Kütle merkezinin tanımını ve bunun nasıl hesaplandığını öğrenin.

Kütle merkezi nedir?

Kütle merkezi, bir nesneye veya nesnelerden oluşan bir sisteme göre tanımlanan bir konumdur. Bu, sistemin tüm parçalarının kütlelerine göre ağırlıklandırılmış ortalama konumudur.
Muntazam yoğunluklu basit katı nesneler için, kütle merkezi kitle merkezindedir. Örneğin, muntazam bir disk şeklinin kütle merkezi bunun merkezinde olacaktır. Bazen kütle merkezi nesnede bir yerde değildir. Örneğin bir yüzüğün kütle merkezi bunun merkezindedir, ancak burada hiç materyal yoktur.
Şekil 1: Bazı basit geometrik şekiller için kütle merkezi (kırmızı noktalar).
Şekil 1: Bazı basit geometrik şekiller için kütle merkezi (kırmızı noktalar).
Daha karmaşık şekiller için, kütle merkezinin daha genel bir tanımına ihtiyacımız var: kütle merkezi, bir sistemin tüm parçalarının ağırlıklandırılmış konum vektörlerinin toplamının sıfır olduğu özgün konumdur.
Ağırlıklandırılmış konum vektörü, başlangıç noktasından bir nesneye doğru olan ve büyüklüğü mm olan bir vektördür, burada mm nesnenin kütlesidir. Örneğin (mr^)(m\cdot \mathbf{\hat{r}}), burada r^\mathbf{\hat{r}} başlangıç noktasından nesneye doğru olan bir birim vektördür.
nn nesneden oluşan bir sistem için, kütle merkezi aşağıdaki noktadır:
i=1nmir^i=0\sum_{i=1}^n m_i \mathbf{\hat{r}}_i = 0
Eğer vektörlerimiz için seçtiğimiz başlangıç noktası zaten kütle merkezindeyse, bu durumda toplam sıfır olacaktır. Diğer durumlarda, vektör toplamı S\mathbf{S} kütle merkezini gösterecektir. Burada MM sistemin toplam kütlesidir.
S=1Mi=1nmir^i\mathbf{S} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^n m_i \mathbf{\hat{r}}_i

Kütlenin merkezi ne işe yarar?

Bir nesnenin veya sistemin kütle merkezine ilişkin olarak ilginç olan şey, bunun herhangi bir yeknesak kuvvetin nesneye etki ettiği nokta olmasıdır. Bu, garip şekilli nesneleri ve karmaşık sistemleri tanımlamamızın gerektiği mekanik problemlerini çözmeyi kolaylaştırdığı için yararlıdır.
Hesaplamanın kolaylaşması için, garip şekilli bir nesneyi, bu nesnenin kütlesinin tamamı kütle merkezindeki küçük bir nesnede yoğunlaşmış gibi düşünebiliriz. Bu imajiner nesneyi, genelde nokta kütle olarak adlandırırız.
Eğer katı bir nesneyi kütle merkezinden itersek, bu durumda nesne daima bir nokta kütleymiş gibi hareket edecektir. Gerçek şekli ne olursa olsun, nesne herhangi bir eksen etrafında dönmeyecektir. Eğer dengelenmemiş bir kuvvet nesneye kütle merkezinin dışında bir yerde etki ederse, bu durumda nesne kütle merkezinin etrafında dönmeye başlayacaktır.

Herhangi bir nesnenin veya sistemin kütle merkezini nasıl buluruz?

