının ilişkisi hakkındaki Bernoulli prensibi mantığa aykırı bir ifadedir. Çoğu kişi Bernoulli prensibinin doğru olmaması gerektiğini düşünür, ancak bunun sebebi muhtemelen Bernoulli prensibinin gerçekte ne söylediğine ilişkin bir yanlış anlamadan kaynaklanmaktadır. Bernoulli prensibi şunu söyler:

Bernoulli prensibi: Sıvının yatay akışında, sıvı süratinin daha yavaş olduğu noktalara göre, sıvı süratinin daha yüksek olduğu noktalarda basınç daha az olacaktır.

Buna göre, çapı değişen yatay bir su borusunda suyun hızlı hareket ettiği bölgeler suyun daha yavaş hareket ettiği bölgelerden daha az basınç altında olacaktır. Genelde yüksek sürat ile yüksek basınç bağdaştırıldığı için, bu fikir çoğu insana ters gelir. Ancak, bunun eğer arkasındaki basınç önündeki basınçtan daha fazlaysa suyun süratleneceğini söylemenin sadece başka bir yolu olduğunu size bir sonraki bölümde göstereceğiz. Aşağıdaki bölümde Bernoulli prensibini elde edeceğiz, ne söylediğini daha net şekilde göstereceğiz ve umuyoruz ki daha az gizemli gözükmesini sağlayacağız.

Sıkıştırılamayan sıvılar daralan bir bölüme ulaştıklarında sabit hacim akış hızını korumak için süratlenmek zorundadır. Bir hortumdaki dar bir hortum başının suyun süratlenmesini sağlamasının sebebi budur. Ancak bu olguya ilişkin bir şey sizi rahatsız edebilir. Eğer su bir daralma bölgesinde süratleniyor ise, aynı zamanda kinetik enerji kazanmaktadır. Bu ekstra kinetik enerji nereden gelmektedir? Hortumun ucundan? Borudan?

Bir şeye kinetik enerji vermenin tek yolu buna iş yapmaktır. Bu, iş enerji prensibi ile ifade edilir.

Buna göre eğer sıvının bir kısmı süratleniyor ise, dışsal bir şey sıvının bu kısmı üstünde iş yapıyor olmalıdır. Hangi kuvvet sıvıya iş yapılmasına sebep olmaktadır? Gerçek dünya sistemlerinin çoğunda negatif iş yapan pek çok yitirgen kuvvet olabilir, ancak basit olması için biz bu kuvvetlerin ihmal edilebilir olduğunu ve sürekli ve katmanlı bir akışa sahip olduğumuzu varsayacağız. Katmanlı akış sıvının yolları kesişmeyen paralel katmanlar halinde aktığı anlamını taşır. Katmanlı ve düzgün akışta sıvıda girdaplar veya burgaçlar yoktur.

Buna göre, yitirgen kuvvetler dolayısıyla enerji kaybı olmadığını varsayacağız. Bu durumda sıvımızın üstünde iş yapan hangi yitirgen-olmayan kuvvetler sıvının süratlenmesine sebep olabilir? Çevreleyen sıvıdan kaynaklanan basınç sıvının bir bölümü üstünde iş yapılmasına ve süratlenmesine yol açan bir kuvvete neden olacaktır.

Suyun soldan sağa doğru akmasını gösteren aşağıdaki şemayı inceleyin. Belirtilen su hacmi daralan bölgeye girerken süratlenir. Taralı suyun sol tarafındaki $P_1$P, start subscript, 1, end subscript basıncından kaynaklanan kuvvet sağa doğru iter ve pozitif iş yapar, çünkü taralı sıvının hareket yönüyle aynı yönde iter. Taralı sıvının sağ tarafındaki $P_2$P, start subscript, 2, end subscript basıncından kaynaklanan kuvvet sola doğru iter ve negatif iş yapar, çünkü taralı sıvının hareket yönünün tersine iter.

Suyun süratlenmesi gerektiğini (süreklilik denklemine göre) ve bu nedenle buna net pozitif miktarda iş yapıldığını biliyoruz. Dolayısıyla sol taraftaki basıncın kuvvetinin yaptığı iş, sağ taraftaki basıncın kuvvetinin yaptığı negatif işin miktarından daha büyük olmalıdır. Bu daha geniş/ daha yavaş olan $P_1$P, start subscript, 1, end subscript kenarındaki basıncın, daha dar / daha hızlı olan $P_2$P, start subscript, 2, end subscript kenarından daha büyük olması gerektiği anlamını taşır.

Bir sıvıdaki bir noktadaki basınç ve sürat arasındaki bu ters ilişki Bernoulli prensibi olarak adlandırılır.

Bernoulli prensibi: Yatay bir akış çizgisi boyunca olan noktalarda, basıncın daha yüksek olduğu bölgelerde sıvı akış sürati daha yavaştır ve basıncın daha düşük olduğu bölgelerde sıvı akış sürati daha yüksektir.