Genel olarak, kütle merkezi bir sistemdeki her nesnenin kütle merkezini gösteren ağırlıklandırılmış konum vektörlerinin vektör toplamı ile bulunur. Vektör aritmetiğini kulllanmaktan kurtulmamızı sağlayan hızlı bir yöntem, her eksendeki bileşenler için kütle merkezini ayrı ayrı bulmaktır:
x ekseni boyunca nesne konumları için:
COMx=m1x1+m2x2+m3x3+m1+m2+m3+\mathrm{COM}_x = \frac{m_1 \cdot x_1 + m_2 \cdot x_2 + m_3 \cdot x_3 + \ldots}{m_1 + m_2 + m_3 + \ldots}
Benzer şekilde, y ekseni için:
COMy=m1y1+m2y2+m3y3+m1+m2+m3+\mathrm{COM}_y = \frac{m_1 \cdot y_1 + m_2 \cdot y_2 + m_3 \cdot y_3 + \ldots}{m_1 + m_2 + m_3 + \ldots}
Birlikte, bunlar sistemin kütle merkezinin tam koordinatlarını (COMx,COMy)(\mathrm{COM}_x, \mathrm{COM}_y) verir. Örneğin, Şekil 2'de gösterilen yeknesak yoğunluklu üç düz nesneden oluşan sistemi düşünün.
Şekil 2: Üç düz nesneden oluşan bir sistem.
Şekil 2: Üç düz nesneden oluşan bir sistem.
xx yönünde kütle merkezinin konumu şudur:
14+16+2121+1+2=8,5\frac{1\cdot 4 + 1\cdot 6 + 2\cdot 12}{1+1+2} = 8,5
ve yy yönünde:
15+112+28,51+1+2=8,5\frac{1\cdot 5 + 1\cdot 12 + 2\cdot 8,5}{1+1+2} = 8,5
Karmaşık nesneler genelde her birisi yeknesak kütleye sahip basit şekillerin toplamı şeklinde temsil edilebilir. Daha sonra, her karmaşık şekli konumu ağırlık merkezinde olan bir nokta kütle olarak gösterebiliriz. Nesnelerin içindeki boşluklar, bunları negatif kütleli şekiller olarak göstererek dikkate alınabilir.
Şekil 3a'da gösterilmiş olan, düzgün olmayan şekilli, yeknesak yoğunluklu nesneyi inceleyin.
Şekil 3: (a) Şekli düzgün olmayan, düz bir nesne. (b) Basit şekillere bölünmüş bir nesne.
Şekil 3: (a) Şekli düzgün olmayan, düz bir nesne. (b) Basit şekillere bölünmüş bir nesne.
Bu nesneyi, Şekil 3b'de gösterildiği gibi dört dikdörtgen ve bir çembere ayırabiliriz. Burada sadece, şekilde gösterilmiş göreli birimler cinsinden kütle merkezinin konumuyla ilgileniyoruz. Materyal yeknesak yoğunluğa sahip olduğundan, kütle alanla orantılıdır. Basit olması için, her kesitin kütlesini şemada gösterildiği gibi 'kare' cinsinden temsil edebiliriz.
xx yönünde, kütle merkezi şuradadır:
Dairesel boşluğun alanının π1,527,1\pi \cdot 1,5^2 \simeq 7,1 olduğuna dikkat edin. Bu, negatif kütle olarak dikkate alınır.
yy yönünde:

Ağırlık merkezi nedir?

Yer çekimi merkezi, yer çekimi kuvvetinin bir nesneye veya sisteme uygulandığı noktadır. Çoğu mekanik probleminde, yer çekimi alanının yeknesak olduğu varsayılır. Bu durumda, yer çekimi merkezi tam olarak kütle merkeziyle aynı konumdadır. Genelde aynı konumda oldukları için, yer çekimi merkezi ve kütle merkezi terimleri birbirinin yerine kullanılabilir.

Gerçek bir nesnenin kütle merkezini belirlemeye ilişkin olarak ne söyleyebiliriz?

Katı fiziksel nesnelerin kütle merkezlerini belirlemek için yapılabilecek birkaç yararlı deneysel test bulunmaktadır.
Masa kenarı yöntemi (Şekil 4), en az bir kenarı düz olan küçük katı nesnelerin kütle merkezini bulmakta kullanılabilir. Nesne döndürülmeksizin yavaşça bir masanın üzerinde bir kenara doğru itilir. Nesnenin tam düşmek üzere olduğu yerde, masanın kenarına paralel bir çizgi çizilir. Nesne 90° döndürülür ve bu süreç tekrarlanır. İki çizginin kesişim noktası masa düzlemindeki kütle merkezini verir.
Şekil 4: Düzgün olmayan bir nesnenin kütle merkezini bulmak için kullanılan masa köşesi yöntemi.
Şekil 4: Düzgün olmayan bir nesnenin kütle merkezini bulmak için kullanılan masa köşesi yöntemi.
Çekül ipi yöntemi (Şekil 5), bir döndürme noktası etrafında serbest şekilde durabilen nesneler için yararlıdır. Bir panoya tutturulmuş olan ve şekli muntazam olmayan bir mukavva, buna iyi bir örnektir. Mukavva yer çekiminin etkisiyle durağan bir noktaya ulaşana kadar raptiyenin etrafında serbest şekilde hareket eder. Raptiyeye bir çekül ipi asılır ve bu ip vasıtasıyla nesneye bir çizgi çizilir. Raptiye başka bir konuma kaydırılır ve aynı süreç tekrarlanır. Bu durumda, kütle merkezinin konumu iki çizginin kesişim noktasının altındadır.
Şekil 5: Düzgün olmayan bir nesnenin kütle merkezini bulmak için kullanılan boru hattı yöntemi.
Şekil 5: Düzgün olmayan bir nesnenin kütle merkezini bulmak için kullanılan boru hattı yöntemi.