Yüksek basınçlı bir bölgeden düşük basınçlı bir bölgeye akan sıvının hareketin yönü boyunca olan net kuvvete bağlı olarak hızlanacağı gerçeği, Bernoulli prensibini kavramsal olarak düşünmenin en kolay yoludur.

Sıvının hızlı hareket ettiği bölgelerin daha düşük basınca sahip olması fikri biraz garip gelebilir. Hızla akan ve size çarpan bir sıvı, yavaş akan sıvıya kıyasla bedeninize daha fazla basınç uygulamalıdır, değil mi? Evet, bu doğru. Ancak biz şimdi iki farklı basınçtan bahsediyoruz. Bernoulli prensibinde bahsedilen basınç, borunun kenarlarına uygulanan dahil, akış sırasında tüm yönlere uygulanacak olan sıvının iç basıncıdır. Bu, bir sıvının önüne geçip hareketini durdurduğunuzda sıvının size uygulayacağı basınçtan farklıdır.

Dikkat ederseniz, Bernoulli prensibi hızlı hareket eden bir sıvının belirgin şekilde yüksek basınca sahip olamayacağını söylememektedir. Bu prensip, aynı akış sistemindeki daha yavaş bir bölgedeki basıncın, hareketin daha hızlı olduğu bölgedekinden daha yüksek olması gerektiğini belirtmektedir.

Bernoulli denklemi, Bernoulli prensibinin yer çekimi potansiyel enerjisindeki değişiklikleri de dikkate alan daha genel ve matematiksel formudur. Bir sonraki bölümde bu denklemi elde edeceğiz, ancak bunu yapmadan önce Bernoulli denklemine bakarak ne söylediğini ve bunun nasıl kullanılabileceğini anlayalım.

Bernoulli denklemi, yoğunluğu $\rho$rho olan bir sıvının kararlı ve katmanlı akışındaki iki noktanın (1 ve 2) basıncını, hızını ve yüksekliğini ilişkilendirir. Bernoulli denklemi genelde şu şekilde yazılır:

$\Large P_1+\dfrac{1}{2}\rho v^2_1+\rho gh_1=P_2+\dfrac{1}{2}\rho v^2_2+\rho gh_2$P, start subscript, 1, end subscript, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, start subscript, 1, end subscript, squared, plus, rho, g, h, start subscript, 1, end subscript, equals, P, start subscript, 2, end subscript, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, start subscript, 2, end subscript, squared, plus, rho, g, h, start subscript, 2, end subscript elde ederiz.

Aşağıdaki şemada görüldüğü gibi $P_1$P, start subscript, 1, end subscript, $v_1$v, start subscript, 1, end subscript, $h_1$h, start subscript, 1, end subscript değişkenleri sıvının 1 noktasındaki basıncını, hızını ve yüksekliğini gösterir, $P_2$P, start subscript, 2, end subscript, $v_2$v, start subscript, 2, end subscript ve $h_2$h, start subscript, 2, end subscript değişkenleri ise sıvının 2 noktasındaki basıncını, hızını ve yüksekliğini gösterir. Aşağıdaki şemada iki noktadan (1 ve 2) bir tanesi seçilmiş olmakla birlikte, Bernoulli denklemi sıvıdaki herhangi iki nokta için geçerlidir.

Bernoulli denklemini kullanırken, noktalarınızı nerede seçeceğinizi nasıl bileceksiniz? Noktalardan birisini bulunması zorunlu olan, bilinmeyen bir değişkenin olduğu konumda seçin. Aksi takdirde, bu değişkeni nasıl bulabilirsiniz ki? Tipik olarak, ikinci noktayı size biraz bilgi verilen bir yerde veya sıvının atmosfere açık olduğu bir yerde seçeceksiniz çünkü buradaki mutlak basınç atmosferik basınç $(P_{atm}=1{,}01\times 10^5Pa)$left parenthesis, P, start subscript, a, t, m, end subscript, equals, 1, comma, 01, times, 10, start superscript, 5, end superscript, P, a, right parenthesis olarak bilinir.

$h$h'nin, sizin uygun olduğunu düşündüğünüz rastgele bir seviyenin üstündeki sıvı yüksekliğini belirttiğine dikkat edin. Genelde en kolayı iki noktadan (1 veya 2) daha aşağıda olanı yükseklik olarak seçmektir, burada $h=0$h, equals, 0'dır. $P$P o noktadaki basıncı belirtir. Göreli basıncı veya mutlak basıncı seçebilirsiniz, ancak seçtiğiniz basınç (göreli veya mutlak) denklemin diğer tarafında da kullanılmalıdır. Nokta 1'de göreli basınç ve nokta 2'de mutlak basınç giremezsiniz. Benzer şekilde, eğer nokta 1'de göreli basınç girer ve nokta 2'deki basıncı bulmak isterseniz, elde edeceğiniz değer nokta 2'deki mutlak basınç değil, göreli basınç olacaktır.