Kütle merkezi ve devrilme sınırı

Kütle merkezini belirlemek için yararlı uygulamalardan birisi, bir nesnenin devrilmeden yana yatabileceği maksimum açıyı belirlemektir.
Şekil 6a'da bir kamyonun kesiti gösterilmiştir. Kamyon düzgün şekilde yüklenmemiştir, sol tarafta pek çok ağır nesne bulunmaktadır. Kütle merkezi kırmızı bir nokta olarak gösterilmiştir. Kütle merkezinden aşağıya uzanan kırmızı çizgi, yer çekimini temsil etmektedir. Yer çekimi, bu çizgi boyunca kamyonun tüm ağırlığına etki eder.
Eğer kamyon θt\theta_\mathrm{t} açısıyla eğilmişse (Şekil 6b'de gösterildiği gibi), bu durumda kamyonun tüm ağırlığı sol tekerleğin en soldaki kenarı tarafından desteklenecektir. Açının daha fazla yükseltilmesi durumunda, destek noktası herhangi bir temas noktasının dışına kayacak ve kamyon devrilecektir. θt\theta_\mathrm{t} açısı devrilme sınırı dır.
Şekil 6: Kötü şekilde yüklenmiş bir kamyonun devrilme sınırı.
Şekil 6: Kötü şekilde yüklenmiş bir kamyonun devrilme sınırı.
Alıştırma 1: Aşağıdaki Şekil 7'de gösterilen, muntazam yoğunluklu nesnenin devrilme sınırını belirleyin.
Alıştırma 7: Alıştırma 1 yana yatan nesne.
Şekil 7:Egzersiz 1 sapan nesne.
Önce, üç dikdörtgene ayırarak şeklin kütle merkezini buluruz:
xx yönünde: 247+246+125.524+24+12=6,3\frac{24\cdot 7 + 24\cdot 6 + 12\cdot 5.5}{24+24+12} = 6,3
yy yönünde: 2411+247+12224+24+12=7,6\frac{24\cdot 11 + 24\cdot 7 + 12\cdot 2}{24+24+12} = 7,6
Figure 8: Calculation of topple angle.
Figure 8: Calculation of topple angle.
Devrilme sınırını (θt\theta_\mathrm{t}) bulmak için, şimdi trigonometri kullanarak Şekil 8'de gösterilen üçgenin iç açısını bulmalıyız.
En sağdaki temas noktası x=7x=7'dedir ve kütle merkezi x=6,3x=6,3'tedir. Bu, üçgenin karşı köşesi olan, 0,7'lik bir fark bırakır.
Şemada belirtilen θt\theta_\mathrm{t} açısı üçgenin iç açısına eşit olmalıdır, çünkü θt+α=90\theta_\mathrm{t} + \alpha = 90^\circ'dir. Dik açılı üçgenlerin trigonometrisinden:
θt=tan1(0,77,6)=5,26\theta_\mathrm{t} = \tan^{-1}\left( \frac{0,7}{7,6} \right) = 5,26^\circ