Bernoulli denklemindeki $\dfrac{1}{2}\rho v^2$start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, squared ve $\rho gh$rho, g, h terimleri, kinetik enerji $\dfrac{1}{2}m v^2$start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, m, v, squared ve potansiyel enerji $mgh$m, g, h ile aynı gibi görünür, sadece kütle $m$m ile yoğunluk $\rho$rho yer değiştirmiştir. Dolayısıyla Bernoulli denkleminin, akan bir sıvıya enerjinin korunmasının uygulanmasının bir sonucu olması şaşırtıcı değildir. Bir sonraki bölümde enerjinin korunmasını kullanarak Bernoulli denklemini elde edeceğiz.

Suyun hem alanı hem yüksekliği değişen bir boruda soldan sağa doğru aktığı aşağıdaki şemayı inceleyin. Daha önceki gibi, su borudaki daralmalarda hızlanacak ve kinetik enerji $(K)$left parenthesis, K, right parenthesis kazanacaktır; zira bu daralan bölümler yukarı doğru olsa dahi sıkıştırılamayan bir sıvı için hacim akış hızı korunmalıdır. Ancak daralma aynı zamanda sıvının yukarı doğru hareket etmesine neden olduğundan, su hem yerçekimsel potansiyel enerji $(U_g)$left parenthesis, U, start subscript, g, end subscript, right parenthesis hem kinetik enerji $(K)$left parenthesis, K, right parenthesis kazanacaktır. Sıvının kazandığı enerjiyi, sıvıya yapılan dış işe eşitleyerek Bernoulli denklemini elde edeceğiz.

İncelediğimiz enerji sisteminin 1 ve 2 hacimlik suyun yanı sıra bu hacimler arasındaki bir sıvıdan oluştuğunu düşünelim. Sıvı akımının katmanlı, düzgün, tam akışkan (ağdalı olmayan) olduğunu ve akımı etkileyen yitirgen kuvvetler olmadığını varsayarsak o zaman sisteme eklenen herhangi bir ekstra enerji $\Delta ({K+U})_{system}$delta, left parenthesis, K, plus, U, right parenthesis, start subscript, s, y, s, t, e, m, end subscript sıvının çevresindeki basıncın dış gücünden $(W_{external})$left parenthesis, W, start subscript, e, x, t, e, r, n, a, l, end subscript, right parenthesis kaynaklanır.

Bunu matematiksel olarak şöyle ifade edebiliriz:

Önce suya yapılan dış işi $(W_{dış})$left parenthesis, W, start subscript, d, ı, ş, end subscript, right parenthesis bulmaya çalışacağız. 1 ve 2 noktaları arasındaki su dış iş yapamaz, zira su enerji sistemimizin parçasıdır. Sistemimize doğrudan dış iş yapabilecek basınçlar şemada gösterildiği gibi sadece $P_1$P, start subscript, 1, end subscript ve $P_2$P, start subscript, 2, end subscript'dir. Hacim 1'in solunda $P_1$P, start subscript, 1, end subscript'deki su pozitif iş yapacaktır, zira kuvvet sıvının akışıyla aynı yönü göstermektedir. Hacim 2'nin sağında $P_2$P, start subscript, 2, end subscript'deki su sistemimize negatif iş yapacaktır, zira sıvının akışı ile ters yönde itmektedir.

Basit olması için, hacim 1'in solundaki su basıncından kaynaklanan kuvvetin hacim 1'i tüm $d_1$d, start subscript, 1, end subscript genişliği boyunca ittiği durumu ele alacağız. Sıvının sıkıştırılamaz olduğu varsayıldığında, bu, sistemdeki herhangi bir yerde eşit hacimde suyun yer değiştirmesine ve hacim 2'nin uzunluğu boyunca $d_2$d, start subscript, 2, end subscript mesafesiyle yer değiştirmesine neden olmalıdır.

İş $W=Fd$W, equals, F, d ile bulunabilir. Basınçtan kaynaklanan kuvvet için formülü $F=PA$F, equals, P, A işten için olan formüle koyarak $W=PAd$W, equals, P, A, d elde ederiz. Buna göre, nokta 1 yakınındaki su tarafından sistemimize yapılan pozitif iş $W_1=P_1A_1d_1$W, start subscript, 1, end subscript, equals, P, start subscript, 1, end subscript, A, start subscript, 1, end subscript, d, start subscript, 1, end subscript olacaktır ve nokta 2 yakınındaki su tarafından sistemimize yapılan pozitif iş $W_2=-P_2A_2d_2$W, start subscript, 2, end subscript, equals, minus, P, start subscript, 2, end subscript, A, start subscript, 2, end subscript, d, start subscript, 2, end subscript olacaktır.

İş için olan bu ifadeleri, iş enerjisi formülümüzün $(W_{net} = \Delta ({K+U})_{sistem} )$left parenthesis, W, start subscript, n, e, t, end subscript, equals, delta, left parenthesis, K, plus, U, right parenthesis, start subscript, s, i, s, t, e, m, end subscript, right parenthesis sol tarafına koyduğumuzda,

$P_1A_1d_1-P_2A_2d_2=\Delta ({K+U})_{sistem}$P, start subscript, 1, end subscript, A, start subscript, 1, end subscript, d, start subscript, 1, end subscript, minus, P, start subscript, 2, end subscript, A, start subscript, 2, end subscript, d, start subscript, 2, end subscript, equals, delta, left parenthesis, K, plus, U, right parenthesis, start subscript, s, i, s, t, e, m, end subscript elde ederiz.

Ancak $A_1d_1$A, start subscript, 1, end subscript, d, start subscript, 1, end subscript ve $A_2d_2$A, start subscript, 2, end subscript, d, start subscript, 2, end subscript terimleri aynı olmalıdır zira bunlar nokta 1 ve nokta 2 yakınında yer değiştiren sıvı hacimlerini temsil eder. Eğer sıvının sıkıştırılamaz olduğunu varsayarsak eş miktarda sıvı, tepeye yakın yer dahil, sıvının içinde her yerde yer değiştirmiş olmalıdır. Dolayısıyla, $V_1=A_1d_1=A_2d_2=V_2$V, start subscript, 1, end subscript, equals, A, start subscript, 1, end subscript, d, start subscript, 1, end subscript, equals, A, start subscript, 2, end subscript, d, start subscript, 2, end subscript, equals, V, start subscript, 2, end subscript'dir. Hacimler birbirine eşit olduğundan, hacim terimini sadece $V$V olarak yazabiliriz. Bu, iş enerjisi formülünün sol tarafını

$P_1V-P_2V= \Delta ({K+U})_{sistem}$P, start subscript, 1, end subscript, V, minus, P, start subscript, 2, end subscript, V, equals, delta, left parenthesis, K, plus, U, right parenthesis, start subscript, s, i, s, t, e, m, end subscript şeklinde sadeleştirir.

Bu, sol tarafı halleder. Şimdi bu denklemin sağ tarafını ele almalıyız. Bu, türetimin önemli ve ustalık isteyen bir parçasıdır. Sistemimizin sadece 1 ve 2 noktası yakınındaki taralı su parçalarını değil, aynı zamanda o iki noktanın arasındaki suyun tamamını da içerdiğini hatırlayın. Bu büyük ve hareketli sistemin tüm parçalarının kinetik enerjisinin ve yer çekimi potansiyel enerjisinin tüm değişimini nasıl hesaplarız?

Bu türetmeyi tamamlamak için bir varsayım daha yapmalıyız. Sıvı akışının dengeli olduğunu varsayacağız. "Dengeli akış" derken, borudaki belirli bir noktadan geçen sıvının süratinin değişmemesinden bahsediyoruz. Başka şekilde ifade edersek, eğer ayakta durup şeffaf bir borunun herhangi bir kesitine baksaydınız, her saniye yanınızdan yeni su geçtiğini görecektiniz; ancak eğer dengeli akış varsa, bu durumda o belirli noktayı geçtiğinde suyun tamamı aynı sürate sahip olacaktır.

Dengeli akış kavramı, büyük hareketli sıvı sisteminin enerjisindeki değişimi bulmamıza nasıl yardımcı olur? Aşağıdaki şemayı inceleyin. Enerji sistemimiz grileşen sıvıdan oluşur (hacim 1, hacim 2 ve aralarındaki tüm sıvı). İlk görselde, sistemin bir miktar toplam enerjisi $(K+U)_{başlangıç}$left parenthesis, K, plus, U, right parenthesis, start subscript, b, a, ş, l, a, n, g, ı, ç, end subscript bulunmaktadır. İkinci görselde tüm sisteme iş yapılmıştır, enerji kazanır, sağa doğru kayar ve şimdi farklı bir toplam enerjisi $(K+U)_{nihai}$left parenthesis, K, plus, U, right parenthesis, start subscript, n, i, h, a, i, end subscript vardır. Ancak dikkat ederseniz, dengeli akış olduğu varsayıldığında, kesikli çizgilerin arasındaki sıvının enerjisi iş yapılmadan öncekiyle aynı olacaktır. Su kesikli çizgilerin arasındaki bölgede konum ve sürat değiştirmiştir, ancak bunu tam olarak aynı süratle (örn. $v_a$v, start subscript, a, end subscript ve $v_b$v, start subscript, b, end subscript) hareket edecek ve suyun o konumdaki daha önceki yüksekliğiyle aynı olacak şekilde yapmıştır. Sistemimizde farklı olan yegane şey, şimdi hacim 2'nin borunun daha önce bulunmadığı bir bölgesine uzanmasıdır ve şimdi sistemimizde hacim 1'in ötesinde hiçbir şey eski konumunu korumamaktadır.