Kütle merkezi refererans çerçevesi

Referans çerçevesi terimi fizikte kullanıldığında, hesaplamalar için kullanılan koordinat sistemini belirtir. Bir referans çerçevesinin bir eksenler kümesi ve bir başlangıç noktası (sıfır noktası) vardır. Çoğu problemde referans çerçevesi laboratuvara göre sabittir ve uygun (ancak rastgele) bir başlangıç noktası seçilir. Bu, laboratuvar refererans çerçevesi olarak bilinir. Bununla birlikte, klasik fizikte başka herhangi bir referans çerçevesini kullanmak ve bunda fizik yasalarının geçerli olacağını beklemek mümkündür. Bu, laboratuvara göre hareket eden referans çerçeveleri için de geçerlidir.
Kütle merkezinin çok yararlı bir özelliği, bir sistem için hareket eden bir referans çerçevesinin başlangıç noktasını tanımlamak için kullanılabilmesidir. Bu referans çerçevesi bazen COM çerçevesi olarak adlandırılır. COM çerçevesi özellikle çarpışma problemlerinde yararlıdır. Tamamen tanımlanmış bir sistemin COM çerçevesinde olçülmüş momentumu daima sıfırdır. Bu, hesaplamaların COM çerçevesinde yapılmasının, laboratuvar çerçevesine kıyasla genelde çok daha kolay olduğu anlamına gelir. Basit bir örneği ele alalım:
Şekil 9'da gösterilmiş olan, aynı yolda ve aynı yönde giden iki yük arabasını düşünün. Soldaki yük arabası daha hızlı gittiğinden, çarpışma kaçınılmazdır. Çarpışmanın elastik olduğunu varsayalım. Çarpışmadan sonraki süratler neydi?
Şekil 9: Çarpışmak üzere olan iki araba: COM'da çarpışmayı analiz etmek çok daha kolaydır.
Şekil 9: Çarpışmak üzere olan iki araba: COM'da çarpışmayı analiz etmek çok daha kolaydır.
Önce, kütle merkezinin laboratuvar çerçevesindeki süratini bulmalıyız. Sürat uzaklık/süre olduğundan, sürati kütle merkezi denkleminde konumun yerine koyabilir ve durağan kütle merkezi için yaptığımız gibi devam edebiliriz. Sonuç (kütle merkezinin konumu) / (ikinci): yani, kütle merkezinin sürati, vCMv_\mathrm{CM} olacaktır:
vCM=(215+43) kgm/s(2+4) kg=7 m/s\begin{aligned} v_\mathrm{CM} &= \frac{(2\cdot 15 + 4\cdot 3)~\mathrm{kg\cdot m/s}}{(2 + 4)~\mathrm{kg}} \\&= 7~\mathrm{m/s}\end{aligned}
Şimdi, kütle merkezi referans çerçevesinden a ve b vagonlarının başlangıç süratlerini (i alt imgesi) ve momentumlarını bulabiliriz. Bu, COM çerçevesinin sürati çıkarılarak yapılır. Bunları laboratuvar çerçevesinden farklılaştırmak için, bu çerçevedeki miktarlar bir ' (kesme işareti) ile gösterilecektir.
vai=157=8 m/sv'_{ai} = 15 - 7 = 8~\mathrm{m/s}
vbi=37=4 m/sv'_{bi} = 3 - 7 = -4~\mathrm{m/s}
pai=82=16 kgm/sp'_{ai} = 8 \cdot 2 = 16~\mathrm{kg\cdot m/s}
pbi=44=16 kgm/sp'_{bi} = -4 \cdot 4 = -16~\mathrm{kg\cdot m/s}
Görüldüğü gibi, çarpışan iki nesnenin momentumları eşit büyüklükte ve ters yönlüdür. Bu, COM çerçevesindeki böyle bir çarpışma için daima geçerlidir. Bu örnekte, çarpışmanın elastik olduğunu biliyoruz ve bu nedenle çarpışmadan sonra momentumların işaretleri değişecek.
paf=16 kgm/sp'_{af} = -16~\mathrm{kg\cdot m/s}
pbf=16 kgm/sp'_{bf} = 16~\mathrm{kg\cdot m/s}
Bu durumda, nihai süratler şöyledir:
vaf=16/2=8 m/sv'_{af} = -16/2 = -8 ~\mathrm{m/s}
vbf=16/4=4 m/sv'_{bf} = 16/4 = 4~\mathrm{m/s}
Bu, laboratuvara göre çerçevenin sürati eklenerek tekrar laboratuvar çerçevesine çevrilebilir:
vaf=8+7=1 m/sv_{af} = -8 + 7 = -1 ~\mathrm{m/s}
vbf=4+7=11 m/sv_{bf} = 4 + 7 = 11 ~\mathrm{m/s}
Yükleniyor