Bu, sistemin enerjisindeki toplam değişikliğin, basitçe bitim noktalarının enerjilerini dikkate alarak bulunabileceği anlamını taşır. İsimleriyle birlikte söylersek, iş yapıldıktan sonra şimdi hacim 2'de bulunan kinetik ve potansiyel enerjiyi $(K_2+U_2)$left parenthesis, K, start subscript, 2, end subscript, plus, U, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis alabiliriz ve iş yapıldıktan sonra artık hacim 1'in arkasında bulunmayan kinetik ve potansiyel enerjiyi $(K_1+U_1)$left parenthesis, K, start subscript, 1, end subscript, plus, U, start subscript, 1, end subscript, right parenthesis çıkarabiliriz. Başka kelimelerle ifade edersek, $\Delta (K+U)_{sistem}=(K_2+U_2)-(K_1+U_1)$delta, left parenthesis, K, plus, U, right parenthesis, start subscript, s, i, s, t, e, m, end subscript, equals, left parenthesis, K, start subscript, 2, end subscript, plus, U, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis, minus, left parenthesis, K, start subscript, 1, end subscript, plus, U, start subscript, 1, end subscript, right parenthesis.

Bunu iş enerjisi formülünün $(P_1V-P_2V= \Delta ({K+U})_{sistem})$left parenthesis, P, start subscript, 1, end subscript, V, minus, P, start subscript, 2, end subscript, V, equals, delta, left parenthesis, K, plus, U, right parenthesis, start subscript, s, i, s, t, e, m, end subscript, right parenthesis sağ tarafına koyduğumuzda,

$P_1V-P_2V= (K_2+U_2)-(K_1+U_1)$P, start subscript, 1, end subscript, V, minus, P, start subscript, 2, end subscript, V, equals, left parenthesis, K, start subscript, 2, end subscript, plus, U, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis, minus, left parenthesis, K, start subscript, 1, end subscript, plus, U, start subscript, 1, end subscript, right parenthesis elde ederiz.

Şimdi kinetik enerji $(K=\dfrac{1}{2}mv^2)$left parenthesis, K, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, m, v, squared, right parenthesis ve yer çekimi potansiyel enerjisi $(U_g=mgh)$left parenthesis, U, start subscript, g, end subscript, equals, m, g, h, right parenthesis formüllerini koyacağız, ve

$P_1V-P_2V= (\dfrac{1}{2}m_2v^2_2+m_2gh_2)-(\dfrac{1}{2}m_1v^2_1+m_1gh_1)$P, start subscript, 1, end subscript, V, minus, P, start subscript, 2, end subscript, V, equals, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, m, start subscript, 2, end subscript, v, start subscript, 2, end subscript, squared, plus, m, start subscript, 2, end subscript, g, h, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis, minus, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, m, start subscript, 1, end subscript, v, start subscript, 1, end subscript, squared, plus, m, start subscript, 1, end subscript, g, h, start subscript, 1, end subscript, right parenthesis elde edeceğiz.

Bu denklemde, $P_1$P, start subscript, 1, end subscript ve $P_2$P, start subscript, 2, end subscript sıvının sırasıyla hacim 1 ve 2'deki basıncını temsil eder. $v_1$v, start subscript, 1, end subscript ve $v_2$v, start subscript, 2, end subscript değişkenleri, sıvının sırasıyla hacim 1 ve 2'deki hızını temsil eder. $h_1$h, start subscript, 1, end subscript ve $h_2$h, start subscript, 2, end subscript, sıvının sırasıyla hacim 1 ve 2'deki yüksekliğini temsil eder.

Ancak biz sıvının sıkıştırılamaz olduğunu varsaydığımız için, yer değiştiren hacim 1 ve 2'nin kütleleri aynı olmalıdır, $m_1=m_2=m$m, start subscript, 1, end subscript, equals, m, start subscript, 2, end subscript, equals, m. Dolayısıyla $m$m'lerin altındaki rakamlardan kurtulduğumuzda,

$P_1V-P_2V= (\dfrac{1}{2}mv^2_2+mgh_2)-(\dfrac{1}{2}mv^2_1+mgh_1)$P, start subscript, 1, end subscript, V, minus, P, start subscript, 2, end subscript, V, equals, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, m, v, start subscript, 2, end subscript, squared, plus, m, g, h, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis, minus, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, m, v, start subscript, 1, end subscript, squared, plus, m, g, h, start subscript, 1, end subscript, right parenthesis elde ederiz.

Her iki tarafı $V$V ile böldüğümüzde ve parantezleri kaldırdığımızda,

$P_1-P_2= \dfrac{\dfrac{1}{2}mv_2^2}{V}+\dfrac{mgh_2}{V}-\dfrac{\dfrac{1}{2}m v^2_1}{V}-\dfrac{mgh_1}{V}$P, start subscript, 1, end subscript, minus, P, start subscript, 2, end subscript, equals, start fraction, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, m, v, start subscript, 2, end subscript, squared, divided by, V, end fraction, plus, start fraction, m, g, h, start subscript, 2, end subscript, divided by, V, end fraction, minus, start fraction, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, m, v, start subscript, 1, end subscript, squared, divided by, V, end fraction, minus, start fraction, m, g, h, start subscript, 1, end subscript, divided by, V, end fraction elde ederiz.

Yer değiştiren sıvının kütlesi bölü yer değiştiren sıvının hacminin, sıvının yoğunluğu $\rho=\dfrac{m}{V}$rho, equals, start fraction, m, divided by, V, end fraction olduğuna dikkat ederek bu denklemi sadeleştirebiliriz. $\dfrac{m}{V}$start fraction, m, divided by, V, end fraction yerine $\rho$rho koyduğumuzda,

$P_1-P_2= \dfrac{1}{2}\rho v_2^2+\rho gh_2-\dfrac{1}{2}\rho v^2_1-\rho gh_1$P, start subscript, 1, end subscript, minus, P, start subscript, 2, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, start subscript, 2, end subscript, squared, plus, rho, g, h, start subscript, 2, end subscript, minus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, start subscript, 1, end subscript, squared, minus, rho, g, h, start subscript, 1, end subscript elde ederiz.

Şimdi uzaydaki aynı noktayı temsil eden terimlerin tümünü denklemin bir tarafına almak için cebir kullanarak sadece formülü yeniden düzenleyeceğiz. Bunu yaptığımızda,

$\Large P_1+\dfrac{1}{2}\rho v^2_1+\rho gh_1=P_2+\dfrac{1}{2}\rho v^2_2+\rho gh_2$P, start subscript, 1, end subscript, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, start subscript, 1, end subscript, squared, plus, rho, g, h, start subscript, 1, end subscript, equals, P, start subscript, 2, end subscript, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, start subscript, 2, end subscript, squared, plus, rho, g, h, start subscript, 2, end subscript elde ederiz.

Artık burada, nihayet. Bernoulli denklemi budur! Bu denklem, eğer basınç $P$P artı kinetik enerji yoğunluğu $\dfrac{1}{2}\rho v^2$start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, squared artı yer çekimi potansiyel enerjisi yoğunluğu $\rho gh$rho, g, h değerlerini eklerseniz, borudaki herhangi iki noktada bunların birbirine eşit olacağını söyler.

Bernoulli denklemi akan bir sıvı için bir enerjiyi koruma yasası olarak görülebilir. Bernoulli denkleminin, bir sıvı sisteminin kazandığı herhangi bir ekstra kinetik veya potansiyel enerjinin, sıvıyı çevreleyen su basıncının yaptığı işten kaynaklandığı gerçeğini kullanmanın bir sonucu olduğunu görmüştük. Bu türetmeyi elde ederken pek çok varsayımda bulunmak zorunda kaldığımızı aklınızda tutmalısınız. Dengeli akış olduğunu ve hiç yitirgen kuvvet olmadığını varsaydık zira aksi takdirde termal enerji üretilmiş olacaktı. Dengeli akış olduğunu varsaydık, çünkü aksi takdirde orta bölümdeki enerjilerin birbirini götürmesi uygulaması işe yaramayacaktı. Sıkıştırılamaz olduğunu varsaydık, zira aksi takdirde hacimler ve kütleler eşit olmayabilecekti.

Bir dengeli akışta $P+\dfrac{1}{2}\rho v^2+\rho gh$P, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, squared, plus, rho, g, h miktarı her noktada aynı olduğundan, Bernoulli denklemini yazmanın başka bir yolu şöyledir:

Farklı sıvı sistemleri için bu sabit farklı olacaktır ancak verilen düzenli durumdaki dengeli akan yitirgen olmayan sıvı için, $P+\dfrac{1}{2}\rho v^2+\rho gh$P, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, squared, plus, rho, g, h değeri akan sıvıda her noktada aynı olacaktır.

Burada, Bernoulli prensibinin Bernoulli denkleminde içerildiğini belirtmeliyiz. Eğer

$P_1+\dfrac{1}{2}\rho v^2_1+\rho gh_1=P_2+\dfrac{1}{2}\rho v^2_2+\rho gh_2$P, start subscript, 1, end subscript, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, start subscript, 1, end subscript, squared, plus, rho, g, h, start subscript, 1, end subscript, equals, P, start subscript, 2, end subscript, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, rho, v, start subscript, 2, end subscript, squared, plus, rho, g, h, start subscript, 2, end subscript ile başlarsak

ve sıvının yüksekliğinde herhangi bir değişiklik olmadığını varsayarsak, her iki taraftan çıkardığımızda $\rho gh$rho, g, h terimleri birbirini götürür.

Veya bunu şöyle yazabiliriz:

Bu formül Bernoulli prensibini vurgular, çünkü eğer katmanlı akışta bir sıvının verilen bir bölgedeki sürati $v$v daha büyük ise, bu bölgede basınç $P$P daha küçük olmalıdır (bu Bernoulli prensibidir). Toplamın daima aynı sabit sayı olması için, $v$v süratindeki bir artışa eşzamanlı olarak $P$P basıncındaki azalma eşlik ediyor olmalıdır.

Bir lokanta sahibisiniz ve içecekleri müşterilere ulaştırmak için yeni yollar araştırmaktasınız. Önerilerden birisi, tüm lokantaya yoğunluğu $1.090\dfrac{kg}{m^3}$1, point, 090, start fraction, k, g, divided by, m, cubed, end fraction olan alkolsüz birayı iletecek olan bir tüp yapmaktır. Tüpün bir bölümü aşağıda gösterilmiştir. Çizimler 1 noktasında hızın $3,00\text{ m/s}$3, comma, 00, start text, space, m, slash, s, end text ve göreli basıncın $12.300\text{ Pa}$12, point, 300, start text, space, P, a, end text olduğunu göstermektedir. Nokta 2'deki alkolsüz bira, nokta 1'deki sıvıdan $1,20\text{ m}$1, comma, 20, start text, space, m, end text daha yüksektedir ve $0,750\text{ m/s}$0, comma, 750, start text, space, m, slash, s, end text hızla hareket etmektedir. Çizimlerden alkolsüz biranın 2 noktasındaki basıncını anlayamıyorsunuz.

Bu noktada bir $h=0$h, equals, 0 referans çizgisi seçmeliyiz. Nokta 1'deki yüksekliği $h=0$h, equals, 0 olarak seçeceğiz. Bu $h_1=0$h, start subscript, 1, end subscript, equals, 0 ve $h_2=1,2\text{ m}$h, start subscript, 2, end subscript, equals, 1, comma, 2, start text, space, m, end text değerlerini verir. Yükseklik için bu değerleri koyduğumuzda şunu elde ederiz:

Sıfır içeren terimden kurtulur ve diğer değişkenler içine sayısal değerler girersek, bunu elde ederiz:

Not: Nokta 2'deki mutlak basıncın değil, göreli basıncın bu olduğunu biliyoruz çünkü nokta 1 için göreli basıncı girdik. Eğer mutlak basıncı isteseydik cevabımıza atmosferik basıncı $(1,01\times 10^5 \text{ Pa})$left parenthesis, 1, comma, 01, times, 10, start superscript, 5, end superscript, start text, space, P, a, end text, right parenthesis ekleyebilirdik.

Büyük bir otel sizden suyu yatay olarak yer altından $8,00\text{ m}$8, comma, 00, start text, space, m, end text taşıyan, $15\text{ cm}$15, start text, space, c, m, end text çaplı silindir bir boruyla beslenen bir su fıskiyesi yapmanızı istemiştir. Boru yukarı doğru döner ve silindir borunun sonunda suyu $5,00\text{ cm}$5, comma, 00, start text, space, c, m, end text çapla havaya verir, burası yerin $1,75\text{ m}$1, comma, 75, start text, space, m, end text üstündedir, ve hız $32,0 \text{ m/s}$32, comma, 0, start text, space, m, slash, s, end text'dir. Suyun yoğunluğu $1,000 \dfrac{kg}{m^3}$1, comma, 000, start fraction, k, g, divided by, m, cubed, end fraction'tür.

Bernoulli denklemi problemleri karmaşık olduğundan, durumun bir şemasını çizmeli ve ilgilendiğimiz iki noktayı seçmeliyiz (bu şema ölçekli çizilmemiştir).

Borunun tabanına yakın olan noktayı nokta 1 olarak seçeceğiz çünkü basıncı belirlemek istediğimiz yer budur ve borunun tepesinde suyun çıktığı yeri nokta 2 olarak seçeceğiz çünkü bize suyun bu noktadaki hızına ilişkin bilgi verilmiştir.

Suyun nokta 1'deki hızını bilmiyoruz. Nokta 1'deki bilinmeyen basıncı bulmak üzere Bernoulli denklemini kullanabilmek için, önce $v_1$v, start subscript, 1, end subscript hızını bulmalıyız.

Su sıkıştırılamaz olduğundan, $A_1v_1=A_2v_2$A, start subscript, 1, end subscript, v, start subscript, 1, end subscript, equals, A, start subscript, 2, end subscript, v, start subscript, 2, end subscript süreklilik denklemini kullanarak bunu yapabiliriz. Silindir bir borunun kesit alanının $A=\pi r^2$A, equals, pi, r, squared ile bulunabileceğini biliyoruz, dolayısıyla alanlarımızı süreklilik denklemine koyduğumuzda şunu elde ederiz:

Bunu $v_1$v, start subscript, 1, end subscript hızını bulmak için çözdüğümüzde $\pi$pi'ler birbirini götürür ve

$v_1=(\dfrac{r^2_2}{r^2_1})v_2$v, start subscript, 1, end subscript, equals, left parenthesis, start fraction, r, start subscript, 2, end subscript, squared, divided by, r, start subscript, 1, end subscript, squared, end fraction, right parenthesis, v, start subscript, 2, end subscript kalır.

Boruların yarıçaplarını koyduğumuzda nokta 1'deki hızı bulabiliriz, ve

$v_1=\dfrac{(2,50\text{ cm})^2}{(7,50\text{ cm})^2}(32,0\text{ m/s})=3,56\text{ m/s} \quad$v, start subscript, 1, end subscript, equals, start fraction, left parenthesis, 2, comma, 50, start text, space, c, m, end text, right parenthesis, squared, divided by, left parenthesis, 7, comma, 50, start text, space, c, m, end text, right parenthesis, squared, end fraction, left parenthesis, 32, comma, 0, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, equals, 3, comma, 56, start text, space, m, slash, s, end textelde ederiz.

Artık nokta 1'deki hızı bildiğimize göre, bunu tekrar düzenlemiş olduğumuz Bernoulli denklemine koyarak şunu elde ediyoruz:

$h=0$h, equals, 0 referans doğrusunu nokta 1'de seçebiliriz, bu $h_1=0\text{ m}$h, start subscript, 1, end subscript, equals, 0, start text, space, m, end text ve $h_2=8,00\text{ m}+1,75\text{ m}=9,75\text{ m}$h, start subscript, 2, end subscript, equals, 8, comma, 00, start text, space, m, end text, plus, 1, comma, 75, start text, space, m, end text, equals, 9, comma, 75, start text, space, m, end text verir.

Bunları tekrar düzenlenmiş Bernoulli denklemimize koymak $\rho gh_1$rho, g, h, start subscript, 1, end subscript teriminin gitmesini sağlar (zira sıfırdır) ve bunu elde ederiz:

Şimdi tüm yapmamız gereken 2. noktada $P_2$P, start subscript, 2, end subscript'yi bulmaktır. 2. noktadaki basıncın atmosferik basınç olması gerektiğini öne süreceğiz, zira su atmosferle birleşmiştir. Bu, çoğu Bernoulli denklemi probleminde yapılması gereken bir varsayımdır. Bir nokta atmosfere açık olduğunda, o nokta atmosferik basınçta olmalıdır. Bernoulli denkleminde mutlak basınçları kullanabilir ve $P_2=1,01\times 10^5 Pa$P, start subscript, 2, end subscript, equals, 1, comma, 01, times, 10, start superscript, 5, end superscript, P, a olduğunu söyleyebiliriz, veya göreli basınçları kullanabilir ve $P_2=0$P, start subscript, 2, end subscript, equals, 0 olduğunu söyleyebiliriz (zira göreli basınç, atmosferik basıncın üstündeki basıncı ölçmektedir). Sıfırlar olduğunda işimiz kolaylaşıyor, dolayısıyla göreli basıncı ve $P_2=0$P, start subscript, 2, end subscript, equals, 0'ı kullanacağız. Bu, yeniden düzenlenmiş Bernoulli denklemimizin şöyle gözükmesini sağlar:

Şimdi suyun yoğunluğunu $(\rho=1.000 \dfrac{kg}{m^3})$left parenthesis, rho, equals, 1, point, 000, start fraction, k, g, divided by, m, cubed, end fraction, right parenthesis ve yer çekimine bağlı ivmenin büyüklüğünü $(g=+9,8\dfrac{m}{s^2})$left parenthesis, g, equals, plus, 9, comma, 8, start fraction, m, divided by, s, squared, end fraction, right parenthesis yerine koyarız ve bunu elde ederiz:

Not: Bulduğumuz göreli basınçtı zira $P_2=0$P, start subscript, 2, end subscript, equals, 0 koyduk. Eğer $P_2=1,01\times 10^5 \text{ Pa}$P, start subscript, 2, end subscript, equals, 1, comma, 01, times, 10, start superscript, 5, end superscript, start text, space, P, a, end text koymuş olsaydık, nokta 1'deki mutlak basıncı bulurduk.